■謝蓓蓓

一、展示原題，了解意圖

已知二次函數(shù)y=2（x-1）（x-m-3）（m為常數(shù)）。

（1）求證：不論m取何值，該函數(shù)的圖像與x軸總有公共點；

（2）當m取何值時，該函數(shù)的圖像與y軸的交點在x軸的上方？

該題是2018年南京市中考數(shù)學試題第24題，考查了二次函數(shù)和方程的相關知識，在解決問題的過程中滲透著數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化等數(shù)學思想，對學生的運算能力也有一定的要求。（1）主要考查了學生對二次函數(shù)與x軸公共點的掌握情況，涉及函數(shù)模型到方程模型的轉(zhuǎn)化。（2）主要考查了學生對二次函數(shù)的圖像與y軸交點的掌握情況，難度不大，卻體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合、分類討論等數(shù)學思想。

二、巧用錯解，生成精彩

從運算上看，學生在去括號、合并同類項和完全平方公式的計算以及因式分解時出錯較多，最典型的錯誤是在配方時對系數(shù)的處理上；從理解上看，學生對題意、概念、性質(zhì)的理解不夠深刻，尤其是對函數(shù)、方程概念以及它們的關系理解不到位；從思路上看，學生在解決問題時思路開闊，但探究程度大多浮于表面，思考得不夠深入，導致得分率低。

錯誤解法1：

（1）將y=2（x-1）（x-m-3）整理得：

y=2x2-2（m+4）x+2m+6，

b2-4ac=［-2（m+4）］2-4×2（2m+6）=4m2+16m+16=m2+4m+4=（m+2）2≥0，

∴不論m取何值，該方程總有實數(shù)根，

∴不論m取何值，該函數(shù)的圖像與x軸總有公共點。

（2）2m+6〉0，

m〉-3，

∴m〉-3時，該函數(shù)的圖像與y軸的交點在x軸的上方。

錯解分析：

學生在直覺上誤認為4m2+16m+16可以簡化為m2+4m+4，這樣在配方時更加簡潔。這和“將二次函數(shù)整理得y=2x2-（2m+8）x+2m+6后，緊接著得到 y=x2-（m+4）x+m+3”是同種類型的錯誤。學生這樣的直覺源自哪里呢？應該是方程。再往深處想一想，學生為什么會出現(xiàn)這種“遷移”？方程“4m2+16m+16=0”之所以能寫成“m2+4m+4=0”的依據(jù)是等式的基本性質(zhì)2，而對于b2-4ac=4m2+16m+16而言，要想把等式的右邊變?yōu)閙2+4m+4，等式的左邊應該變?yōu)椴判?。而平時在計算過程中通常會保留b2-4ac，所以就需將4m2+16m+16變?yōu)?（m2+4m+4）。學生出現(xiàn)這類錯誤時，教師不要急著否定和糾正，而應該一步步引導學生找到問題的癥結(jié)所在，讓學生在錯誤中反思、學習、成長。

另外，此解法中還有個容易被忽略的細節(jié)問題：二次函數(shù)沒有根的判別式，b2-4ac只存在于一元二次方程。所以，這個解答缺少了將二次函數(shù)轉(zhuǎn)化為一元二次方程的步驟，也就是少寫了“當y=0時”。而此時，教師也可以追問：“2x2-2（m+4）x+2m+6=0可否變形為x2-（m+4）x+m+3=0？”再次增強學生對上一個錯誤的認識，同時也可以簡化計算。而在第（2）題的解答中，學生直接將二次函數(shù)一般式中的“c”寫出，令其大于0，顯然是欠妥的。函數(shù)表示兩個變量之間的關系，因變量隨著自變量的變化而變化，當自變量確定的時候，因變量的值也唯一確定。也就是說，因變量的確定需要有自變量確定作為條件，所以，第一步的“當x=0時”必不可少。兩個小題分別少寫了“當y=0時”和“當x=0時”，雖然只有一步之差，但是這不僅是邏輯上的錯誤，更是理解上的錯誤。

