■河南省平頂山市第一高級(jí)中學(xué) 劉海洋

■河南省平頂山市第一中學(xué) 張玲敏

眾所周知，導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用題具有較高的難度，同學(xué)們“征服”它不僅要有勇氣，而且要有智慧。那么解答這類問題需要哪些謀略呢?下面舉例說明，供同學(xué)們參考。

一、利用分類討論思想探究函數(shù)性質(zhì)問題

例1函數(shù)f(x)=x3+|x-a|(x∈R，a∈R)。

(1)若函數(shù)f(x)在R上為增函數(shù)，求a的取值范圍;

(2)若函數(shù)f(x)在R上不單調(diào)時(shí)，記f(x)在[-1，1]上的最大值、最小值分別為M(a)、m(a)，求M(a)-m(a)。

解析：由已知可得:

令h'(x)=0，得x=±1，所以h(x)在(-∞，-1)和(1，+∞)上是增函數(shù)，在(-1，1)上為減函數(shù)。

(1)分析可知，若要滿足f(x)在R上是增函數(shù)，則需要a≤-1。

故a的取值范圍為(-∞，-1]。

(2)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在R上不單調(diào)，所以a＞-1。

當(dāng)-1＜a＜1時(shí)，f(x)在(-∞，-1)上是增函數(shù)，在(-1，a)上是減函數(shù)，在[a，+∞)上是增函數(shù)。

【方法感悟】

1.解答這類題的模板:

2.解答這類題的難點(diǎn):

(1)何時(shí)討論參數(shù)?由于題目條件的不同，有的在求零點(diǎn)時(shí)討論，有的在列表時(shí)討論。

(2)如何討論參數(shù)?需要根據(jù)題目的條件而定，有時(shí)還需參考自變量的取值范圍，討論的關(guān)鍵是做到不重不漏。

二、利用數(shù)形結(jié)合思想探究函數(shù)的零點(diǎn)問題

例2設(shè)函數(shù)f(x)=lnx+，m∈R。

(1)當(dāng)m=e(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))時(shí)，求f(x)的極小值;

解析：(1)由題設(shè)知，當(dāng)m=e時(shí)，f(x)=

當(dāng)x∈(0，e)時(shí)，f'(x)＜0，f(x)在(0，e)上單調(diào)遞減。

當(dāng)x∈(e，+∞)時(shí)，f'(x)＞0，f(x)在(e，+∞)上單調(diào)遞增。

因此，f(x)的極小值為2。

則φ'(x)=-x2+1=-(x-1)(x+1)。

當(dāng)x∈(0，1)時(shí)，φ'(x)＞0，φ(x)在(0，1)上單調(diào)遞增;

當(dāng)x∈(1，+∞)時(shí)，φ'(x)＜0，φ(x)在(1，+∞)上單調(diào)遞減。

故x=1是φ(x)的唯一極值點(diǎn)，且是極大值點(diǎn)。

又φ(0)=0，結(jié)合y=φ(x)的圖像(如圖1)，可知:

圖1

④當(dāng)m≤0時(shí)，函數(shù)g(x)有且只有一個(gè)零點(diǎn)。

【方法感悟】

利用導(dǎo)數(shù)探究函數(shù)零點(diǎn)的一般思路:

(1)轉(zhuǎn)化為可用導(dǎo)數(shù)研究其函數(shù)的圖像與x軸(或直線y=k)在該區(qū)間上的交點(diǎn)問題;

(2)利用導(dǎo)數(shù)研究該函數(shù)在該區(qū)間上的單調(diào)性、極值(最值)、端點(diǎn)值等性質(zhì)，進(jìn)而畫出其圖像;

(3)結(jié)合圖像求解。

三、利用函數(shù)思想探究證明不等式問題

例3已知函數(shù)f(x)=ex+m-x3，g(x)=ln(x+1)+2。(1)若曲線y=f(x)在點(diǎn)(0，f(0))處的切線斜率為1，求實(shí)數(shù)m的值;

