白宇杰，王黎明，張小章

(1.核工業(yè)理化工程研究院，天津 300180；2.清華大學(xué) 工程物理系，北京 100084)

目前碳纖維復(fù)合材料由于比強(qiáng)度高、比剛度高和可設(shè)計(jì)性等優(yōu)異性能，已廣泛應(yīng)用于各工業(yè)領(lǐng)域，如纖維纏繞成型的復(fù)合材料圓管在高速旋轉(zhuǎn)機(jī)械上的應(yīng)用[1]。復(fù)合材料阻尼對(duì)于碳纖維的應(yīng)用有著重要影響，需在設(shè)計(jì)中予以考慮。Jean-Marie等[2-5]從2002年開始針對(duì)復(fù)合材料單向鋪層板阻尼特性的理論計(jì)算和試驗(yàn)研究做了系統(tǒng)性的工作，梳理總結(jié)了前人的計(jì)算方法，并提出了修改驗(yàn)證。Treviso等[6]對(duì)復(fù)合材料在阻尼領(lǐng)域的知識(shí)進(jìn)行了詳細(xì)綜述。任勇生等[7-8]對(duì)阻尼研究進(jìn)行了總結(jié)，并采用變分漸進(jìn)法對(duì)復(fù)合材料懸臂梁的阻尼特性進(jìn)行了計(jì)算。由眾多文獻(xiàn)可發(fā)現(xiàn)，關(guān)于復(fù)合材料圓管的阻尼分析相對(duì)較少。Alam等[9]在動(dòng)力學(xué)研究的基礎(chǔ)上用變分方法研究了徑向簡支復(fù)合材料圓柱殼的阻尼特性。Hufenbach等[10]用能量Ritz法分析了簡支復(fù)合材料圓柱殼的阻尼特性。

復(fù)合材料圓管既可視為梁，也可視為殼。通過在Timoshenko梁模型中引入復(fù)模量[11-12]就可對(duì)復(fù)合材料圓管的阻尼特性進(jìn)行分析。運(yùn)用經(jīng)典殼理論可得到梁模型中采用的縱向和面內(nèi)剪切等效模量。為了計(jì)算阻尼，材料參數(shù)考慮使用復(fù)數(shù)形式的模量，實(shí)部代表存儲(chǔ)，虛部代表耗散。求解Timoshenko梁理論可同時(shí)得到模態(tài)頻率和模態(tài)損耗因子。Singh等[13]討論了使用梁理論的限制條件。本文將波動(dòng)法引入Timoshenko梁理論微分方程中進(jìn)行求解，可方便地得到各種邊界條件下的阻尼結(jié)果。將復(fù)合材料圓管視為殼進(jìn)行動(dòng)力學(xué)研究已較為成熟，Lam等[14-16]對(duì)比分析了不同殼理論并研究了邊界條件、鋪層制度等對(duì)復(fù)合材料圓管振動(dòng)特性的影響。波動(dòng)法是進(jìn)行復(fù)合材料圓管振動(dòng)研究的一種較高效的方法，本文將該方法用在Love一階殼理論中并用模態(tài)應(yīng)變能法得到其阻尼特性。

本文采用復(fù)模量方法的Timoshenko梁理論和模態(tài)應(yīng)變能法的Love一階殼理論建立復(fù)合材料圓柱殼動(dòng)力學(xué)方程，在振動(dòng)分析的結(jié)果上建立結(jié)構(gòu)阻尼模型并進(jìn)行阻尼特性分析，對(duì)復(fù)合材料圓管進(jìn)行模態(tài)試驗(yàn)，并與理論計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。

1 Timoshenko梁模型

本文采用的Timoshenko梁理論最早由Tsai等[17]提出，其中包括縱向和面內(nèi)剪切等效模量。

(1)

G=U5-U3γ

(2)

