福建 陳榮桂

證明函數(shù)不等式是高考?？嫉念}型，研究此類(lèi)題型的解法，探究題目背后所隱含的數(shù)學(xué)思想與方法，有助于更好地了解數(shù)學(xué)試題的隱秘，幫助學(xué)生理清數(shù)學(xué)解題思路的來(lái)龍去脈，從而提高學(xué)生的解題能力.本文從近幾年的高考題出發(fā)，研究導(dǎo)數(shù)在證明不等式試題中的解題方法.

類(lèi)型1、直接利用“f(x)≤f(x)max,g(x)≥g(x)min”證明不等式

通過(guò)“f(x)≤f(x)max,g(x)≥g(x)min”構(gòu)造的不等式證明問(wèn)題，常見(jiàn)于文科試題或理科的非壓軸題中.這種題目的難度不大，主要是從函數(shù)的單調(diào)性入手，研究函數(shù)的極值與最值，從而得到不等式的證明.

例1.(2018·全國(guó)卷Ⅰ·文21)已知函數(shù)f(x)=aex-lnx-1.

(Ⅰ)設(shè)x=2是f(x)的極值點(diǎn)，求a，并求f(x)的單調(diào)區(qū)間；

當(dāng)02時(shí)，f′(x)>0.

所以f(x)在(0，2)上單調(diào)遞減，在(2，+∞)上單調(diào)遞增.

當(dāng)01時(shí)，g′(x)>0，所以x=1是g(x)的極小值點(diǎn)，也是最小值點(diǎn).

故當(dāng)x>0時(shí)，g(x)≥g(1)=0.

【評(píng)注】本例第(Ⅱ)問(wèn)，先求出函數(shù)g(x)的最小值，直接利用g(x)≥g(x)min證明不等式.

類(lèi)型2、利用對(duì)數(shù)平均不等式構(gòu)造不等式

(Ⅰ)討論f(x)的單調(diào)性；

(i)若a≤2，則f′(x)≤0，當(dāng)且僅當(dāng)a=2，x=1時(shí)f′(x)=0，所以f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減.

(Ⅱ)由(Ⅰ)知，f(x)存在兩個(gè)極值點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)a>2.

由于f(x)的兩個(gè)極值點(diǎn)x1,x2滿(mǎn)足x2-ax+1=0，所以x1x2=1，不妨設(shè)x11>x1.

【評(píng)注】本題第(Ⅱ)問(wèn)直接由對(duì)數(shù)平均不等式構(gòu)造不等式進(jìn)行放縮，這是處理極值點(diǎn)或零點(diǎn)問(wèn)題(如極值點(diǎn)偏移問(wèn)題等)的一種重要代數(shù)方法.

類(lèi)型3、利用“f(x)min>g(x)max”構(gòu)造不等式

有些不等式問(wèn)題，其命題的方法是利用“f(x)min>g(x)max”來(lái)構(gòu)造不等式，此類(lèi)問(wèn)題常常因?yàn)樗鶚?gòu)造的兩個(gè)函數(shù)f(x),g(x)的極值點(diǎn)不同，不能轉(zhuǎn)化為求單個(gè)函數(shù)的最值問(wèn)題來(lái)求解.

(Ⅰ)求a,b;

(Ⅱ)證明：f(x)>1.

由題意可得f(1)=2,f′(1)=e，故a=1,b=2.

綜上，當(dāng)x>0時(shí)，g(x)>h(x)，即f(x)>1.

【評(píng)注】本題第(Ⅱ)問(wèn)考查了若直接由f(x)min>1，則解法受阻.此問(wèn)題的命題方式就是利用兩個(gè)極值點(diǎn)不同的函數(shù)間的關(guān)系，利用g(x)min>h(x)max?g(x)>h(x).此類(lèi)問(wèn)題中的函數(shù)關(guān)系更隱秘，難度也更大.