(2)當(dāng)m≥1時(shí)，證明:f(x)＞g(x)-x3。

解析：(1)因?yàn)閒(x)=ex+m-x3，所以f'(x)=ex+m-3x2。

因?yàn)榍€y=f(x)在點(diǎn)(0，f(0))處的切線斜率為1，所以f'(0)=em=1。

解得m=0。

(2)因?yàn)閒(x)=ex+m-x3，g(x)=ln(x+1)+2，所以f(x)＞g(x)-x3等價(jià)于ex+m-ln

(x+1)-2＞0。

當(dāng)m≥1時(shí)，ex+m-ln(x+1)-2≥ex+1-ln

(x+1)-2。

因此，要證ex+m-ln(x+1)-2＞0，只需證明ex+1-ln(x+1)-2＞0。

設(shè)h(x)=ex+1-ln(x+1)-2，則

設(shè)p(x)=ex+1-(x＞ -1)，則

所以函數(shù)p(x)=h'(x)=ex+1-(-1，+∞)上單調(diào)遞增。

因?yàn)閔'(x0)=0，所以ex0+1=ln (x0+1)=-(x0+1)。

當(dāng)x∈(-1，x0)時(shí)，h'(x)＜0;當(dāng)x∈(x0，+∞)時(shí)，h'(x)＞0。

所以當(dāng)x=x0時(shí)，h(x)取得最小值h(x0)。

因此，h(x)≥h(x0)=ex0+1-ln(x0+1)

綜上可知，當(dāng)m≥1時(shí)，f(x)＞g(x)-x3。

【方法感悟】

1.利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的基本步驟:(1)作差或變形;(2)構(gòu)造新的函數(shù)h(x);(3)利用導(dǎo)數(shù)研究h(x)的單調(diào)性及最值;(4)根據(jù)單調(diào)性及最值，得到所證不等式。

2.構(gòu)造輔助函數(shù)的四種方法

(1)移項(xiàng)法:證明不等式f(x)＞g(x)(f(x)＜g(x))的問題轉(zhuǎn)化為證明f(x)-g(x)＞0(f(x)-g(x)＜0)，進(jìn)而構(gòu)造輔助函數(shù)h(x)=f(x)-g(x)。

(2)構(gòu)造“形似”函數(shù):對(duì)原不等式同解變形，如移項(xiàng)、通分、取對(duì)數(shù);把不等式轉(zhuǎn)化為左右兩邊是相同結(jié)構(gòu)的式子的結(jié)構(gòu)，根據(jù)“相同結(jié)構(gòu)”構(gòu)造輔助函數(shù)。

(3)主元法:對(duì)于(或可化為)f(x1，x2)≥A的不等式，可選x1(或x2)為主元，構(gòu)造函數(shù)f(x，x2)(或f(x，x1))。

(4)放縮法:若所構(gòu)造函數(shù)最值不易求解，可將所證明不等式進(jìn)行放縮，再重新構(gòu)造函數(shù)。

四、利用轉(zhuǎn)化與化歸思想探究不等式恒成立問題

例4已知函數(shù)f(x)=lnx。

(1)求函數(shù)g(x)=f(x+1)-x的最大值;

(2)若對(duì)任意x＞0，不等式f(x)≤ax≤x2+1恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

解析：(1)因?yàn)閒(x)=lnx，所以g(x)=f(x+1)-x=ln(x+1)-x(x＞-1)。

當(dāng)x∈(-1，0)時(shí)，g'(x)＞0，g(x)在(-1，0)上單調(diào)遞增;

當(dāng)x∈(0，+∞)時(shí)，g'(x)＜0，g(x)在(0，+∞)上單調(diào)遞減。

故g(x)在x=0處取得最大值g(0)=0。

(2)因?yàn)閷?duì)任意x＞0，不等式f(x)≤ax≤x2+1恒成立，所以:在x＞0上恒成立，進(jìn)一步轉(zhuǎn)

當(dāng)x∈(1，e)時(shí)，h'(x)＞0;當(dāng)x∈(e，+∞)時(shí)，h'(x)＜0。

【方法感悟】

利用轉(zhuǎn)化與化歸思想解決不等式恒成立問題的“兩種”常用方法:

(1)分離參數(shù)法:

(2)函數(shù)思想法: