張禮勇

(重慶市涪陵高級中學 408100)

1 問題的提出

《普通高中數(shù)學課程標準(實驗)》指出：“高中數(shù)學課程的總目標是：使學生在九年義務教育數(shù)學課程的基礎上，進一步提高作為未來公民所必要的數(shù)學素養(yǎng)，以滿足個人發(fā)展與社會進步的需要.”所謂數(shù)學核心素養(yǎng)，指的是學生在接受相應學段的教育過程中，逐步形成的適應個人終身發(fā)展和社會發(fā)展需要的數(shù)學思維品質與關鍵能力，具體包含數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模、直觀想象、數(shù)學運算、數(shù)據(jù)分析等六個方面.數(shù)學核心素養(yǎng)不能離開數(shù)學的學習、應用、創(chuàng)新，它們綜合體現(xiàn)在“用數(shù)學眼光觀察世界，用數(shù)學思維分析世界，用數(shù)學語言表達世界”的過程中，集中體現(xiàn)在“發(fā)現(xiàn)與提出問題、分析與解決問題”的過程中.隨著教育改革的深入，聚焦核心素養(yǎng)是教育發(fā)展改革的必然.

在對高中數(shù)學核心素養(yǎng)培養(yǎng)過程中，如果說課程標準是武器裝備的話，那么課堂教學就是訓練場，而高考就是主戰(zhàn)場.因此，無論是作為基礎的課程標準，還是關鍵的課堂教學，都離不開高考的目標導向.在對高考命題的討論中，主流聲音似乎一直沒有變過，比如從基于“能力” 到基于“素養(yǎng)”考試評價，逐步樹立“以素養(yǎng)立意命題”的指導思想，注重考查學生的核心素養(yǎng)，強調“數(shù)學建模與數(shù)學探究”.具體如：不增加題量延長考試時間；增加應用問題、探究題；逐步增加開放題；減少選擇、填空題等.高考命題的權威導向，這是一個無法回避，必須面對的現(xiàn)實問題.下面我們將從歷年的部分高考真題中，去探討其對數(shù)學核心素養(yǎng)的測查功能，希望能“窺一斑而知全豹”；同時也讓老師們在日常的教學中更具有針對性和目的性.

2 高考命題對六大核心素養(yǎng)的考查

2.1 數(shù)學運算——準確而迅速

真題再現(xiàn)

2015年全國Ⅰ卷理科第9題：執(zhí)行下面的程序框圖，如果輸入的t=0.01，則輸出的n的值為( ).

A.5 B.6 C.7 D.8

思維障礙

對于學生而言，本題常見的問題是將運算規(guī)則中的字母搞混淆，張冠李戴，或者是循環(huán)運算中耐心不夠，計算屢屢出錯.須知一步出錯，步步則錯.

障礙分析

對于運算問題，教師在實際教學中往往不夠重視，認為只需教師提示一下，指明方向，其余就萬事大吉；或者對學生在運算中出的錯，往往是歸結于粗心，下次注意認真點就行了.可是我們發(fā)現(xiàn)，為什么每一次測試下來，許多學生都會發(fā)出這樣得感嘆：“如果不粗心，我本可以考多少多少分！”言外之意，不是我做不到，而是粗心罷了！這種觀念是相當危險的.經常愛出錯，所謂的粗心，就其本質，實是一種能力不足——那就是運算能力薄弱，運算素養(yǎng)缺乏.運算素養(yǎng)的培養(yǎng)需要沃土，需要教師在平常的課堂教學中逐步引導學生種下扎實的種子，并不能一蹴而就、立竿見影.一個在課堂教學中不重視培養(yǎng)學生數(shù)學素養(yǎng)的教師，培養(yǎng)出來的學生在本題就會造成若干思維障礙，對于教師而言是有責任的！

導向要求

本題考查的是程序框圖的問題，其實對學生具有一定程度的運算素養(yǎng)提出了新的要求.學生不僅要明晰運算對象，還要能依據(jù)運算法則解決數(shù)學問題.主要包括：理解運算對象，掌握運算法則，探究運算方向，選擇運算方法，設計運算程序，求得運算結果等.

