廣東 林國(guó)紅

“年年歲歲花相似，歲歲年年題不同”.每年都有不少的優(yōu)質(zhì)高考試題，這些試題都是命題專家精心設(shè)計(jì)的杰作，凝聚了命題專家的集體智慧，具有權(quán)威性、示范性與借鑒性，值得我們?nèi)テ肺?要充分認(rèn)識(shí)高考題所蘊(yùn)含的價(jià)值，挖掘高考題的多種功能，發(fā)揮其內(nèi)在作用，并以此來促進(jìn)教學(xué)，活躍學(xué)生思維，提高教學(xué)功能與復(fù)習(xí)的效率.

筆者在今年二輪復(fù)習(xí)中，把2018年的一些高考題引入到復(fù)習(xí)過程中，起到了良好的復(fù)習(xí)效果.其中在拋物線的復(fù)習(xí)專題中，兩道相似高考題引發(fā)了學(xué)生思考，經(jīng)過相互交流討論，最終在師生的探討中解決了問題，并使學(xué)生的思維方向得到了升華.對(duì)此復(fù)習(xí)課的過程，筆者記憶猶新，特意成文，與大家分享，希望能夠拋磚引玉.

一、題目1的解答與分析

題目1.(2018·全國(guó)卷Ⅲ·理16)已知點(diǎn)M(-1,1)和拋物線C:y2=4x，過C的焦點(diǎn)且斜率為k的直線與C交于A,B兩點(diǎn).若∠AMB=90°，則k=________.

解法一：因?yàn)橹本€AB經(jīng)過拋物線焦點(diǎn)，且斜率為k，顯然k≠0，并易得拋物線的焦點(diǎn)為F(1,0)，設(shè)直線AB的方程為x=ty+1，A(x1,y1),B(x2,y2).

由韋達(dá)定理，有y1+y2=4t，y1y2=-4，

=(t2+1)y1y2+(2t-1)(y1+y2)+5

=4t2-4t+1

=(2t-1)2=0，

點(diǎn)評(píng)：本解法是利用韋達(dá)定理進(jìn)行整體代換，這是解析幾何中最常用的方法之一.直線方程有多種設(shè)法，依題意為了計(jì)算方便而定，對(duì)于∠AMB=90°，可用向量的數(shù)量積，也可以用斜率之積來轉(zhuǎn)化計(jì)算.從反饋來看，多數(shù)學(xué)生是采用了此法解答，說明在復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)該立足基礎(chǔ)，強(qiáng)化通性通法.

解法二：如圖，設(shè)AB的中點(diǎn)為E，過點(diǎn)A,B,E分別作準(zhǔn)線l:x=-1的垂線，垂足分別為A1,B1,H.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)，E(xE,yE).

由梯形的中位線定理與拋物線的定義可得，

同時(shí)點(diǎn)M(-1,1)在拋物線的準(zhǔn)線l:x=-1上，所以有|ME|≥|HE|.

解法二是一個(gè)成績(jī)比較好的學(xué)生在評(píng)講完解法一后提出的，并指出該解法是基于拋物線中的一個(gè)常見的結(jié)論：如圖，設(shè)AB是過拋物線C的焦點(diǎn)F的弦，則以線段AB為直徑的圓必與拋物線C的準(zhǔn)線相切.相對(duì)于解法一，解法二更簡(jiǎn)潔，運(yùn)算簡(jiǎn)單，當(dāng)然也更巧妙，只有少數(shù)同學(xué)想到此方法，在評(píng)講完后，多數(shù)學(xué)生也能理解此法.

點(diǎn)評(píng)：①解法二的思路來源是人教A版選修2-1第81頁(yè)“復(fù)習(xí)參考題”B組第7題.這再次提醒我們：高考試題有“源于教材，高于教材”的特點(diǎn)，但萬變不離其宗，“宗”就是教材.教材中的例題習(xí)題是經(jīng)過編者精心設(shè)計(jì)的，具有典型性的范例作用，大多都蘊(yùn)含著深刻的背景、豐富的數(shù)學(xué)思想，所以高三的復(fù)習(xí)應(yīng)立足于教材，對(duì)教材中有潛在本質(zhì)規(guī)律的材料、例題、習(xí)題進(jìn)行歸納、類比、拓展，充分挖掘，將其價(jià)值發(fā)揮出來，從而實(shí)現(xiàn)教材教學(xué)功能的最大化、最優(yōu)化.

