【摘要】本文以《平方差公式》教學(xué)為例，闡述在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中向?qū)W生滲透從一般到特殊、從具體到抽象、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想的途徑，以期提升學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)。

【關(guān)鍵詞】平方差公式 數(shù)形結(jié)合 簡便運(yùn)算

【中圖分類號】G 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A

【文章編號】0450-9889（2019）12A-0103-03

平方差公式是初中階段一個非常重要的公式，是學(xué)生掌握了多項(xiàng)式乘法后自然過渡到的具有特殊形式的多項(xiàng)式乘法，是從一般到特殊的認(rèn)知規(guī)律的典型范例，它在初中階段的學(xué)習(xí)中具有重要的地位。某些具有特殊形式的多項(xiàng)式相乘，可以寫成平方差公式的形式。當(dāng)遇到特殊形式的多項(xiàng)式相乘時(shí)，就可以直接運(yùn)用公式寫出結(jié)果，優(yōu)化運(yùn)算過程。平方差公式也是后續(xù)學(xué)習(xí)因式分解中公式法的重要基礎(chǔ)，在代數(shù)中具有廣泛的應(yīng)用。

一、內(nèi)容和內(nèi)容解析

（一）內(nèi)容

平方差公式。

（二）內(nèi)容解析

平方差公式的符號表示和語言表述揭示了公式的結(jié)構(gòu)特征。公式（a+b）（a-b）=a2-b2中的字母a，b可以是具體的數(shù)，也可以是單項(xiàng)式、多項(xiàng)式、分式等任何代數(shù)式。平方差公式的得出，以多項(xiàng)式乘法與合并同類項(xiàng)為基礎(chǔ)，從一般形式的整式乘法運(yùn)算到特殊形式的乘法運(yùn)算概括出乘法公式，體現(xiàn)了一般到特殊的思想方法。探索平方差公式的過程，從具體的具有特殊形式的幾組多項(xiàng)式乘法的運(yùn)算結(jié)果中，通過觀察、比較、抽象概括出一般的形式，并通過符號推理獲得公式的符號表示及語言表述，體現(xiàn)了從具體到抽象的研究方法。用幾何圖形說明代數(shù)式，也是本章節(jié)的一條主線，所以本節(jié)課也利用圖形面積輔助對公式意義的理解?；谝陨戏治?，筆者確定本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)是：理解平方差公式。

二、目標(biāo)和目標(biāo)解析

（一）目標(biāo)

1.理解平方差公式，能運(yùn)用公式進(jìn)行計(jì)算;

2.在推導(dǎo)平方差公式的過程中，經(jīng)歷觀察、比較、分析、抽象和概括，發(fā)展學(xué)生的數(shù)感、符號意識和運(yùn)算能力;

3.在探索平方差公式的過程中，感悟從具體到抽象的研究問題的方法，在驗(yàn)證平方差公式的過程中，感知數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化的思想。

（二）目標(biāo)解析

達(dá)成目標(biāo)1的標(biāo)志是：理解平方差公式的基本結(jié)構(gòu)和特征，會用符號表示公式，能用文字語言表述公式的內(nèi)容，在字母表示具體的數(shù)、單項(xiàng)式、多項(xiàng)式時(shí)能正確地運(yùn)用公式進(jìn)行計(jì)算，同時(shí)能自己給出滿足平方差公式的式子。

達(dá)成目標(biāo)2的標(biāo)志是：學(xué)生知道由多項(xiàng)式乘法到平方差公式是一般到特殊的過程，能根據(jù)多項(xiàng)式的乘法法則推導(dǎo)出平方差公式。

達(dá)成目標(biāo)3的標(biāo)志是：學(xué)生在探索公式的過程中，體驗(yàn)由具體到抽象的過程;在利用幾何圖形的面積驗(yàn)證公式的過程中，了解驗(yàn)證平方差公式的方法，感知數(shù)形結(jié)合的思想。切割不規(guī)則圖形拼接成規(guī)則圖形計(jì)算面積，感知轉(zhuǎn)化思想。