教學反思

教師在課堂教學中一定不要“站著說話不腰疼”，經常說“這么簡單，都做不了？”“這么容易，都算錯了？”“算錯是你們自己的責任，我只負責方法！”如此等等，將責任一股腦推給學生，自己還理直氣壯、振振有詞！事實上，有很多我們老師想當然的東西，在學生那里就不一定清楚.我們認為學生該聽懂的，結果學生混混沌沌；我們認為學生能夠明白的，結果學生一知半解；我們認為學生不該算錯的，結果學生出錯了；我們認為考試題目夠簡單的，結果學生考試的分數(shù)完全出乎意料.課堂教學緊貼學生最近發(fā)展區(qū)，符合實際，著力培養(yǎng)學生的數(shù)學素養(yǎng)，這恐怕才是一個老師應該去努力的方向！

試題略解

……

2.2 邏輯推理——嚴謹而有序

真題再現(xiàn)

2016年全國Ⅱ卷理科第15題：有三張卡片，分別寫有1和2，1和3，2和3.甲，乙，丙三人各取走一張卡片，甲看了乙的卡片后說：“我與乙的卡片上相同的數(shù)字不是2”，乙看了丙的卡片后說：“我與丙的卡片上相同的數(shù)字不是1”，丙說：“我的卡片上的數(shù)字之和不是5”，則甲的卡片上的數(shù)字是 .

2017年全國Ⅱ卷理科第7題：.甲、乙、丙、丁四位同學一起去向老師詢問成語競賽的成績.老師說：你們四人中有2位優(yōu)秀，2位良好，我現(xiàn)在給甲看乙、丙的成績，給乙看丙的成績，給丁看甲的成績.看后甲對大家說：我還是不知道我的成績.根據(jù)以上信息，則( )

A.乙可以知道四人的成績

B.丁可以知道四人的成績

C.乙、丁可以知道對方的成績

D.乙、丁可以知道自己的成績

思維障礙

對于邏輯推理而言，學生感到最大的困惑就是分類討論情況太多，找不到突破口，以致結論模糊不清、模棱兩可，最后的結果也就只有估計和猜測，錯誤率也就很大了.

障礙分析

對于2016年這一道題，突破口就在丙說的那句話：“我的卡片上的數(shù)字之和不是5”，再結合甲與乙所說的話，就可分別得出結論.對于2017年的那一道題，突破口在于老師說的話和甲最后對大家說的話，考生要真正理解這一句話的內涵，讀懂其背后隱藏的意義，揭露其本質.表面是沒有找到突破口，其實質是缺乏嚴謹?shù)倪壿嬐评砗退季S能力.

導向要求

合情推理和演繹推理是新高考的一個重要的考點和要求.它對于考生的閱讀能力、推理能力、提取信息能力有著較高的要求.考生要善于通過列表、畫示意圖等數(shù)形結合方式，運用分類討論思想、排除法的思想、反證法的思想等得出結論，完成推理.

教學反思

在推理教學中，要避免過度形式化和概念化.有的學生對推理的定義、種類、形式等記憶得很好，但在實際運用中往往一塌糊涂，根本不能靈活運用，這就是教師教學刻板、學生學得死板的結果，師生只有在教學中不斷地探索和表述論證的過程，有邏輯地表達與交流，才會逐漸地提高學生的邏輯推理素養(yǎng)，才會得到正確的思路與方向.

試題略解

2016年全國Ⅱ卷理科第15題：由題意分析可知，乙、丙相同的數(shù)字不是1，因此只能為1、2與2、3，或1、3與2、3，又因為丙的卡片上的數(shù)字之和不是5，因此丙不可能是2、3，只能是1、2或1、3，結合甲與乙的相同數(shù)字不是2，最終可以得出甲的卡片上的數(shù)字為1和3，乙的卡片上的數(shù)字為2和3，丙的卡片上的數(shù)字為1和2.

2017年全國Ⅱ卷理科第7題：由甲的說法可知乙、丙一人優(yōu)秀一人良好，則甲、丁兩人一人優(yōu)秀一人良好，乙看到丙得結果則知道自己的結果與丙的結果相反，丁看到甲的結果則知道自己的結果與甲的結果相反，即乙、丁可以知道自己的成績.故選D.

2.3 直觀想象——感知而清晰

真題再現(xiàn)

2014年全國Ⅰ卷理科第12題：如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗實線畫出的是某多面體的三視圖，則該多面體的各條棱中，最長的棱的長度為( )

思維障礙

此題根據(jù)三視圖，很容易判斷出原幾何體是一個三棱錐，但是，這個三棱錐究竟是如何擺放的，這就很難想象了！如果滿足了其中兩個圖，發(fā)現(xiàn)第三個圖滿足不了，這就是此題最大的思維障礙.當然，有些學生想到了借助正方體來研究，但是也不是那么容易就能看出來的，很可能多次鎩羽而歸.不知道三棱錐在空間中的擺放形狀，當然就無法進行下一步的棱長計算了！

障礙分析

很顯然，制約本題不能順利完成的主要因素就是學生的空間想象能力的缺乏.直觀想象是指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)與變化，利用圖形理解和解決數(shù)學問題的過程，而本題對學生空間想象能力的考查到了一個新的高度，這是教師在課堂教學中不得不引以重視的.

