章建躍

(人民教育出版社 100081)

1 引言

眾所周知，幾何學是研究幾何圖形的形狀、大小與位置關系的科學，平面幾何研究平面圖形的形狀、大小和位置關系.因為幾何學的研究對象，即點、直線、平面等基本幾何元素，以及三角形、平行四邊形、圓、多面體、旋轉體等各種各樣的幾何圖形，都是對現(xiàn)實世界中圖形及圖形關系的抽象，所以它們都不是現(xiàn)實世界的客觀存在，而是人類思維的發(fā)明創(chuàng)造.正是因為幾何對象的這種純粹性，才有利于我們排除事物表象的干擾，探究出其蘊含的真理.

我們知道，“位置”是宇宙空間的最基本要素.在歐氏幾何中，人們將位置抽象為“點”，而將連接兩個點之間的通路稱為“線”，其中直線段是連接兩點的最短通路，人們將直線段的長度作為標記兩個點之間差異的基本量.設AB是連接點A，B的直線段，以A為起點，將線段向AB方向無限延伸得射線AB；以B為起點，向BA方向無限延伸得射線BA；射線AB與BA組成直線AB.上述過程就是通過對現(xiàn)實事物(如光線、鉛垂線、拉緊的琴弦、保持直線方向運動等)的數(shù)學抽象，得到點、線段、射線和直線等最基本幾何圖形的過程.

直線作為基本幾何圖形，也是最基本的研究對象.對于直線，“直”就是它的形狀，刻畫出這種形狀的特征就得到“直線的基本性質”.然而，到底該如何刻畫直線的“直”呢？這是一個頗費周折的問題.以往，人們?yōu)榱丝坍嬛本€的基本特征做出過各種努力，例如：

點是沒有部分的，線只有長度沒有寬度，直線是它上面的點一樣的平放著的線(歐幾里得，《幾何原本》)；

置一線的一部分于他部分上，沒有一處不相重的，這叫做直線(《國定教科書初中幾何(一) 》，教育部編審委員會編，華中印書局，1941)；

一線，打著滾，但其中兩點不離原處，若此線在打滾中各新位置始終與原位置相合，則此線叫做直線(《中國初中教科書幾何學 上冊》，吳在淵編，中國科學圖書儀器公司，1947)；

線只有一個向度——長；點只有位置而無向度；直線是線上的任何一點都不變更其方向的線；直線由兩條或兩條以上之直線所構成；曲線上之每一點均改變其方向(《新三S平面幾何學 》，Schultze-Sevenoak-Stone著，許彥生譯，開明書店，1948)；

僅有位置、長短而無寬狹、厚薄者為線.線上任意二點間之一部分，以任意之方法置于他部分上，能與他部分密密相合者，謂之直線(《高中幾何學》，陳建功 酈福綿編著，開明書店，1949).

到今天，人們發(fā)現(xiàn)怎么也無法和初中學生說清楚，于是就采用“混”的辦法，用“包圍著體的是面”、“面和面相交的地方形成線”、“線和線相交的地方是點”，而對什么時候線是“直”的則根本就不說了.

對“如何刻畫直線的直”這個棘手的問題，本文說明如下幾點：第一，過平面上的任意兩點A，B，有且只有一條直線，這是公理；第二，過點A，B的直線可以向兩個互為相反的方向AB和BA無限延伸，“方向”是直線的要素；第三，刻畫直線的“直”，要利用確定直線的要素(兩個點或一點一個方向)之間的相互關系. 例如，直線上任意一點將它分為兩條方向相反的射線，任給直線AB上一點C則AC與AB或同向或反向，直線AB上至少有一點C使B在A和C之間，一條直線上任意三點中至多有一個點在另外兩點之間等等.[注]同樣的，對于平面，“平”是它的形狀，平面三公理回答了什么叫“平”，所以三公理又稱“平面的基本性質”.我們發(fā)現(xiàn)，“基本性質”給出了平面的組成元素——點、直線與平面之間的相互關系.

2 如何發(fā)現(xiàn)和提出問題

接下來是研究同一平面內直線之間的位置關系.前面討論了相交，下面討論平行.

