郝進(jìn)宏

(北京市第一五六中學(xué) 100034)

當(dāng)前我國(guó)的數(shù)學(xué)教學(xué)改革正在向縱深發(fā)展，新的課程標(biāo)準(zhǔn)強(qiáng)調(diào)對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng).孔凡哲、史寧中[1]指出：數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的本質(zhì)在于用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界、用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界、用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界的綜合素養(yǎng)，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)包含三種成分：一是學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)化活動(dòng)而習(xí)得的數(shù)學(xué)思維方式，二是學(xué)生數(shù)學(xué)發(fā)展所必需的關(guān)鍵能力，三是學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)化活動(dòng)而習(xí)得的數(shù)學(xué)品格及健全人格的養(yǎng)成. 其中關(guān)鍵能力包括數(shù)學(xué)抽象能力、數(shù)學(xué)推理能力、數(shù)學(xué)建模能力、直觀想象能力、運(yùn)算能力和數(shù)據(jù)分析觀念.

下面筆者以2016年北京高考理科第16題為例，來總結(jié)提煉“加權(quán)”思想在求解期望問題中的應(yīng)用，并用提煉的思想方法解決2018年北京西城一模理科16題和2018年北京高考理科第17題，希望以此進(jìn)一步深入體會(huì)數(shù)據(jù)分析在提高學(xué)生數(shù)學(xué)能力素養(yǎng)方面的作用，請(qǐng)同行不吝賜教.

1 問題的提出、分析及總結(jié)

1.1 問題的呈現(xiàn)

近幾年來，北京高考中概率統(tǒng)計(jì)最后一問，題目要求往往是“結(jié)論不要求證明”，也就是重直觀輕計(jì)算，如果按部就班地計(jì)算，過大的計(jì)算量和學(xué)生較低的運(yùn)算能力會(huì)大大降低做題的效率，進(jìn)而影響考試的節(jié)奏和成績(jī). 如果學(xué)生對(duì)相應(yīng)問題理解得比較透徹，選用的方法恰當(dāng)，那么往往會(huì)高效解決這類問題.

例1(2016年北京高考理科第16題)A,B,C三個(gè)班共有100名學(xué)生，為調(diào)查他們的體育鍛煉情況，通過分層抽樣獲得了部分學(xué)生一周的鍛煉時(shí)間，數(shù)據(jù)如下表(單位：小時(shí))：

表1.1

(Ⅰ)略；(Ⅱ)略；

(Ⅲ)再?gòu)腁,B,C三個(gè)班中各隨機(jī)抽取一名學(xué)生，他們?cè)撝艿腻憻挄r(shí)間分別是7,9,8.25(單位：小時(shí))．這3個(gè)新數(shù)據(jù)與表格中的數(shù)據(jù)構(gòu)成的新樣本的平均數(shù)記為μ1，表格中數(shù)據(jù)的平均數(shù)記為μ0，試判斷μ0和μ1的大小．(結(jié)論不要求證明)

1.2 問題的分析

若從A，B，C三個(gè)班中各隨機(jī)抽取一名學(xué)生，他們?cè)撝艿腻憻挄r(shí)間分別是7，9，8.25，數(shù)據(jù)變成如下表1.2所示，要比較兩組數(shù)據(jù)的均值大小，最基本的方法就是算出兩組數(shù)據(jù)的平均值，即

由上式看出這種方法計(jì)算量很大，在高考的有限時(shí)間內(nèi)如果用很長(zhǎng)時(shí)間去獲取這三分有所不值，而且對(duì)于計(jì)算能力不足的學(xué)生可能既花費(fèi)了時(shí)間但最終又沒能得出正確結(jié)論，因此這種方法解題效率非常低.