類(lèi)型4、利用函數(shù)圖象的切線(xiàn)構(gòu)造不等式

若函數(shù)f(x)為上凸函數(shù)，則函數(shù)f(x)在某點(diǎn)處的切線(xiàn)y=φ(x)必在函數(shù)f(x)圖象的上方，即f(x)≤φ(x)成立.若函數(shù)f(x)為下凸函數(shù)，則函數(shù)f(x)在某點(diǎn)處的切線(xiàn)y=φ(x)必在函數(shù)f(x)圖象的下方，即f(x)≥φ(x)成立.利用切線(xiàn)命制不等式證明題一般可以直接利用上述結(jié)論構(gòu)造不等式，也可以利用上凸函數(shù)f(x)和下凸函數(shù)g(x)有公切線(xiàn)時(shí)構(gòu)造不等式f(x)≥g(x).

例4.證明：ex-lnx>2.

【評(píng)注】函數(shù)y=ex為下凸函數(shù)，其在x=0處的切線(xiàn)為y=x+1，不等式ex≥x+1恒成立；而函數(shù)y=lnx為上凸函數(shù)，其在x=1處的切線(xiàn)為y=x-1，不等式lnx≤x-1恒成立.本題利用這兩個(gè)重要不等式進(jìn)行放縮，從而證明了結(jié)論.

例5.(2015·天津卷·理20)已知函數(shù)f(x)=nx-xn，x∈R，其中n∈N*，且n≥2.

(Ⅰ)討論f(x)的單調(diào)性；

(Ⅱ)設(shè)曲線(xiàn)y=f(x)與x軸正半軸的交點(diǎn)為P，曲線(xiàn)在點(diǎn)P處的切線(xiàn)方程為y=g(x)，求證：對(duì)于任意的正實(shí)數(shù)x，都有f(x)≤g(x)；

解：(Ⅰ)(Ⅱ)略.

類(lèi)似地，設(shè)曲線(xiàn)y=f(x)在原點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為y=h(x)，可得h(x)=nx，當(dāng)x∈(0,+∞)，f(x)-h(x)=-xn<0，即對(duì)任意的x∈(0,+∞)，f(x)

【評(píng)注】本題第(Ⅲ)問(wèn)是利用f(x)在(0,+∞)為上凸函數(shù)的特點(diǎn)，將f(x)=a(a為實(shí)數(shù))的兩個(gè)正實(shí)數(shù)根x1，x2問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直線(xiàn)與切線(xiàn)的交點(diǎn)間距離問(wèn)題來(lái)命制相應(yīng)的不等式，其構(gòu)思非常巧妙，對(duì)學(xué)生的思維能力的要求很高.

類(lèi)型5、利用函數(shù)的幾何性質(zhì)構(gòu)造不等式

函數(shù)的幾何性質(zhì)(如函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、函數(shù)極值點(diǎn)偏移、函數(shù)的零點(diǎn)、函數(shù)的漸近線(xiàn)等)是函數(shù)問(wèn)題很好的素材.近幾年高考題中經(jīng)常出現(xiàn)利用函數(shù)的幾何性質(zhì)命制的不等式證明問(wèn)題.這類(lèi)問(wèn)題的解決可以從函數(shù)幾何性質(zhì)入手，也可以尋找?guī)缀涡再|(zhì)的代數(shù)解釋?zhuān)夥`活多樣.

例6.(2016·全國(guó)卷Ⅰ·理21)已知函數(shù)f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2有兩個(gè)零點(diǎn).

(Ⅰ)求a的取值范圍；

(Ⅱ)設(shè)x1,x2是f(x)的兩個(gè)零點(diǎn)，證明：x1+x2<2.

解：(Ⅰ)f′(x)=(x-1)ex+2a(x-1)=(x-1)·(ex+2a).

(i)若a=0,則f(x)=(x-2)ex,f(x)只有一個(gè)零點(diǎn).

(ii)若a>0,則當(dāng)x∈(-∞,1)時(shí),f′(x)<0；

當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),f′(x)>0.所以f(x)在(-∞,1)上單調(diào)遞減,在(1,+∞)上單調(diào)遞增.

故f(x)存在兩個(gè)零點(diǎn).

(iii)若a<0,由f′(x)=0得x=1或x=ln(-2a).

綜上,a的取值范圍為(0,+∞).

(Ⅱ)證明：由已知得f(x1)=f(x2)=0，不難發(fā)現(xiàn)x1≠1，x2≠1，

因此，對(duì)于任意的m>0，g(1+m)>g(1-m).