②解析幾何問題的本質(zhì)是幾何問題，它們本身就包含一些重要的幾何性質(zhì)，如果我們可以充分利用這些幾何性質(zhì)，往往可以避開煩瑣的代數(shù)運(yùn)算，使解決問題的過程得到簡(jiǎn)化，而且解法簡(jiǎn)潔優(yōu)美，更好地揭示這些問題的幾何本質(zhì).因此對(duì)于解析幾何問題，要緊扣其中關(guān)鍵幾何要素，將解析法與平面幾何方法相結(jié)合，從而得到解決問題的最優(yōu)解法.

二、題目2的解答與分析

題目2.(2018·全國(guó)卷Ⅱ·理19)設(shè)拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)為F，過F且斜率為k(k>0)的直線l與C交于A,B兩點(diǎn)，|AB|=8.

(Ⅰ)求l的方程；

(Ⅱ)求過點(diǎn)A,B且與C的準(zhǔn)線相切的圓的方程.

解：(Ⅰ)設(shè)直線l的方程為x=ty+1，A(x1,y1),B(x2,y2).

由韋達(dá)定理，有y1+y2=4t，y1y2=-4，

根據(jù)拋物線定義，|AB|=x1+x2+2=t(y1+y2)+4=4t2+4=8，解得t=±1，又因k>0，所以t=1，從而直線l的方程為x-y-1=0.

點(diǎn)評(píng)：很多高考題是教材例題、習(xí)題的組合、加工、引申、拓展和類比，這充分體現(xiàn)教材是高考試題之根，問題(Ⅰ)的背景來源于人教A版選修2-1第69頁(yè)例4.直線l的方程求法與題目1的解法一是一致的，也就是考查拋物線焦點(diǎn)弦的相關(guān)基礎(chǔ)知識(shí)，這充分說明在復(fù)習(xí)時(shí)要抓基礎(chǔ)，突出知識(shí)主干，緊扣高頻考點(diǎn).

由題目1的解法二，易知，以線段AB為直徑的圓與拋物線C的準(zhǔn)線相切.

于是，所求圓的方程為(x-3)2+(y-2)2=16.

由于在題目1中剛講解完畢：以拋物線焦點(diǎn)弦AB為直徑的圓必與其準(zhǔn)線相切.多數(shù)同學(xué)已對(duì)這一個(gè)結(jié)論諳熟于心，所以很快得到上述解法，同時(shí)感嘆這個(gè)結(jié)論對(duì)解題有很大的便利.

鑒于學(xué)生對(duì)上述解法沒有質(zhì)疑，筆者進(jìn)行第一次引導(dǎo)：這是一道解析幾何大題，如此簡(jiǎn)單就解決了，會(huì)不會(huì)有陷阱？經(jīng)提示，多數(shù)學(xué)生仍堅(jiān)持解法正確，一部分學(xué)生認(rèn)為有問題，但說不出為什么.雙方堅(jiān)持不下.于是進(jìn)行第二次引導(dǎo)：以拋物線焦點(diǎn)弦AB為直徑的圓必與其準(zhǔn)線相切.反之，過點(diǎn)A,B且與拋物線的準(zhǔn)線相切的圓是否一定以AB為直徑？這引發(fā)學(xué)生的激烈討論，并翻教材選修2-1進(jìn)行探求，經(jīng)過一番交流，形成初步共識(shí)：過點(diǎn)A,B且與拋物線的準(zhǔn)線相切的圓不一定以AB為直徑.那么，如何解答問題(Ⅱ)呢？學(xué)生陷入思考，思路受阻.筆者又進(jìn)行第三次引導(dǎo)：利用數(shù)學(xué)軟件，作出符合題意的圓，有圖有真相！從圖中思考.結(jié)合圖形，多數(shù)學(xué)生能由圓與弦AB，聯(lián)想到在圓中最常見的垂徑定理，順利得到了以下正確的解法.