其中：E為彎曲模量；G為剪切模量；Ui(i=1～5)為鋪層常量；γ和β為鋪層常數(shù)。

該模型假設(shè)圓管軸線與材料對(duì)稱軸一致，確保不同方向應(yīng)力分量沒有耦合。為得到材料阻尼，所有鋪層常量Ui為復(fù)數(shù)，因此等效模量也是復(fù)數(shù)。求解包括剪切效應(yīng)和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的Timoshenko方程為：

(3)

其中：I為轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，I=πR3t(1+t2/4R2)，R為圓管半徑，t為圓管壁厚；ρ為密度；A為截面積；k=1/2，為剪切修正系數(shù)；r為整個(gè)長度方向上的形變。

代入rn(z,t)=Rneiknzeiωnnt進(jìn)行求解：

(4)

其中：kn為邊界條件系數(shù)，根據(jù)梁理論得到；ωnn為各階模態(tài)復(fù)頻率；n為環(huán)向波數(shù)。該多項(xiàng)式方程有兩對(duì)互相共軛的復(fù)數(shù)根，其中模相對(duì)小的是長度方向上的彎振模態(tài)，實(shí)部和虛部分別為：

(5)

2 Love一階殼理論

采用Love一階殼理論進(jìn)行阻尼特性分析包括兩個(gè)步驟：1) 求解得到模態(tài)振型；2) 在模態(tài)振型的基礎(chǔ)上采用應(yīng)變能法得到損耗能量，繼而得到模態(tài)損耗因子。對(duì)于如圖1所示鋪層圓柱殼，厚度為h，半徑為R，長度為L。采用坐標(biāo)系Oxθz描述圓柱殼系統(tǒng)，u、v與w分別為圓柱殼在x、θ與z方向上的位移?；贚ove一階殼理論，采用Hamilton原理建立的動(dòng)力學(xué)方程[8]如下：

圖1 復(fù)合材料鋪層圓管模型Fig.1 Model of composite laminated cylindrical tube

(6)

其中，Lij(i,j=1,2,3)為微分算子。殼體的振型函數(shù)可表示為波動(dòng)的形式：

u=Umne-ikmxcos(nθ)eiωt

v=Vmne-ikmxsin(nθ)eiωt

w=Wmne-ikmxcos(nθ)eiωt

(7)

其中：Umn、Vmn、Wmn分別為3個(gè)坐標(biāo)方向上的波幅；ω為角頻率；km為軸向波數(shù)。

將式(7)代入式(6)，根據(jù)存在非零解的條件得到關(guān)于圓柱殼軸向波數(shù)、環(huán)向波數(shù)和頻率的特征方程：

f(km,n,ω)=0

(8)

利用該方程就可得到復(fù)合材料圓管的模態(tài)頻率，其中關(guān)鍵一步就是根據(jù)殼體的邊界條件選取相同邊界條件下梁的波數(shù)作為殼體的軸向波數(shù)[7]，根據(jù)所分析振型選取環(huán)向波數(shù)，得到模態(tài)頻率后，即可得到相應(yīng)的振型函數(shù)，如式(7)所示，振型函數(shù)是計(jì)算應(yīng)變能的基礎(chǔ)。本文主要討論一階彎曲振動(dòng)的阻尼特性。

圖2示出復(fù)合材料鋪層圓管的截面模型。對(duì)于圖2所示的鋪層結(jié)構(gòu)的圓柱殼模型，假設(shè)各層復(fù)合材料是正交各向異性，則第k層的應(yīng)變能[5]為：

(9)

其中：σk為各層主軸應(yīng)力；εk為各層主軸應(yīng)變；hk為各層厚度。

圖2 復(fù)合材料鋪層圓管截面Fig.2 Cross-section of composite laminated cylindrical tube

根據(jù)材料本構(gòu)關(guān)系替換主應(yīng)力為主應(yīng)變，然后用偏軸應(yīng)變替換主軸應(yīng)變，接著將參考面應(yīng)變和曲率代入偏軸應(yīng)變中，令：