正確解答：

（1）當 y=0時，可得 2（x-1）（x-m-3）=0，即（x-1）（x-m-3）=0，

整理得：x2-（m+4）x+m+3=0，

b2-4ac=［-（m+4）］2-4（m+3）=m2+4m+4=（m+2）2≥0，

∴不論m取何值，該方程總有實數(shù)根，

∴不論m取何值，該函數(shù)的圖像與x軸總有公共點；

（2）當x=0時，

y=2m+6，

2m+6〉0，

m〉-3，

∴當m〉-3時，該函數(shù)的圖像與y軸的交點在x軸的上方。

錯解巧思：

在第（1）題中，要說明一個一元二次方程有實數(shù)根，除了用根的判別式，最直截了當?shù)姆椒☉撌乔蟪鲞@個方程的解。題中二次函數(shù)的“式結(jié)構(gòu)”不同于一般式，所以，在將它轉(zhuǎn)化為方程時，可以很快得到方程的解為x1=1，x2=m+3，也就是說二次函數(shù)經(jīng)過（1，0），（m+3，0）兩個點，這樣就避免了正確解答中繁瑣的計算，不僅提高了正確率，而且節(jié)約了時間。

題目只是要求證明二次函數(shù)與x軸有公共點即可，而該二次函數(shù)必過（1，0）點，至于二次函數(shù)與x軸的另一個交點（m+3，0），提或不提，并不影響此題的解答。那么，第（1）題的正確解答可以簡單變?yōu)椋?/p>

（a）當y=0時，可得2（x-1）（x-m-3）=0，

解這個方程得，x1=1，x2=m+3，

∴不論m取何值，該方程總有實數(shù)根，

∴不論m取何值，該函數(shù)的圖像與x軸總有公共點；

（b）∵y=2（x-1）（x-m-3）經(jīng)過（1，0），

∴不論m取何值，該函數(shù)的圖像與x軸總有公共點。

錯誤解法2：

圖1

（1）略；

（2）2（x-1）（x-m-3）=0的兩根為x1=1，x2=m+3，

由圖1知：m+3〉1，

∴m〉-2，

∴m〉-2時，該函數(shù)的圖像與y軸的交點在x軸的上方。

錯解分析：

學生關注的焦點并不在“與y軸的交點”上，而是在“與x軸的交點”上，他的思路是先通過畫出符合題意的大致圖形，再觀察函數(shù)圖像與x軸交點的特征，從而得到關于m的不等式。數(shù)形結(jié)合是初中常見的數(shù)學思想，學生的思路是值得肯定的，不過他只畫出了符合題意的一種圖形，沒有考慮到其他情況，在想法上缺乏深度。m+3不是一個定值，教師可以引導學生根據(jù)m+3在x軸上的位置情況進行分類討論。題中已經(jīng)有（0，0）和（1，0）兩個定點，所以，學生自然而然將m+3放在0的左邊、0上、0到1之間（不含0和1）、1上、1的右邊五種位置上進行討論。

正確解答：

（1）略；

（2）2（x-1）（x-m-3）=0的兩根為x1=1，x2=m+3，

圖2

圖3

圖4

圖5

圖6

①如圖2，若m+3＜0，不符合題意，所以舍去；

②如圖3，若m+3=0，不符合題意，所以舍去；

多胎之一葡萄胎是一種罕見且高危的妊娠，其診斷較為困難，應行詳細系統(tǒng)的超聲檢查及病理分析。因很難準確的統(tǒng)計其母兒并發(fā)癥和PGTD的具體發(fā)生率，處理時必須充分考慮到患者的意愿、自身條件及胎兒存活的可能性，其具體臨床診治仍有待進一步的研究。

③如圖4，若0＜m+3＜1，符合題意，所以-3＜m＜-2；

④如圖5，若m+3=1，符合題意，所以m=-2；

⑤如圖6，若m+3＞1，符合題意，所以m＞-2。

綜上，m＞-3。

∴m〉-3時，該函數(shù)的圖像與y軸的交點在x軸的上方。

錯解巧思：

有些學生并不能系統(tǒng)地將m+3進行分類討論，他們可能通過不斷地嘗試，畫出符合題意的大致圖形，發(fā)現(xiàn)當m+3在0的右邊時情況成立，這樣列式時只需m+3大于0，解答過程也簡潔明了。

既然說到圖形，筆者想到第（1）題其實也可以通過圖形解決。已知二次函數(shù)的圖像過（1，0），開口向上，要使得該二次函數(shù)與x軸有公共點，只需要頂點在x軸上或x軸的下方，所以，只需要頂點的縱坐標小于等于0即可。那么，又可以出現(xiàn)以下解決方法：