導向要求

直觀想象能力是重要的數(shù)學能力之一，也是高考的一個重要的考點，而三視圖只是其中的一種考法.通過學習，學生能借助空間想象認識事物的位置關系、形態(tài)變化與運動規(guī)律；利用圖形描述、分析數(shù)學問題；建立數(shù)與形的聯(lián)系，構建數(shù)學問題的直觀模型，探索解決問題的思路.

教學反思

三視圖問題，看似簡單，可是涉及的知識量很豐富，特別是考查學生的空間想象能力、分析和解決問題的能力、計算能力等.在教學中，教師應該盡量使用實際模型，讓學生親歷感受；或者盡量使用三維動畫，讓學生有直觀的理解，發(fā)展其發(fā)散的空間想象能力，切忌抽象的、枯燥的理論講解，讓學生云里霧里、不知其然.

試題略解

2.4 數(shù)學建模——有型而正確

真題再現(xiàn)

2015年全國Ⅰ卷理科第19題：某公司為確定下一年度投入某種產品的宣傳費，需了解年宣傳費x(單位：千元)對年銷售量y(單位：t)和年利潤z(單位：千元)的影響，對近8年的年宣傳費xi和年銷售量yi(i=1,2，…，8)數(shù)據(jù)作了初步處理，得到下面的散點圖及一些統(tǒng)計量的值.

x y w∑ni=1(xi- x)2∑ni=1(wi- w)2∑ni=1(xi- x)(yi- y)∑ni=1(wi- w)(yi- y)46.65636.8289.81.61469108.8

(Ⅱ)根據(jù)(Ⅰ)的判斷結果及表中數(shù)據(jù)，建立y關于x的回歸方程；

(Ⅲ)已知這種產品的年利率z與x、y的關系為z=0.2y-x.根據(jù)(Ⅱ)的結果回答下列問題：

(ⅰ)年宣傳費x=49時，年銷售量及年利潤的預報值是多少？

(ⅱ)年宣傳費x為何值時，年利率的預報值最大？

附：對于一組數(shù)據(jù)(u1,v1),(u2,v2)，……，(un,vn),其回歸線v=α+βu的斜率和截距的最小二乘估計分別為：

思維障礙

障礙分析

導向要求

本題主要考查了非線性擬合問題、線性回歸方程求法、利用回歸方程進行預報預測等，考查了對現(xiàn)實問題進行數(shù)學抽象、用數(shù)學知識與方法構建模型解決問題的能力，處理數(shù)據(jù)的能力.

教學反思

通過本試題的分析，我們不得不將焦點又聚集在一個老生常談的問題：課堂教學，老師是將重點放在知識技能上，還是能力培養(yǎng)上？當然，對這個問題的回答，大家肯定是異口同聲，一定是能力培養(yǎng)！事實上，在實際教學中，由于教師隊伍的良莠不齊，師資現(xiàn)狀會將能力培養(yǎng)變成一個不可著摸的、口號式的東西，真正的能力培養(yǎng)、數(shù)學素養(yǎng)教育何其之少、何其之難！

但是，高考命題越來越朝著能力立意的方向前進，以本題為例，如果教師在平時的教學中不善于創(chuàng)新教學、智慧教學，培養(yǎng)學生的能力、素養(yǎng)和創(chuàng)新精神，而只是一味知識性教學，機械照搬、刻意模仿，讓學生“只知其然，不知其所以然”，那他們在面對類似這種問題時候，就會吃大虧，會束手無策！

試題略解

(ⅱ)根據(jù)(Ⅱ)的結果可知，年利潤的預報值

故宣傳費用為46.24千元時，年利潤的預報值最大.

2.5 數(shù)據(jù)分析——有法而嫻熟

真題再現(xiàn)

2017年全國Ⅰ卷理科第19題：為了抽檢某種零件的一條生產線的生產過程，實驗員每天從該生產線上隨機抽取16個零件，并測量其尺寸(單位：cm)．根據(jù)長期生產經驗，可以認為這條生產線正常狀態(tài)下生產的零件的尺寸服從正態(tài)分布N(μ，σ2)

(1)假設生產狀態(tài)正常，記X表示一天內抽取的16個零件中其尺寸在(μ-3σ，μ+3σ)之外的零件數(shù)，求P(X≥1)及X的數(shù)學期望；

(2)一天內抽檢零件中，如果出現(xiàn)了尺寸在(μ-3σ，μ+3σ)之外的零件，就認為這條生產線在這一天的生產過程可能出現(xiàn)了異常情況，需對當天的生產過程進行檢查．

(Ⅰ)試說明上述監(jiān)控生產過程方法的合理性；

(Ⅱ)下面是檢驗員在一天內抽取的16個零件的尺寸：

9.95 10.12 9.96 9.96

10.01 9.92 9.98 10.04

10.26 9.91 10.13 10.02

9.22 10.04 10.05 9.95

≈0.212，其中xi為抽取的第i個零件的尺寸，i=1，2，…，16．

思維障礙

許多同學一見到此題，就被嚇住了：文字信息多，數(shù)據(jù)多而且?guī)晌恍?shù)，公式也很復雜，繼續(xù)讀下去的信心也就不那么足了！當老師布置給學生練習此題的時候，發(fā)現(xiàn)學生主要是存在以下問題：

一是完全沒有讀懂題目，對若干條件、數(shù)據(jù)不明就里，完全無從下手；

二是盡管讀懂了題目條件的要求，但是根本不知道用對立事件來解決求P(X≥1)的問題；

三是不知道、不熟悉二項分布的特點、性質，在此處也不會遷移應用；

四是計算屢屢出錯，而且花的時間較長.

障礙分析

單從此題的數(shù)學難度而言，也并不是想象中那么遙不可及的，但是為什么學生總是害怕這類題呢？就其原因，無非是以下幾點：

一是老師的觀念沒有發(fā)生轉變，始終認為所謂正態(tài)分布、樣本估計總體是一些新增知識，沒有如傳統(tǒng)的代數(shù)、幾何那么重要，導致無論是在已有經驗上，還是在知識儲備及課堂準備上，并不是那么充分.老師的態(tài)度往往決定學生的態(tài)度，不夠重視，不夠熟悉，不夠熟練，做起此類題目自然就相形見絀，有一些難受了.

二是在教學中，數(shù)學教師往往易忽略對學生閱讀能力、提取信息能力的培養(yǎng)，他們常常不經意地將數(shù)學題目的華美外衣脫掉，去掉題目所處的實際環(huán)境狀態(tài)，以純粹形式化的數(shù)學問題展現(xiàn)在學生面前.教師還自以為幫了學生很大的忙，避免學生做許多看似與數(shù)學無關的無用功，殊不知反而誤了學生！數(shù)學問題形式化，會降低學生對數(shù)學的興趣，這一點姑且不論，老師的越俎代庖，會讓學生更加依賴老師，在試題的信息量越來越增大的趨勢下，難道學生都要指望教師幫忙來分析、提煉題目嗎？

三是學生依賴計算器，筆算能力越來越弱.在日常教學中，有些教師過度依靠計算機和計算器，他們只重方法，忽視過程和運算，認為老師的作用只是講思想方法，至于運算那是學生課后自己下來的事情.

導向要求

從知識而言，本題考查了正態(tài)分布、小概率事件、二項分布、樣本估計均值與方差等；從能力素養(yǎng)上，考查了閱讀能力、數(shù)據(jù)處理與分析的能力、計算能力，而且要求還不低.

教學反思

本題主要就是考查學生對數(shù)據(jù)獲取、數(shù)據(jù)分析、知識構建、基本計算等方面的能力與素養(yǎng)，從一線教學實踐來看，我們在課堂教學上應該注意以下幾點：

一是教師要刻意對學生閱讀能力、提取信息能力的培養(yǎng)，不能將之簡單歸之為語文教師的事情；

二是在遇到較為復雜的計算時，絕不能自己偷懶，讓學生自己課后計算，而從不示范一遍.其實，計算的每一步，都蘊含著對學生運算能力的培養(yǎng)，教師只講方法忽略此步，是一種很不負責任的表現(xiàn)，也是一種脫離實際的教學.

試題略解

(1)P(X=0)=C016(1-0.9974)00.997416

≈0.9592，

P(X≥1)=1-P(X=0)≈0.0408，

由題可知X～B(16，0.0026)，

所以E(X)=16×0.0026=0.0416.

(2)(Ⅰ)尺寸落在(μ-3σ，μ+3σ)之外的概率為0.0026，由正態(tài)分布知尺寸落在(μ-3σ，μ+3σ)之外為小概率事件，因此上述監(jiān)控生產過程的方法合理.