三、教學(xué)問題診斷分析

學(xué)生的基本認(rèn)知能力有：（一）具備用字母代替數(shù)、多項(xiàng)式等的能力;（二）熟練掌握冪的運(yùn)算和整式的乘法，在此基礎(chǔ)上繼續(xù)學(xué)習(xí)具有特殊形式的多項(xiàng)式乘法。平方差公式是結(jié)構(gòu)特殊的多項(xiàng)式相乘，公式（a+b）（a-b）=a2-b2中的字母a，b可以是具體的數(shù)，也可以是單項(xiàng)式、多項(xiàng)式等，情況比較復(fù)雜，對于初次接觸平方差公式的學(xué)生來說，找準(zhǔn)哪個數(shù)式是公式中的a、哪個數(shù)式是公式中的b有一定困難。為了突破這些難點(diǎn)，教師應(yīng)加強(qiáng)對學(xué)生的引導(dǎo)，帶領(lǐng)學(xué)生分析公式的結(jié)構(gòu)特征，總結(jié)兩個相乘式子中“一同一反”的量，讓學(xué)生進(jìn)一步領(lǐng)會平方差公式的實(shí)質(zhì)。因此，本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)是：平方差公式的變式應(yīng)用。

四、教學(xué)支持條件分析

學(xué)生可自主動手操作進(jìn)行剪紙，展示圖形割補(bǔ)情況。在學(xué)生分小組探究時(shí)，教師可以利用多媒體直接展示學(xué)生的成果。

五、教學(xué)過程設(shè)計(jì)

師（引入）：上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了整式的乘法，多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，先用一個多項(xiàng)式的每一項(xiàng)乘另一個多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加，如（a+b）（x+y）=ax+ay+bx+by，某些特殊形式的多項(xiàng)式相乘，可以寫成公式的形式。

（一）探究平方差公式

問題1：根據(jù)所學(xué)知識，計(jì)算下列多項(xiàng)式相乘的積，并寫出結(jié)果。

（1）（x+1）（x-1）=

（2）（2+m）（2-m）=

（3）（2y-3）（2y+3）=

（4）（-a+b）（-a-b）=

師生活動：學(xué)生思考回答，教師板書，師生共同評價(jià)學(xué)生的回答，給予肯定。

設(shè)計(jì)意圖：復(fù)習(xí)并鞏固多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的法則，為本節(jié)課的學(xué)習(xí)鋪墊。四個具有代表性和層次性的多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，可以為之后抽象概括出公式的結(jié)構(gòu)奠定基礎(chǔ)，也讓學(xué)生體會從一般到特殊的數(shù)學(xué)思想方法。

追問1：這些題目的結(jié)果有什么特點(diǎn)？

師生活動：學(xué)生觀察可以發(fā)現(xiàn)結(jié)果是平方差的形式，教師此時(shí)進(jìn)行適當(dāng)?shù)囊龑?dǎo)。

設(shè)計(jì)意圖：從結(jié)果出發(fā)尋找公式的結(jié)構(gòu)特征，讓學(xué)生理解平方差公式名稱的由來，體現(xiàn)了本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)。

追問2：為什么結(jié)果是平方差？

師生活動：教師從結(jié)果的特點(diǎn)引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)公式的特殊結(jié)構(gòu)。

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生經(jīng)歷觀察、比較、抽象概括的過程，從中體會從一般到特殊的基本思想方法。

追問3：看題目有什么特點(diǎn)？具有怎樣特點(diǎn)的兩個多項(xiàng)式相乘才得平方差？

師生活動：學(xué)生觀察發(fā)現(xiàn)兩個多項(xiàng)式相乘，括號內(nèi)符號為“一同一反”。用一個字母a表示符號相同一項(xiàng)，用另一個字母b表示符號相反一項(xiàng)，根據(jù)結(jié)果特點(diǎn)，得出此公式（a+b）（a-b）=a2-b2;教師鼓勵學(xué)生用語言描述公式“兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的積，等于這兩個數(shù)的平方差”，強(qiáng)調(diào)式子中的a，b可表示數(shù)或式子。

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生體驗(yàn)并理解平方差公式的結(jié)構(gòu)特征，抓住“一同一反”這個特征深入剖析平方差公式的本質(zhì)，加深學(xué)生的理解，為后續(xù)的公式的靈活運(yùn)用做好鋪墊，從而突破教學(xué)難點(diǎn)。

（二）驗(yàn)證平方差公式

問題2：公式的結(jié)果含有平方，平方一般用于怎樣的計(jì)算？

師生活動：學(xué)生思考;教師引導(dǎo)學(xué)生由一個數(shù)的平方聯(lián)想到正方形的面積，由兩個不等數(shù)的相乘聯(lián)想到長方形的面積。

設(shè)計(jì)意圖：從平方差的結(jié)果入手，讓學(xué)生經(jīng)歷從數(shù)到形的過程驗(yàn)證平方差公式，同時(shí)感悟平方差公式的幾何意義，通過探究活動，學(xué)生在初次接觸平方差公式時(shí)能深刻地體會數(shù)形結(jié)合的思想。

