■江蘇省沭陽(yáng)高級(jí)中學(xué) 項(xiàng)敬磊

定積分是微積分學(xué)中的基本概念之一，學(xué)習(xí)時(shí)應(yīng)了解定積分的實(shí)際背景和基本思想，了解微積分基本定理的基本含義。近幾年高考加強(qiáng)了對(duì)此方面題型的考查，下面以幾道典型試題為例進(jìn)行剖析，以幫助同學(xué)們提升解決定積分問(wèn)題的能力。

題型一 定積分的直接計(jì)算

例1計(jì)算的值。

解析：因?yàn)?ex+x2)'=ex+2x，所以

例2計(jì)算dx的值。

解 析：dx表示由y=，x=0，x=1及x軸所圍成的幾何圖形的面積。

點(diǎn)評(píng)：如果當(dāng)被積函數(shù)的原函數(shù)不好找，那么可以根據(jù)定積分的幾何意義，畫(huà)出函數(shù)的圖像，再求其面積。

題型二 利用定積分求平面圖形面積

例3曲線y=與直線y=x-1及x=4所圍成的封閉圖形的面積為( )。

A.2ln2 B.2-ln2

C.4-ln2 D.4-2ln2

解析：如圖1所示，y=和y=x-1的交點(diǎn)為(2，1)。由定積分的知識(shí)可知，封閉圖形的面積為:

點(diǎn)評(píng)：利用定積分求平面圖形面積的一般步驟：(1)根據(jù)題意畫(huà)出圖形，并將圖形分割成若干曲邊梯形；(2)對(duì)每個(gè)曲邊梯形確定其存在的范圍，從而確定積分上限、下限；(3)確定被積函數(shù)，寫(xiě)出相應(yīng)的定積分表達(dá)式；(4)求出各曲邊梯形的面積和，即各積分的絕對(duì)值之和。

幾種典型的曲邊梯形面積的計(jì)算方法:

(1)由三條直線x=a、x=b(a＜b)、x軸，和一條曲線y=f(x)(f(x)≥0)圍成的曲邊梯形的面積:

圖1

(2)由三條直線x=a、x=b(a＜b)、x軸，和一條曲線y=f(x)(f(x)≤0)圍成的曲邊梯形的面積:

(3)由兩條直線x=a、x=b(a＜b)，兩條曲線y=f(x)、y=g(x)(f(x)≥g(x))圍成的平面圖形的面積:

題型三 定積分在物理中的應(yīng)用

1.變速直線運(yùn)動(dòng)的路程

例4一輛汽車在高速公路上行駛，由于遇到緊急情況而剎車，以速度v(t)=7-3t的單位:s，v的單位:m/s)行駛至停止，在此期間汽車?yán)^續(xù)行駛的距離(單位:m)是( )。

2.變力做功

例5一物體在變力F(x)=5-x2(F的單位:N，x的單位:m)的作用下，沿與力F成30°的方向做直線運(yùn)動(dòng)，則由x=1運(yùn)動(dòng)到x=2時(shí)力F(x)所做的功為( )。

解析：W=故選C。

點(diǎn)評(píng)：本題以物理知識(shí)為載體，考查定積分的幾何意義以及同學(xué)們用所學(xué)知識(shí)分析、解決問(wèn)題的能力，關(guān)鍵是能夠在分析題目時(shí)分清運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的變化情況，計(jì)算時(shí)找準(zhǔn)積分上限、下限。

延伸：做變速直線運(yùn)動(dòng)的物體所經(jīng)過(guò)的路程是位移的絕對(duì)值之和，從時(shí)刻t=a到時(shí)刻t=b所經(jīng)過(guò)的路程和位移分別為s，s1。

(3)若v(t)≥0(t∈[a，c])，v(t)＜0(t∈[c，b])，則

題型四 定積分證明不等式

例6求證:lnn(n∈N*)。

證明：構(gòu)造函數(shù)f(x)=。

點(diǎn)評(píng)：本題要證的結(jié)論是一個(gè)十分優(yōu)美的不等式，而且此不等式在近年高考中以不同形式多次出現(xiàn)并要求同學(xué)們證明。例如，2014年高考陜西卷理科數(shù)學(xué)壓軸題、2015年高考廣東卷理科數(shù)學(xué)壓軸題，解題的核心都是上述不等式。仔細(xì)觀察原不等式不難發(fā)現(xiàn)左邊的和式中每一項(xiàng)都是函數(shù)f(x)=的函數(shù)值，而右側(cè)則是函數(shù)g(x)=lnx的函數(shù)值，所以可考慮將其看作原函數(shù)與導(dǎo)函數(shù) ，這樣一來(lái)右側(cè)的原函數(shù)便可以看作對(duì)導(dǎo)函數(shù)的一個(gè)積分，再設(shè)法將左邊與面積相聯(lián)系，便得到上述解法。

題型五 定積分的交匯性

例7設(shè)y=f(x)為區(qū)間[0，1]上的連續(xù)函數(shù)，且恒有0≤f(x)≤1，可以用隨機(jī)模擬方法近似計(jì)算積分∫1f(x)dx，先產(chǎn)生兩組

0(每組N個(gè))區(qū)間[0，1]上的均勻隨機(jī)數(shù)x1，x2，…，xN和y1，y2，…，yN，由此得到 N 個(gè)點(diǎn)(xi，yi)(i=1，2，…，N)，再數(shù)出其中滿足yi≤f(xi)(i=1，2，…，N)的點(diǎn)數(shù) N1，那么由隨機(jī)模擬方案可得積分f(x)dx的近似值為_(kāi)___。

解析：設(shè)f(x)dx=S1。x，y∈[0，1]，直線x=1，y=1，以及x軸、y軸構(gòu)成邊長(zhǎng)為1的正方形的面積為S，由幾何概型可知。又因?yàn)镾=1，所以S1=f(x)dx=

點(diǎn)評(píng)：本題利用定積分考查了幾何概型，難度不大，但需要同學(xué)們對(duì)定積分有較深的認(rèn)識(shí)，題目新穎。此類試題在高考題中多次考查，需引起同學(xué)們的重視。