(Ⅱ)μ-3σ=9.97-3×0.212=9.334，

μ+3σ=9.97+3×0.212=10.606，

(μ-3σ，μ+3σ)=(9.334，10.606)，

因為9.22?(9.334，10.606)，

所以需對當天的生產過程檢查，

因此剔除9.22

σ2≈0.008，

2.6 數(shù)學抽象——形式而有理

真題再現(xiàn)

2016年全國Ⅲ卷理科第12題：定義“規(guī)范01數(shù)列”{an}如下：{an}共有2m項，其中m項為0，m項為1，且對任意k≤2m，a1,a2,…,ak中0的個數(shù)不少于1的個數(shù).若m=4，則不同的“規(guī)范01數(shù)列”共有________.

A．18個 B.16個 C.14個 D.12個

思維障礙

對于新定義的理解，根據(jù)新定義抽象出其特征，對于學生而言是個難點.本題第一個難點是對于“任意k≤2m，a1,a2,…,ak中0的個數(shù)不少于1的個數(shù)”的理解不到位，無法確定第一個和最后一個數(shù)，而且在后面的解題過程中沒有始終堅持運用；其次，由于本題遇到情況較為復雜，即分類較多，標準也較多，如果學生不善于用表格法、樹狀圖來一一列舉，很容易出錯.

障礙分析

數(shù)學抽象是學習數(shù)學的一個必備能力.在高中階段，對于數(shù)學形式化已有一定要求，數(shù)學抽象已是基本素養(yǎng)之一.如果學生抽象出函數(shù)模型的能力較弱，新概念抽象理解能力較弱，那么解決本題類似的題目就勢必障礙重重了.

導向要求

數(shù)學抽象是指舍去事物的一切物理屬性，得到數(shù)學研究對象的思維過程.主要包括：從數(shù)量與數(shù)量關系、圖形與圖形關系中抽象出數(shù)學概念及概念之間的關系；從事物的具體背景中抽象出一般規(guī)律和結構；用數(shù)學語言予以表征等.高考中對數(shù)學抽象的要求往往較高，有一定的難度，而且和其它知識、其它數(shù)學思想方法綜合考查.

教學反思

在課堂教學中，數(shù)學形式化的教學往往收效甚微，教師花費不少力氣，學生卻一片茫然，學生更多的是想不到、為什么；老師卻是心中明白，欲說又不知從何談起.因此，在此部分內容教學時，千萬不要脫離學生的實際，從最簡單的做起，逐步培養(yǎng)學生的抽象能力、概括能力，從而彌補抽象的、空洞的、乏味的、說教般的數(shù)學形式化教學的不足.

試題解析

由題意，得必有a1=0，a8=1，則可以采用一一列舉的辦法列舉出來共14個，故選C.

3 反思

高考命題對核心素養(yǎng)考查的導向，這是一個我們必須面對的問題，它倒逼我們課堂教學進行改革，讓我們反思.

比如，如何教會學生解題？很多老師不考慮學生實際，不注重能力培養(yǎng)；注重自我講解，自我體驗；沉浸于自我世界，自我陶醉；這樣的表演與展示，學生最多學會了機械的模仿，在核心素養(yǎng)能力培養(yǎng)上沒有一絲進步.

事實上，教解法不如教想法.在具體教學過程中，我們可以先讓學生審題、獨立思考，說“想法”(必要時引導)；其他同學質疑、補充，實施“想法”，落實到紙筆上；最后提煉思想方法，討論變式、一題多解、多變.這樣做的好處在于：可以著力改善解數(shù)學題過分依賴題型記憶、復制模仿的狀況；盡力使學生在嶄新的習題情境前，根據(jù)已有的數(shù)學經驗，以研究者的心態(tài)，挖掘隱含信息，分析、解決問題.當然，學生形成“想法”要經歷如下心路歷程：閱讀理解→獲取直接信息或挖掘隱含信息→信息直觀化(圖形、圖像)、符號化(代數(shù)式表達)→依據(jù)自己的固有經驗、思想方法，實現(xiàn)化簡、化歸.當學生在形成“想法”的過程中，遇到困難，老師課堂上怎么做呢？可以采取如下策略：與學生共同閱讀理解，并挖掘各類信息→幫助學生將信息直觀化(圖形、圖像)、符號化(代數(shù)式表達)(注意數(shù)形結合圖當先)→幫助調動學生固有經驗，實現(xiàn)化簡、化歸，等價轉化(常用“由已知想可知，由未知想需知”，溝通“可知”與“需知”.)這種做法其實就是強調學生對學習過程的實質參與！

這也就是把數(shù)學核心素養(yǎng)的培養(yǎng)落到了實處！