表1.2

觀察新增的7，9，8.25這三個(gè)數(shù)，它們和A，B，C三組數(shù)據(jù)有何關(guān)系？我們發(fā)現(xiàn)7，9，8.25這三個(gè)數(shù)分別是增加數(shù)據(jù)前A，B，C三組數(shù)據(jù)的平均值，換句話說新增的三個(gè)數(shù)沒有改變?nèi)M數(shù)據(jù)的平均值. 因此上面的計(jì)算可以簡(jiǎn)化如下：

按照這一思想，我們比較μ0和μ1中7， 8.25，9的權(quán)重大小，9的權(quán)重之差為

8.25的權(quán)重之差為

即在μ0中較大的兩個(gè)數(shù)9和8.25的權(quán)重都比μ1中對(duì)應(yīng)數(shù)值的權(quán)重大，因此μ0>μ1.

從分析過程我們可以感知到：從“加權(quán)”角度來思考這個(gè)問題，解題效率大大提高，而且這一思想方法為我們提供了研究數(shù)據(jù)的一個(gè)新的角度，下面我們通過反思來探討一下這些計(jì)算平均值的方法之間的聯(lián)系.

1.3 問題的反思

該題的解決思路實(shí)際上來源于平均值的兩種定義.下面我們給出這兩種定義方法，并由此提煉出第三種定義，通過比較分析它們之間的關(guān)系以便進(jìn)一步深刻理解均值的涵義.

該定義是我們中學(xué)對(duì)于平均值的定義，其直觀性比較強(qiáng)，學(xué)生記憶深刻，是學(xué)生求均值最常用的方法，如果x1,x2,…,xn中有相同數(shù)據(jù)，那么我們還可以將定義1簡(jiǎn)化為如下定義2.

定義2[2]如果這n個(gè)數(shù)中有相同的，不妨設(shè)其中有ni個(gè)取值為xi，i=1,2,…,k，則其均值為：

那么有一個(gè)問題，如果數(shù)據(jù)x1,x2,…,xn沒有相同的，加權(quán)平均的想法還適用嗎？

實(shí)際上2016年北京高考理科卷第16題就是利用定義3的思想方法求解的. 利用定義3，我們得到μ0和μ1是7， 8.25，9的加權(quán)平均值，所以只要比較這三個(gè)數(shù)的權(quán)重大小立刻就能比較出μ0和μ1的大小. 加權(quán)思想實(shí)際上是對(duì)數(shù)據(jù)處理后的一種簡(jiǎn)化的計(jì)算方法，其本質(zhì)有助于理解概率論中隨機(jī)變量期望的定義.

2 方法的應(yīng)用

下面我們利用加權(quán)思想來解決2018年北京西城一模理科第16題和2018年北京高考理科第17題.

2.1 問題一的呈現(xiàn)與分析

例2(2018年北京市西城區(qū)一模理科16題)某企業(yè)2017年招聘員工，其中A、B、C、D、E五種崗位的應(yīng)聘人數(shù)、錄用人數(shù)和錄用比例(精確到1%)如下：

崗位男性應(yīng)聘人數(shù)男性錄用人數(shù)男性錄用比例女性應(yīng)聘人數(shù)女性錄用人數(shù)女性錄用比例A26916762%402460%B401230%2026231%C1775732%1845932%D442659%382258%E3267%3267%總計(jì)53326450%46716936%

(Ⅰ)略；(Ⅱ)略；

(Ⅲ)表中A、B、C、D、E各崗位的男性、女性錄用比例都接近(二者之差的絕對(duì)值不大于5%)，但男性的總錄用比例卻明顯高于女性的總錄用比例．研究發(fā)現(xiàn)，若只考慮其中某四種崗位，則男性、女性的總錄用比例也接近，請(qǐng)寫出這四種崗位．(只需寫出結(jié)論)

通過觀察發(fā)現(xiàn)C、D、E三組男女應(yīng)聘人數(shù)、錄用人數(shù)和錄用比例相當(dāng)，而A、B兩組盡管男女錄用比例相當(dāng)，但是兩組的男女應(yīng)聘人數(shù)以及錄用人數(shù)差距非常大，所以直觀上，男女總的錄用比例的差距應(yīng)該主要是由A、B兩組數(shù)據(jù)的差異引起的，那么到底是A還是B，學(xué)生就犯難了.

接下來我們利用加權(quán)思想來解決該問題.

設(shè)男女生的總的錄用比例分別為k1和k2，其表達(dá)式如下：

因此要想保留男性、女性的總錄用比例也接近，需要剔除A組數(shù)據(jù).

2.2 問題二的呈現(xiàn)與分析

例3(2018年北京高考理科第17題)電影公司隨機(jī)搜集了電影的有關(guān)數(shù)據(jù)，經(jīng)分析整理得到下表：

電影類型第一類第二類第三類第四類第五類第六類電影部數(shù)14050300200500510好評(píng)率0.40.20.150.250.20.1

好評(píng)率是指：一類電影中獲得好評(píng)的部數(shù)與該類電影的部數(shù)的比值.

假設(shè)所有電影是否獲得好評(píng)相互獨(dú)立.

(Ⅰ)略；(Ⅱ)略；

(Ⅲ)假設(shè)每類電影得到人們喜歡的概率與表中該類電影的好評(píng)率相等，用“ξk=1”表示第k類電影得到人們喜歡，“ξk=0”表示第k類電影沒有得到人們喜歡(k=1,2,3,4,5,6).寫出方差Dξ1,Dξ2,Dξ3,Dξ4,Dξ5,Dξ6的大小關(guān)系.

這道高考題的第三問，學(xué)生普遍反映比較難無從下手. 我們用兩種方法來解決.

方法一以第一類電影為例，電影部數(shù)是140，好評(píng)率為0.4，則共有140×0.4=56部電影獲得好評(píng)，并且其得分為1，未獲得好評(píng)的電影有94部，得分為0，140部電影得分均值為0.4，所以方差

=(1-0.4)2×0.4+(0-0.4)2×0.6

=0.4×0.6，

由此我們發(fā)現(xiàn)其對(duì)應(yīng)方差為p(1-p)，同理，

Dξ2=0.2×0.8，Dξ3=0.15×0.85，

Dξ4=0.25×0.75，Dξ5=0.2×0.8，

Dξ6=0.1×0.9，

因此方差大小關(guān)系為

Dξ1>Dξ4>Dξ2=Dξ5>Dξ3>Dξ6.

由分析過程我們發(fā)現(xiàn)，本質(zhì)上，方差也是一種加權(quán)平均值，從加權(quán)平均值角度去計(jì)算和比較方差可以更透徹地理解方差的意義.

反思

實(shí)際上，第三問的假設(shè)“每類電影得到人們喜歡的概率與表中該類電影的好評(píng)率相等”提示我們可以將每部電影的得分看成一個(gè)隨機(jī)變量，如果找出該隨機(jī)變量的分布很快就能求出隨機(jī)變量的方差，最終求得結(jié)果.

由于每部電影的得分實(shí)際上服從n=1的二項(xiàng)分布，即兩點(diǎn)分布，設(shè)得分為ξ，P(ξ=1)=p，P(ξ=0)=1-p，我們知道兩點(diǎn)分布的方差為Dξ=p(1-p)，與我們的計(jì)算結(jié)果一致.

盡管與反思的方法比，方法一和方法二有些繁瑣，但是對(duì)于中學(xué)生來講，這個(gè)過程具有深遠(yuǎn)的意義，同學(xué)們可以通過親手計(jì)算去探索發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問題背后的數(shù)學(xué)原理，進(jìn)而進(jìn)行提煉和總結(jié)，最終提升學(xué)生的綜合素養(yǎng).

3 結(jié)語

數(shù)據(jù)分析已經(jīng)變成我們?nèi)粘Ｉ钪械谋匾M成部分，在日常的教學(xué)中，我們不僅要重視教授學(xué)生搜集、整理數(shù)據(jù)的方法，而且還要引導(dǎo)學(xué)生如何分析得到的數(shù)據(jù)并根據(jù)所得結(jié)論作出合理的判斷和決策. 因此，如果我們重視應(yīng)用“加權(quán)”的思想處理、分析數(shù)據(jù)平均值的基本方法，那么既能提高解題效率，又能增強(qiáng)對(duì)數(shù)據(jù)整體特征的把握，從而從整體上提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).