則得到各振動(dòng)方向應(yīng)變能為：

(10)

其中：Q為主軸剛度矩陣；l為cosθ，θ為鋪層角度；m為sinθ。

將振型函數(shù)(式(7))代入偏軸應(yīng)變中計(jì)算得到應(yīng)變能，得到第k層的應(yīng)變能為：

(11)

于是得到第k層由于阻尼耗散的能量為：

(12)

其中：η11、η22分別為纖維縱向和橫向上的拉壓阻尼損耗因子；η12為面內(nèi)耦合損耗因子；η66為面內(nèi)剪切損耗因子。進(jìn)一步可求得整體的模態(tài)損耗因子為：

η=∑ΔUk/∑Uk

(13)

3 試驗(yàn)測試

試驗(yàn)系統(tǒng)如圖3所示。復(fù)合材料圓管水平懸掛在空中，如此得到自由邊界條件。圓管表面劃分為網(wǎng)格以方便錘擊測量。力錘用來敲擊網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)，粘貼在圓管上的加速度傳感器用來測量振動(dòng)信號(hào)。加速度傳感器約為0.4g，對(duì)圓管質(zhì)量改變很少，不會(huì)影響模態(tài)測量結(jié)果。敲擊和振動(dòng)信號(hào)通過調(diào)理后在計(jì)算機(jī)中進(jìn)行處理測量。

圖3 試驗(yàn)測試系統(tǒng)Fig.3 Hammer test system

試驗(yàn)中用到了兩個(gè)試驗(yàn)件，其長度為2 000 mm、內(nèi)徑為70 mm、壁厚為2 mm，鋪層分別是沿軸向90°(即環(huán)向)和70°纏繞。根據(jù)基本的力學(xué)性能測量，可得到材料的基本參數(shù)為密度ρ=1 620 kg/m3、軸向模量EL=175.9 GPa、橫向模量ET=8.2 GPa、剪切模量G=5.8 GPa、泊松比ν=0.3，復(fù)合材料在各方向上的模態(tài)損耗因子為η11=0.4、η22=2、η66=2.89。

4 結(jié)果分析

為檢驗(yàn)本文建立的阻尼模型及其近似計(jì)算方法的正確性，表1列出3種鋪層制度，即沿軸向的鋪層制度為[0]16、[90]16和[45/-45]8的復(fù)合材料圓管的一彎模態(tài)頻率和阻尼，并與文獻(xiàn)[18]中的有限元結(jié)果進(jìn)行對(duì)比分析。由表1可看出，本文結(jié)果與文獻(xiàn)結(jié)果符合得很好。表2、3列出試驗(yàn)與計(jì)算結(jié)果的對(duì)比，包括彎振模態(tài)和殼頻模態(tài)。由表2、3可見：對(duì)于彎振損耗因子，殼理論結(jié)果和試驗(yàn)結(jié)果符合得很好，梁理論誤差較大；對(duì)于殼頻損耗因子，殼理論結(jié)果在某些模態(tài)上誤差較大，梁理論則無法計(jì)算殼頻模態(tài)。