根據(jù)《幾何原本》的定義，平行直線是在同一平面內的直線，向兩個方向無限延長，在不論哪個方向它們都不相交.在此定義下，研究平行線的性質，問題是：

作為一種位置關系，它的性質到底是如何表現(xiàn)的？

如果能搞清楚這個問題，那么我們就有了發(fā)現(xiàn)和提出性質的“指路人”.

2.1 從同一平面內兩條直線位置關系的分類出發(fā)

同一平面內兩條直線a，b，以有無公共點為標準分為相交和平行兩種位置關系.前文討論了相交線的性質，那么平行線的性質是如何表現(xiàn)的呢？為了解決這個問題，我們把直線看成是平面的組成要素，以“幾何要素之間確定的位置關系、大小關系就是幾何圖形的性質”為指導，在a∥b的前提下，分析一下平面內的其他直線c與a，b之間的位置關系.以“經(jīng)過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行”(平行公理)為基礎，容易發(fā)現(xiàn)，c與a，b的位置關系有兩類——平行或相交.

(1)已知a∥b，若c∥a，則c∥b；或：若a∥c，b∥c，則a∥b.這就是平行的傳遞性.

(2)已知a∥b，若c與a相交，則c與b也相交，且進一步地有：同位角相等，內錯角相等，同旁內角互補.

著重分析(2).我們注意到，這里有a，b，c三條直線，其中a，b的位置關系是確定的，而c具有任意性，即在與a，b相交的前提下可以在平面中任意移動；c與a，b相交形成一些角，其中不共頂點的角之間相等或互補關系不隨c的變化而變化.

這樣，以平行公理為基礎，在同一平面內兩條直線平行的大前提下，平面內的其他直線與這兩條直線之間的確定關系， 特別是相交時所形成的角(作為一種幾何元素)之間的確定關系(即不隨第三條直線的變化而變化的關系)，就是平行線的性質.

另外，聯(lián)系點到直線的距離，可以發(fā)現(xiàn)a上任意兩點到b的距離相等，這就是平行線間的距離.

2.2 從相交線到“三線八角”的特例

在研究兩條直線相交的基礎上，研究“三條直線相交”，這是自然而然的.可以分為三類情況(如圖1所示)：

圖1

其中，“三線共點”與相交線沒有本質區(qū)別；“兩兩相交”和“平行線被第三條直線所截”可以看成是一般與特例的關系.對于三條直線相交的性質，類比相交線的性質，可以研究由這些直線相交所成角的關系.因為共頂點的角的關系已經(jīng)研究了，所以要研究“不共頂點的角之間的關系”.這樣，我們可以循著如下的路徑發(fā)現(xiàn)和提出問題：

研究對象一條直線與兩條直線分別相交(稱為兩條直線被第三條直線所截)所成的圖形；

研究內容“三線八角”中不共頂點的角之間有怎樣的位置關系和大小關系？具體而言，對于一般的“三線八角”，研究不共頂點的角的位置關系分類問題；對于“兩條平行線被第三條直線所截”這一特殊情形，研究不共頂點的角之間有怎樣的特殊關系，反之，當不共頂點的角具有怎樣的特殊關系時兩條直線平行，即應該研究“性質”與“判定”兩方面的問題.

研究方法直觀感知、操作確認、推理論證、度量計算.

在后面的教學設計中可以看到，上述發(fā)現(xiàn)和提出問題的兩種路徑可以融合，這將給學生提供更廣泛的創(chuàng)造性學習空間，對落實數(shù)學學科核心素養(yǎng)有重要意義.

3 如何構建平行線的邏輯體系

3.1 知識基礎

因為平行線的判定與性質都是以兩條直線被第三條直線所截而生成的角之間的關系來表征的，所以在研究平行線之前要安排相交線，包括兩條直線相交和“三線八角”.