追問1：式子右邊平方差你想到什么？

追問2：你可以用圖形面積解釋式子左右兩邊的含義嗎？

（預(yù)設(shè)學(xué)生可能會出現(xiàn)如下的拼圖形式）

師生活動：學(xué)生動手操作、交流，教師引導(dǎo)。

設(shè)計(jì)意圖：在計(jì)算面積時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生將不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)化成規(guī)則圖形，滲透數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想。拼圖、計(jì)算圖形的面積這個過程體現(xiàn)學(xué)生自主學(xué)習(xí)以及動手操作的能力，激發(fā)學(xué)生參與課堂的熱情。

（三）鞏固運(yùn)用

例1 判斷：下列哪個式子的結(jié)果是平方差？如果是，請你把結(jié)果表示出來。

（1）（n-m）（m-n）? ? ?（2）（m+n）（n+m）

（3）（-m+n）（-m-n） ? （4）（-y-x）（x-y）

（5）（y+x）（-x-y）? ? ?（6）（3x+2）（3x-2）

（7）（-x+2y）（-x-2y）? ? （8）（2a+c）（2c-a）

師生活動：師生共同分析解答，教師板書示范解題過程。

設(shè)計(jì)意圖：通過辨析，認(rèn)真剖析公式的結(jié)構(gòu)特征，檢驗(yàn)學(xué)生是否理解公式的本質(zhì)，突出本節(jié)課的重點(diǎn)，又為下面讓學(xué)生自己出題鋪墊，從而更好地突破本節(jié)課的難點(diǎn)。

練習(xí)1 每組出兩道題并附上解答過程，看哪組的設(shè)計(jì)最好。

師生活動：學(xué)生小組合作交流，教師參與學(xué)生的小組討論，投屏展示典型、新穎的題目。

設(shè)計(jì)意圖：這樣的教學(xué)使學(xué)生對平方差公式的運(yùn)用條件有更深入的體會，突破本節(jié)課的難點(diǎn)。在此處檢驗(yàn)學(xué)生的課堂學(xué)習(xí)效果，捕捉課堂的生成教學(xué)，強(qiáng)化重點(diǎn)。讓學(xué)生明確學(xué)習(xí)平方差公式的目的是進(jìn)行簡便計(jì)算。

練習(xí)2 計(jì)算：

（1）（x+[12]）（x2+[14]）（x-[12]）

（2）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）

（3）（a+b+c）（a-b-c）

師生活動：學(xué)生思考并計(jì)算，教師引導(dǎo)學(xué)生觀察并發(fā)現(xiàn)規(guī)律，及時(shí)總結(jié)。

設(shè)計(jì)意圖：設(shè)計(jì)拔高類型的題目，考查學(xué)生能力。第（1）問將后兩個多項(xiàng)式交換一下位置，便可以運(yùn)用平方差公式進(jìn)行計(jì)算，得出結(jié)果又可以與剩下的多項(xiàng)式運(yùn)用平方差公式計(jì)算，從而實(shí)現(xiàn)計(jì)算的簡便;第（2）問需要乘上（2-1）來構(gòu)造滿足平方差公式的結(jié)構(gòu)，根據(jù)等式的性質(zhì)乘上（2-1）要同時(shí)除以（2-1）;第（3）問通過變形，找出完全相同的項(xiàng)是a，（b+c）是符號相反的項(xiàng)，此問難度在于變形，對學(xué)生來說解答時(shí)有一定的難度，培養(yǎng)學(xué)生分析和解決問題的能力。三道練習(xí)題，難度呈階梯式上升，兼顧不同層次的學(xué)生。

（四）小結(jié)

教師與學(xué)生一起回顧本節(jié)課所學(xué)的主要內(nèi)容，并請學(xué)生回答以下問題：本節(jié)學(xué)到哪些知識？感悟到了哪些數(shù)學(xué)思想？

師生活動：學(xué)生自主回答，師生交流。

設(shè)計(jì)意圖：第一個問題使學(xué)生梳理本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容，明確本節(jié)課學(xué)習(xí)平方差公式的目的，能運(yùn)用公式進(jìn)行簡便計(jì)算，把握本節(jié)課的核心——平方差公式的應(yīng)用。第二個問題讓學(xué)生回顧在探究平方差公式的過程中從一般多項(xiàng)式相乘中發(fā)現(xiàn)特殊形式可以直接套用公式，體現(xiàn)了從一般到特殊的數(shù)學(xué)思想;利用圖形面積來解釋公式的意義，用圖形輔助數(shù)，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想;求不規(guī)則圖形面積時(shí)，運(yùn)用割補(bǔ)法將不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形進(jìn)而利用公式，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想。