（1）y=2（x-1）（x-m-3），

y=2［x2-（m+4）x+m+3］，

y=2x2-（2m+8）x+2m+6，

又∵該二次函數(shù)開口向上，

∴不論m取何值，該函數(shù)的圖像與x軸總有公共點。

（2）①2（x-1）（x-m-3）=0的兩根為x1=1，x2=m+3，

圖7

由圖7知：m+3〉0，

∴m〉-3，

∴m〉-3時，該函數(shù)的圖像與y軸的交點在x軸的上方。

②2（x-1）（x-m-3）=0的兩根為x1=1，x2=m+3，

∴該函數(shù)的對稱軸是直線x=2+0.5m，

∵函數(shù)的圖像與y軸的交點在x軸的上方，

∴2+0.5m＞0.5，

∴m〉-3，

∴m〉-3時，該函數(shù)的圖像與y軸的交點在x軸的上方。

三、深層思考，優(yōu)化課堂

1.準確歸因，注重過程教學。

德國哲學家黑格爾指出，錯誤本身乃是達到真理的一個必然的環(huán)節(jié)。學生的錯解最能反映學生對知識的認知水平和思維程度，教師只有深入、有效地分析這些錯解，對它們進行深度的剖析，才能引導學生從錯誤中學習。比如錯誤解法1，除去系數(shù)的學生只有計算的直覺，缺少理解的邏輯，而此時教師如果把原因歸結(jié)于學生的運算能力，那就是無效歸因。而漏寫“當y=0時”和“當x=0時”的學生，明顯是對函數(shù)的概念、二次函數(shù)與一元二次方程的關系理解不夠，而此時教師如果把原因歸結(jié)于粗心，那也是毫無意義的。很多時候，學生的問題都是出在理解上，比如對概念的理解不準，對性質(zhì)、關系的理解不夠。筆者認為造成學生理解出現(xiàn)問題可能的原因是有的教師在教學過程中往往強調(diào)解題技能而忽略概念、性質(zhì)等過程性教學，導致學生對概念一知半解，對關系理解不到位，發(fā)生了錯誤后卻不知道錯在哪里。所以這也提醒我們在教學過程中要注意過程性教學，不可以淡化學生對基本概念、基本性質(zhì)的認識過程，而應該注重學生對數(shù)學知識的理解以及基本經(jīng)驗的遷移、類比和再生長。

2.尊重學生，促進思維生長。

函數(shù)與方程的關系研究是常見的命題取材，圖像位置以及有無公共點也是數(shù)形結(jié)合思想考查的常見結(jié)合點。筆者認為解決此類二次函數(shù)的問題無非就是從“數(shù)”“形”兩個角度出發(fā)。學生從“數(shù)”的角度最容易想到的應該就是“二次函數(shù)對應的一元二次方程”。而從“形”的角度，“二次函數(shù)的圖像”應該就是他們最自然而然的聯(lián)想（如圖8）。

圖8

圖像與坐標軸的公共點、頂點、對稱軸等是二次函數(shù)圖像中的重要元素，也是學生思路得以延伸發(fā)展的引路牌。錯誤解法1中以“數(shù)”的思想主打，在判斷根的情況時，絕大多數(shù)學生采用根的判別式進行判斷，導致在運算上連連出錯。學生之所以想不到求出方程的解的辦法，筆者猜想很有可能是教師在課堂或練習中遇到此類問題時，總是強調(diào)使用根的判別式，從而導致學生出現(xiàn)思維定式。學生是有生命的個體，他們思考問題的方式自然也是多種多樣的，教師強加的多了，學生的思維慢慢也就會固化。錯誤解法2中以“形”的思想主打，雖然解法上稍顯繁瑣，但是作為教師，我們應該順應學生的思路，尊重學生的想法，否則很有可能錯失一次思維發(fā)展的良機。學生在分類討論到探究、總結(jié)規(guī)律再到函數(shù)圖像再次聯(lián)想的過程中，不僅打開了思路，讓各知識點之間形成連接，而且數(shù)學思維也在不知不覺地生長，自然而然地分叉、延伸。千篇一律的景觀樹并不是我們想要看到的教育結(jié)果，我們需要做的只是給那些旁生的枝節(jié)一些適當?shù)囊龑?，讓學生在思考問題時，思維能綻放出更多的精彩和可能。