順便說一下“三線八角”中角的位置關系的定義方法.類似于鄰補角和對頂角的位置關系，定義兩條直線被第三條直線所截而生成的角之間的相互關系，就是界定各對角的邊具有怎樣的位置關系.如圖2，八個角都有一邊在“第三條直線”EF上；直線EF把平面分為兩半，以直線EF為界按是否“同旁”把八個角分為兩組(∠1，∠4，∠5，∠8)和(∠2，∠3，∠6，∠7)；以兩條直線AB，CD為界，把八個角分為“內角”(∠3，∠4，∠5，∠6)和“外角”(∠1，∠2，∠7，∠8).結合上述兩方面，可以對八個角中不共頂點的兩個角的位置關系作出分類.例如，∠1和∠5、∠4和∠8、∠2和∠6、∠3和∠7都是有一邊共線、方向相同，另一邊在EF同旁，它們的方位相同，于是稱作“同位角”；∠4和∠5、∠3和∠6都在EF同旁，在AB，CD之內，于是稱作“同旁內角”；∠3和∠5、∠4和∠6都在EF兩旁，在AB，CD之內，于是稱作“內錯角”；等等.

圖2

需要指出的是，像上面這樣的分類活動對于理解數(shù)學對象的結構、建立研究數(shù)學對象的邏輯順序，啟發(fā)學生的創(chuàng)造性思維，引導學生展開數(shù)學抽象活動，促進學生形成數(shù)學思維方式，從而實現(xiàn)在數(shù)學知識的教學中發(fā)展學生的數(shù)學學科核心素養(yǎng)，都是非常有效的.

3.2 判定定理與性質定理的先后次序

我們知道，平行線的定義、判定和性質分別給出了兩條直線平行的充要條件、充分條件和必要條件.所以，只要給出平行線的定義作為邏輯基礎，也就是我們約定平行線是存在的，那么判定或性質哪個先研究都是可以的.

在《幾何原本》中，第Ⅰ卷命題27為“內錯角相等，兩直線平行”，命題28為“同位角相等，或同旁內角的和等于二直角，兩直線平行”，命題29為“兩直線平行，內錯角相等，同位角相等，且同旁內角的和等于二直角”，命題30為“平行于同一條直線的直線相互平行”，按照“判定在先，性質在后”的順序安排.其中，命題27的證明利用了“三角形的外角大于內對角”，命題28的證明利用了命題27.命題29，用反證法證明“內錯角相等”，再利用對頂角等角之間的關系證明了其余兩個命題，命題30用前面的判定定理.也就是說，性質定理的證明不需要借助判定定理.

不過，有人可能認為，判定定理在先可以使人確信研究對象是“存在”的，然后再研究性質才有意義.這樣的想法似乎也有一定的道理，但從邏輯上看，哪個在先都是可以的，判定定理和性質定理都反映了幾何對象的形狀及組成元素的位置關系、大小關系.

3.3 如何選擇“基本事實”

前面已經(jīng)闡釋清楚，三個平行線判定定理都是需要證明的，而且順序可以任意排列.不過，在降低要求但又希望在一定程度上體現(xiàn)公理化思想的考慮下，需要在幾個判定定理中找一個作為“基本事實”，以此為推理的出發(fā)點得出其他判定定理.以哪一個為出發(fā)點更合理呢？

我們知道，射線OA繞O點旋轉到OB形成∠AOB，則∠AOB的度數(shù)度量了OA，OB兩個方向的差異.因此，如果∠A1O1B1的兩邊與∠AOB的兩邊方向分別相同，那么就有∠A1O1B1=∠AOB.在“三線八角”中，“同位角”正是具有“角的兩邊分別同向”這種關系的兩個角，于是把“同位角相等”作為基本事實，能夠比較好地體現(xiàn)用角的關系刻畫平行線的內涵，由此可以推出其他判定定理.這與立體幾何中的“等角定理”也是一脈相承的.

4 教學設計(問題串)

問題1前面研究了相交線，探究了相交線所成角之間的各種位置關系、大小關系.你能回顧一下我們是如何展開研究的嗎？包括研究內容、過程、方法，特別是發(fā)現(xiàn)和提出問題的方法.

設計意圖：幫助學生梳理研究思路，強化“定義——性質——特例”的研究路徑，進一步明確“幾何圖形的性質就是其組成要素之間的相互關系”.

問題2如圖3，將木條a，b，c想象成三條直線.轉動a，直線a在從c的左側與b相交逐步變?yōu)樵赾的右側與b相交，想象一下，在這個過程中，有沒有a，b不相交的位置？

圖3

設計意圖：讓學生通過直觀想象、操作確認平行線.在此基礎上給出平行線的定義——同一平面內沒有公共點的兩條直線叫做平行線.