圖4示出復(fù)合材料圓管的一彎模態(tài)損耗因 子隨長徑比L/d、邊界條件和鋪層角度、厚徑比t/d與環(huán)向波數(shù)的變化。圖4b中，S-S代表雙邊簡支邊界，C-F代表懸臂邊界，C-C代表雙邊固支邊界。從圖4a可看出，在L/d>10時(shí)，梁理論和殼理論的計(jì)算結(jié)果趨于一致，并達(dá)到恒定值0.65，考慮到鋪層為沿軸向0°，則該恒定值是沿纖維方向的材料損耗因子。由此可知L/d>10時(shí)一彎振型中軸向拉壓振動(dòng)貢獻(xiàn)了最大的應(yīng)變能和阻尼損耗，而梁理論僅能計(jì)算軸向振動(dòng)，于是就可得到較為準(zhǔn)確的結(jié)果。在L/d<10時(shí)，梁理論與殼理論計(jì)算結(jié)果差異較大，殼理論計(jì)算值顯著高于梁理論的，說明一彎振型中非軸向拉壓振動(dòng)貢獻(xiàn)的應(yīng)變能和阻尼損耗逐漸增大，此時(shí)梁理論不再適用。由圖4b可知，與殼理論相比，梁理論不能反映邊界條件對(duì)阻尼特性的影響，對(duì)于鋪層角度的計(jì)算結(jié)果也比較粗略。邊界條件會(huì)影響一彎振型，進(jìn)而影響應(yīng)變能大小和阻尼損耗，從圖4b可見，在鋪層角度<30°和>75°時(shí)，雙邊固支的模態(tài)損耗因子最大，在30°～75°之間時(shí)，懸臂的最大。由于垂直纖維和剪切方向的材料損耗因子較大，所以在鋪層0°時(shí)模態(tài)損耗因子較大主要來自剪切損耗，在50°～90°時(shí)模態(tài)損耗因子較大主要因?yàn)榇藭r(shí)軸向振動(dòng)方向越來越接近垂直纖維方向。非常有趣的是，3種邊界條件在30°處的計(jì)算結(jié)果一致。由圖4c可看出，在計(jì)算范圍內(nèi)，t/d對(duì)模態(tài)損耗因子影響較小，說明一彎模態(tài)中沿厚度方向的振動(dòng)損耗可忽略不計(jì)。圖4d是前三階彎振的模態(tài)損耗因子隨環(huán)向波數(shù)的變化，在環(huán)向波數(shù)為1時(shí)，一階、二階和三階彎振的模態(tài)損耗因子逐步增大，隨環(huán)向波數(shù)增大三者振型模態(tài)損耗因子逐漸趨于一致，該模態(tài)損耗因子為材料橫向損耗因子，說明環(huán)形波數(shù)較大時(shí)環(huán)向振動(dòng)產(chǎn)生的應(yīng)變能和損耗為主要部分。

表1 梁理論和殼理論的結(jié)果驗(yàn)證Table 1 Verification result of beam and shell theories

表2 理論結(jié)果與90°鋪層試驗(yàn)件試驗(yàn)結(jié)果對(duì)比Table 2 Comparison of theoretical and test results of 90° tube sample

表3 理論結(jié)果與70°鋪層試驗(yàn)件試驗(yàn)結(jié)果對(duì)比Table 3 Comparison of theoretical and test results of 70° tube sample

圖4 不同幾何條件、邊界條件和環(huán)向波數(shù)對(duì)模態(tài)損耗因子的影響Fig.4 Influence of different aspect ratios, boundary conditions and circumferential numbers on modal loss factor

5 結(jié)論

本文采用復(fù)模量方法的Timoshenko梁理論和模態(tài)應(yīng)變能法的Love一階殼理論得到復(fù)合材料圓管的阻尼特性，開展了復(fù)合材料圓管的模態(tài)試驗(yàn)，并與理論計(jì)算結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比分析。最終分析了鋪層角度、幾何尺寸、邊界條件及環(huán)向波數(shù)對(duì)復(fù)合材料圓管阻尼特性的影響規(guī)律，所得結(jié)果如下。

1) 殼理論模型能準(zhǔn)確分析復(fù)合材料圓柱殼的阻尼性能，梁理論模型僅在軸向振動(dòng)損耗占優(yōu)的情況下計(jì)算比較準(zhǔn)確，如L/d>10時(shí)。

2) 一彎模態(tài)損耗因子隨L/d的增大而減小，在L/d>10時(shí)趨于定值。t/d對(duì)一彎模態(tài)損耗因子影響較小。

3) 一彎模態(tài)損耗因子隨鋪層角度先減小再增大后輕微減??；在鋪層角度<30°和>75°時(shí)，雙邊固支的模態(tài)損耗因子最大，在30°～75°之間時(shí)，懸臂的最大。