（五）布置作業(yè)

教科書習(xí)題14.2第1題。

（六）板書設(shè)計(jì)

（七）目標(biāo)檢測設(shè)計(jì)

1.下列各式中，不能運(yùn)用平方差公式進(jìn)行計(jì)算的是（? ）

（A）（m-n）（-m-n） （B）（x3+y3）（y3-x3）

（C）（-m+n）（m-n） ? ?（D）（2x-3）（2x+3）

2.運(yùn)用平方差公式計(jì)算

（1）（mn+9）（9-mn） （2）2x（x-1）-（2x+1）（1-2x）

3.計(jì)算

（1）1998×2002 （2）（9+1）（92+1）（94+1）（98+1）

六、教學(xué)反思

（一）對教材的反思

平方差公式是某些特殊形式的多項(xiàng)式的乘法，是學(xué)生在學(xué)習(xí)了多項(xiàng)式乘法之后學(xué)習(xí)的第一個重要的公式，為后續(xù)因式分解中公式法的學(xué)習(xí)，以及后面分式的化簡求值奠定基礎(chǔ)，是初中代數(shù)的重要內(nèi)容。

探索平方差公式的過程，通過觀察、比較具體的具有特殊形式的幾組多項(xiàng)式乘法的運(yùn)算結(jié)果，抽象概括出一般的形式，并通過符號推理獲得公式的符號表示及語言表述，體現(xiàn)了從具體到抽象的研究問題的方法。

用幾何圖形說明代數(shù)式也是這一章的一條主線，所以本節(jié)課也利用圖形面積輔助對公式意義的理解。筆者在備課時(shí)積極研究教材的探究題以及課后習(xí)題，準(zhǔn)確把握本節(jié)課的重點(diǎn)與難點(diǎn)。

（二）對教學(xué)過程的反思

在導(dǎo)入環(huán)節(jié)，筆者基于學(xué)生的知識生長點(diǎn)，從復(fù)習(xí)回顧多項(xiàng)式乘法法則入手，利用四個具有特殊形式的多項(xiàng)式相乘，通過設(shè)計(jì)問題鏈，引導(dǎo)學(xué)生觀察、比較，發(fā)現(xiàn)結(jié)果的結(jié)構(gòu)特征：平方差，讓學(xué)生對平方差公式有第一印象。再引導(dǎo)學(xué)生思考產(chǎn)生這樣特殊結(jié)果的原因，讓學(xué)生去發(fā)現(xiàn)式子左邊多項(xiàng)式存在“一同一反”的特征，強(qiáng)化對公式結(jié)構(gòu)特征的理解。

在抽象概括的環(huán)節(jié)，筆者注重培養(yǎng)學(xué)生的語言表述能力。驗(yàn)證平方差公式時(shí)，從“平方”入手引導(dǎo)學(xué)生從圖形面積去驗(yàn)證公式，公式右邊看作邊長為a的正方形的面積減去邊長為b的正方形的面積等。在此過程中，利用拼圖使學(xué)生更加直觀地感受面積的轉(zhuǎn)化，滲透數(shù)形結(jié)合以及轉(zhuǎn)化思想。

驗(yàn)證公式后，筆者通過設(shè)置練習(xí)檢驗(yàn)學(xué)生對知識的掌握情況。筆者通過例1帶領(lǐng)學(xué)生鞏固平方差公式;練習(xí)1讓學(xué)生自己設(shè)計(jì)題目并完成計(jì)算，學(xué)生必須在足夠了解公式結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上才能設(shè)計(jì)出好題目，此環(huán)節(jié)滿足不同層次的學(xué)生。學(xué)生的分享展示，體現(xiàn)公式應(yīng)用的廣度和深度，在練習(xí)2設(shè)置了三道不一樣的提高題，讓不同層次的學(xué)生都收獲滿滿。最后從方法和思想兩方面進(jìn)行課堂小結(jié)，再次向?qū)W生滲透相關(guān)數(shù)學(xué)思想。

注：本課例榮獲2019年南寧市初中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課比賽二等獎。

作者簡介：陳佳（1987— ），女，廣西博白人，中學(xué)一級教師，理學(xué)學(xué)士。研究方向：中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)。

（責(zé)編 劉小瑗）