由g(x1)=g(x2)可知x1，x2不可能在g(x)的同一個(gè)單調(diào)區(qū)間上，不妨設(shè)x10，則有g(shù)[1+(1-x1)]>g[1-(1-x1)]?g(2-x1)>g(x1)=g(x2)，而2-x1>1，x2>1，g(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增，因此g(2-x1)>g(x2)?2-x1>x2，整理得x1+x2<2.

【評(píng)注】本題為函數(shù)極值點(diǎn)偏移問(wèn)題，此類(lèi)問(wèn)題常可利用代數(shù)不等式求解，也可以利用幾何意義，利用函數(shù)的極值點(diǎn)a將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為比較g(2a-x1),g(x1)的大小問(wèn)題求解.

例7.(2017·全國(guó)卷Ⅱ·理21)已知函數(shù)f(x)=ax2-ax-xlnx，且f(x)≥0.

(Ⅰ)求a；

(Ⅱ)證明：f(x)存在唯一的極大值點(diǎn)x0，且e-2

解：(Ⅰ)因?yàn)閒(x)=x(ax-a-lnx)≥0，x>0，所以ax-a-lnx≥0.

當(dāng)0

當(dāng)x>1時(shí)，g′(x)>0,g(x)單調(diào)遞增.

所以x=1是g(x)的極小值點(diǎn)，故g(x)≥g(1)=0,

綜上，a=1.

(Ⅱ)f(x)=x2-x-xlnx，f′(x)=2x-2-lnx，x>0.

所以f(x)有唯一的極大值點(diǎn)x0.

因?yàn)閒′(x0)=2x0-2-lnx0=0，所以lnx0=2x0-2，

【評(píng)注】本題主要利用函數(shù)f(x)有唯一的極大值點(diǎn)x0，但是x0無(wú)法準(zhǔn)確求值，故通過(guò)零點(diǎn)存在定理判斷x0所在區(qū)間，再利用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式.

類(lèi)型6、利用不等式性質(zhì)構(gòu)造不等式

此類(lèi)題目常常利用簡(jiǎn)單不等式(如ex≥x+1,lnx≤x-1等)，結(jié)合不等式性質(zhì)a>b,c>d?a+c>b+d或a>b>0,c>d>0?ac>bd等，將兩個(gè)不等式巧妙地結(jié)合在一起，構(gòu)造出不等式證明問(wèn)題.

(Ⅰ)討論f(x)的單調(diào)性；

解：(Ⅰ)f(x)的定義域?yàn)?0,+∞)；

當(dāng)a≤0，x∈(0,1)時(shí)，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增；x∈(1,+∞)時(shí),f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減.

當(dāng)a>0時(shí)，

綜上所述，

當(dāng)a≤0時(shí)，函數(shù)f(x)在(0,1)內(nèi)單調(diào)遞增，在(1,+∞)內(nèi)單調(diào)遞減；

當(dāng)a=2時(shí)，f(x)在(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增；

于是f(x)-f′(x)=g(x)+h(x)，

設(shè)θ(x)=-3x2-2x+6，x∈[1,2]，因?yàn)棣?1)=1，θ(2)=-10，

所以?x0∈(1,2)，使得θ(x0)=0，

且10，h(x)單調(diào)遞增；x0

【評(píng)注】本題利用g(x)+h(x)的最小值來(lái)構(gòu)造不等式，這類(lèi)問(wèn)題中的函數(shù)關(guān)系比較隱蔽，因此對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)分析問(wèn)題能力的要求很高，可以很好地培養(yǎng)學(xué)生觀(guān)察問(wèn)題的能力.

例9.(2015·全國(guó)卷Ⅰ·文21)設(shè)函數(shù)f(x)=e2x-alnx.

(Ⅰ)討論f(x)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；

當(dāng)a≤0時(shí),f′(x)>0，f′(x)沒(méi)有零點(diǎn)；

(Ⅱ)由(Ⅰ)，可設(shè)f′(x)在(0，+∞)的唯一零點(diǎn)為x0，

當(dāng)x∈(0，x0)時(shí)，f′(x)<0;當(dāng)x∈(x0，+∞)時(shí)，f′(x)>0.

故f(x)在(0，x0)上單調(diào)遞減，在(x0，+∞)上單調(diào)遞增，所以當(dāng)x=x0時(shí)，f(x)取得最小值，最小值為f(x0).