于是直線AB的垂直平分線方程為y-2=-(x-3)，即y=-x+5.

因此，所求圓的方程為(x-3)2+(y-2)2=16或(x-11)2+(y+6)2=144.

點(diǎn)評(píng)：由于學(xué)生沒有認(rèn)真分析，看著題目相似就直接套用同樣的結(jié)論進(jìn)行解答，導(dǎo)致出現(xiàn)錯(cuò)誤.這深刻提醒學(xué)生，應(yīng)用定理、結(jié)論解題時(shí)一定要看清結(jié)論與定理適用的條件，不能亂用、錯(cuò)用.

三、深化思維，類比拓展

在比較分析完兩道考題，總結(jié)解法后，又有學(xué)生提出，以拋物線的焦點(diǎn)弦為直徑的圓必與其準(zhǔn)線相切.而拋物線、橢圓與雙曲線同為圓錐曲線，那么橢圓與雙曲線會(huì)不會(huì)也有類似的性質(zhì)呢？

這是一個(gè)非常好的問題，說明學(xué)生會(huì)思考，會(huì)類比聯(lián)想，數(shù)學(xué)思維得到了提升.于是師生又展開探究，參照題目1的解法二，得到了橢圓與雙曲線的相應(yīng)結(jié)論，并有統(tǒng)一的證法.下面以橢圓為例給出證法.

證明：如圖，設(shè)橢圓的焦點(diǎn)為F，對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)線為l，橢圓的離心率為e，過焦點(diǎn)的弦為AB，分別過點(diǎn)A,B作準(zhǔn)線l的垂線，垂足為C,D.再設(shè)點(diǎn)A到準(zhǔn)線l的距離為d1，點(diǎn)B到準(zhǔn)線l的距離為d2.

因?yàn)?

由上述證明，易知：①當(dāng)e=1，即當(dāng)圓錐曲線是拋物線時(shí)，r=d，所以圓P與準(zhǔn)線l相切；②當(dāng)e>1，即當(dāng)圓錐曲線是雙曲線時(shí)，r>d，所以圓P與準(zhǔn)線l相交.

點(diǎn)評(píng)：圓錐曲線一般有著類似的性質(zhì)，對(duì)某種圓錐曲線的性質(zhì)進(jìn)行類比與拓展，讓學(xué)生感受圓錐曲線性質(zhì)中內(nèi)在統(tǒng)一的和諧美，體驗(yàn)數(shù)學(xué)研究的過程，能培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)、提出、解決數(shù)學(xué)問題的能力，有助于發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和實(shí)踐能力.

四、小結(jié)反思

兩道相似的高考題通過師生的探索，其中經(jīng)歷求解，類比，存疑，析疑，交流討論并尋求正確解答，再類比提升的過程，最終較為圓滿地解決了問題.整節(jié)課題量雖少，但內(nèi)容充實(shí)，對(duì)拋物線的重點(diǎn)題型進(jìn)行分析，突出專題復(fù)習(xí)的針對(duì)性.學(xué)生對(duì)于拋物線中的通性通法、常用結(jié)論、數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與類比思想等方面有了較深刻的認(rèn)識(shí)，課堂復(fù)習(xí)效果很好.

高考題在命題角度、題量、題型、難度等方面都進(jìn)行了充分考量和精心設(shè)計(jì)，是最好的檢驗(yàn)題.因此，在高三的復(fù)習(xí)階段，師生要多“品真題”，通過對(duì)高考真題的研究與練習(xí)，充分挖掘做題過程中反映出的知識(shí)點(diǎn)掌握方面的缺漏，對(duì)學(xué)習(xí)大有裨益.在做題過程中不斷總結(jié)和體會(huì)，理解命題專家的思路，知道他們是怎樣設(shè)置“陷阱”的.所選擇的歷年高考題要有典型性，要能輻射到多種思想方法，或能起到構(gòu)建知識(shí)框架的作用，或能揭示一般性的解題策略等等，并且要注意對(duì)高考題進(jìn)行適當(dāng)?shù)陌l(fā)散研究，達(dá)到深化認(rèn)識(shí)，舉一反三的目的，從而達(dá)到教學(xué)效果的最大化.