問題3在幾何的研究中，給出一個幾何對象的定義后，一般要作出相應的圖形.請你先在紙上畫一條直線a，在直線外取一點A，過A作直線a的平行線.你能作出多少條？再取幾個點試試，結果是否一樣？

追問：類比過一點作一直線的垂線所得結論，你能得出什么？

設計意圖：讓學生通過操作，確認平行公理，并自己給出表述.

問題4數(shù)學是一門嚴謹?shù)目茖W，任何結論的正確性都需要有充分的理由.你能說明自己畫出的直線一定是直線a的平行線嗎？

追問1：要說明清楚還是非常困難的.下面再分析一下我們作平行線的過程.觀察圖4(1)，將它抽象為圖4(2)，聯(lián)系“三線八角”，你認為過P作AB的平行線CD，實際上作出了什么？由此你能得到什么猜想？

圖4

設計意圖：通過分析平行線的作圖過程，從中抽象出“三線八角”，并歸納出通過畫相等的同位角可以畫出平行線的結論，引導學生得出“同位角相等，兩直線平行”的猜想.

教師講解：命題“兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行”的正確性是可以證明的，有興趣的同學可以試試.為了降低難度，我們把它作為基本事實予以承認，并以此為出發(fā)點，探索其他判定平行線的方法.

追問2：兩條直線被第三條直線所截，同時得到同位角、內錯角和同旁內角.除了利用同位角判定兩條直線平行外，你還能利用內錯角、同旁內角來判定兩條直線平行嗎？

設計意圖：讓學生以“同位角相等，兩條直線平行”為基礎，自主探索其他判定定理.

追問3：以上我們以“同位角相等，兩直線平行”為出發(fā)點，推導出“內錯角相等，兩直角平行”和“同旁內角互補，兩直線平行”.你能以后兩個中的一個為依據(jù)，推導出另外兩個判定定理嗎？

設計意圖：讓學生體會幾個判定定理的邏輯關系，培養(yǎng)邏輯推理能力.

追問4：在研究了一般情形后，我們往往要考察一下特殊情形.你能給出特殊情形下的平行線判定定理嗎？

設計意圖：讓學生自主探究特殊情形，得到“同一平面內，垂直于同一條直線的兩條直線相互平行”、“平行于同一條直線的兩條直線相互平行”.教師應向學生指出平行、垂直關系的內在聯(lián)系和相互轉化.

引導語：以上我們研究了“在什么條件下兩條直線相互平行”，得到了一些判定方法.透徹地研究一個數(shù)學對象，往往需要不同的視角.如果把問題逆過來，以兩條直線相互平行為條件，可以得出什么結論？這就是接下來要研究的平行線的性質.

問題5根據(jù)相交線性質的研究經(jīng)驗，你認為研究平行線的性質就是要研究什么？你覺得可以按怎樣的路徑展開？

設計意圖：先引導學生明確要研究的問題和指導思想，通過課堂討論，總結出如下思路：以a∥b為前提條件，考察同一平面內的點、直線與a，b所形成的確定關系.

追問1：對于a，b所在平面內的點，在a∥b的條件下，與a，b有確定關系的點具有什么特性？

設計意圖：點與直線的關系，如點在直線、點關于直線對稱、點到直線的距離等等.相應的，可以研究(1)直線a上任意兩點到直線b的距離是否相等(進而可以給出平行線間距離的概念)；(2)與a，b距離相等的點形成什么圖形(滲透點的軌跡概念)；等等.

追問2：在a∥b的條件下，平面內的直線與a，b有哪些位置關系？你能從中進一步提出什么問題？

設計意圖：位置關系有平行、相交(特例是垂直)，相應地可以提出如下問題：(1)如果c∥a，那么c∥b？(2)如果c⊥a，那么c⊥b？(3)當c與a，b相交，即兩條平行線被第三條直線所截，得到同位角、內錯角和同旁內角，它們各有什么特殊的關系呢？

對于(3)，可以引導學生先畫出兩條平行線，然后再任意畫幾條直線(注意，不是一條)，通過度量發(fā)現(xiàn)同位角、內錯角和同旁內角各有什么關系.在此基礎上，再利用信息技術引導學生觀察，在第三條直線任意移動的過程中，同位角或內錯角之間的相等關系、同旁內角的互補關系是否保持不變.在此基礎上，歸納出相應的數(shù)學命題，并證明命題成立.這樣的過程可以培養(yǎng)學生的探究、發(fā)現(xiàn)能力，發(fā)展直觀想象、數(shù)學抽象以及邏輯推理等素養(yǎng).

5 小結

以上我們給出的內容分析和教學設計(問題串)，沒有特別在意兩條直線相交、平行的邏輯順序，特別是在發(fā)現(xiàn)和提出問題階段.例如，在前面研究兩條直線相互垂直的性質時，“借用”了平行公理、平行線的性質等，而這里又提出“類比同一平面內過一點能作且只能作一條直線與已知直線垂線”、“同一平面內，同時垂直于一條直線的兩條直線平行”等等，這可能給人以“邏輯混亂”的感覺.但我認為，在人類的創(chuàng)造性活動中，“邏輯混亂”似乎是不可避免的，只要在此基礎上再以公理化思想為指導對發(fā)現(xiàn)的東西進行整理，使之成為一個嚴密的邏輯體系就可以了.

本文我們提出了探究平行線性質的新思路.事實上，在探究幾何圖形性質的過程中，“幾何元素之間確定的位置關系、大小關系就是幾何性質”是一個“大概念”，在引導學生探究與發(fā)現(xiàn)中起到關鍵作用.這里，“在兩條平行線的條件下，探究同一平面內其他直線與這兩條直線有哪些位置關系，可以從中進一步提出哪些問題”是一個具有普適性的數(shù)學思想，可用于研究其他基本幾何圖形位置關系.例如，在研究空間兩個平面平行的性質時，我們可以一脈相承地提出如下問題：

(1)空間中的直線與兩個平面有哪些位置關系？你能得出怎樣的猜想？

例如，設α∥β，若a∥α，則a∥β；若a與α相交，則a與β也相交，且所成角相等；特別地，若a⊥α，則a⊥β；等等.

(2)空間中的平面與兩個平面有哪些位置關系？你能得出怎樣的猜想？

例如，設α∥β,第三個平面γ，若γ∥α，則γ∥β；若γ與α相交，則γ與β也相交，而且交線平行、所成的二面角相等；若γ⊥α，則γ⊥β.盡管還沒有二面角、兩個平面相互垂直的概念，但這里提出猜想是順理成章的.另外，我們也可以讓學生回過頭來與平行線的性質作比較，可以發(fā)現(xiàn)兩者之間具有高度的相似性.

實際上，刻畫直線、平面等基本圖形的位置關系時，方向是一個關鍵要素.聯(lián)系向量，用直線的方向向量、平面的法向量，就可以更好地看清各判定定理、性質定理的本質.例如，用角度刻畫方向的差異，所以用同位角相等判定直線的平行，用平面角刻畫異面直線所成角、二面角的大小，通過直線垂直于平面內的兩條相交線(而不是平行線)判定直線垂直于平面，通過一個平面經(jīng)過另一個平面的垂線判定兩個平面垂直，還有平面向量基本定理與兩條相交線確定一個平面的內在一致性等等.

《普通高中數(shù)學課程標準(2017年版)》強調要突出數(shù)學的整體性，關注同一主線內容的邏輯關系，關注不同主線內容之間的邏輯關系，關注不同數(shù)學知識所蘊含的通性通法、數(shù)學思想.數(shù)學內容的展開應循序漸進、螺旋上升，使學生的學習過程成為一個在通性通法、數(shù)學思想指導下的、具有系統(tǒng)性、連貫性的有機整體.這些要求同樣適用于初中數(shù)學教學.本文強調的“研究一個幾何對象的基本套路”、“幾何元素之間確定的位置關系、大小關系就是幾何性質”等“大概念”，就是這樣的通性通法、數(shù)學思想.在這樣的“大概念”指導下提出的各種問題，可以使學生體會到幾何性質的發(fā)現(xiàn)之道，這是發(fā)展學生的數(shù)學學科核心素養(yǎng)、培養(yǎng)學生創(chuàng)新能力的康莊大道.