王洪雁，喬恵嬌，裴炳南

(1. 大連大學(xué) 遼寧省北斗高精度位置服務(wù)技術(shù)工程實(shí)驗(yàn)室，遼寧 大連 116622；2．大連大學(xué) 大連市環(huán)境感知與智能控制重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，遼寧 大連 116622)

近年來，隨著多進(jìn)多出(Multiple-Input Multiple-Output, MIMO)通信的蓬勃發(fā)展，以及雷達(dá)為突破自身限制而產(chǎn)生對新理論的需求，多進(jìn)多出雷達(dá)概念應(yīng)運(yùn)而生[1]。與只能發(fā)射相干波形的相控陣?yán)走_(dá)相比，多進(jìn)多出雷達(dá)可發(fā)射幾乎任意波形。按照相鄰陣元間距的不同，多進(jìn)多出雷達(dá)可分為分布式及集中式[2]。前者相鄰陣元間距較大，可從不同角度檢測目標(biāo)，從而可利用空間分集提高檢測性能。而后者相鄰接收陣元間距較近，只能從某個角度觀測目標(biāo)，從而可獲得更多的系統(tǒng)自由度，進(jìn)而提高參數(shù)辨識能力以及干擾抑制性能。

眾所周知，空時自適應(yīng)處理(Space-Time Adaptive Processing, STAP)技術(shù)具有同時抑制雜波和干擾的特性，可顯著改善系統(tǒng)的性能[3]。為提高多進(jìn)多出雷達(dá)的檢測性能，眾多基于空時自適應(yīng)處理的檢測算法相繼被提出[4]。其中，Bliss等首次將空時自適應(yīng)處理引入多進(jìn)多出雷達(dá)[5]。Wang等深入研究了MIMO-STAP雜波秩與波形的關(guān)系[6]。此外，Wang等通過設(shè)計(jì)發(fā)射波形以改善MIMO-STAP檢測性能[7]。隨后，Tang等提出一種發(fā)射波形及接收權(quán)聯(lián)合優(yōu)化的迭代方法以改善MIMO-STAP檢測性能[8]。需要注意，上述優(yōu)化問題的求解是基于環(huán)境及目標(biāo)的先驗(yàn)信息。在實(shí)際應(yīng)用中，這些先驗(yàn)信息只能通過估計(jì)得到，因而不可避免地存在估計(jì)誤差，進(jìn)而依賴于估計(jì)值所得優(yōu)化波形必然受到影響，導(dǎo)致系統(tǒng)性能下降[9]。此外，上述文獻(xiàn)并未考慮旁瓣及雜波抑制問題，而抑制旁瓣可減少干擾以提高檢測性能[10]。

針對上述問題，筆者考慮目標(biāo)先驗(yàn)信息未確知情況下收發(fā)聯(lián)合優(yōu)化方法以改善MIMO-STAP檢測概率的穩(wěn)健性。根據(jù)最大化輸出信干噪比(Signal-Inference-Noise Ratio, SINR)[10]準(zhǔn)則，基于波形恒模特性、旁瓣及雜波抑制等約束，在目標(biāo)空時頻導(dǎo)向矢量不確定凸集上構(gòu)建收發(fā)聯(lián)合穩(wěn)健優(yōu)化問題以最大化最差情況下輸出信干噪比，進(jìn)而改善系統(tǒng)檢測概率的穩(wěn)健性。為求解復(fù)雜的非線性問題，筆者提出一種迭代算法，其中每步都可轉(zhuǎn)化為半定規(guī)劃問題[11]，從而可高效地求解難題。

1 MIMO-STAP模型

MIMO-STAP模型：收發(fā)陣列為平行放置的均勻線陣，接收及發(fā)射陣元數(shù)分別為N和M，收發(fā)間距分別為dR和dT，且平行分布。雷達(dá)平臺沿收發(fā)陣列方向勻速直線飛行，脈沖間隔為T。在此場景下，首先分別對目標(biāo)、雜波及噪聲進(jìn)行建模。

記發(fā)射信號矩陣為S=[s1,s2,…，sM]T，其中sm∈CK×1,為第m個發(fā)射單元的波形采樣，K為樣本數(shù)，則第l個脈沖下目標(biāo)接收信號可表示為

Y1=αtej2πfDlabTS，

(1)

其中，fD=2(vsinθt+vt)T/λ,為目標(biāo)多普勒頻率；v和vt分別為雷達(dá)及目標(biāo)速度；λ為載波波長；αt和θt分別為目標(biāo)復(fù)振幅和方向;a=[1,ej2πfs,…,ej2π(N-1)fs]T，b=[1,ej2πγfs,…,ej2π(M-1)γfs]T，分別為目標(biāo)接收、發(fā)射導(dǎo)向矢量；fs=dRsinθt/λ，為目標(biāo)空間頻率，γ=dT/dR。

設(shè)相干脈沖處理周期脈沖數(shù)為L，則某相干脈沖處理周期中接收的目標(biāo)信號χt=[vecT(Y1),vecT(Y2),…,vecT(YL)]T。根據(jù)矩陣矢量化性質(zhì)，由式(1)可得

χt=αtd?(ST?IN)(b?a)=αt(IL?ST?IN)(d?b?a)=αtXut(θt) ，

(2)

其中，X=IL?ST?IN,ut(θt)=(d?b?a),為空時頻導(dǎo)向矢量；d=[1,ej2πfD,…,ej2π(L-1)fD]T，為多普勒矢量；vec(·)為矢量化算子;?表示克羅內(nèi)克積；IN為N×N單位矩陣。

接收端需要對接收信號進(jìn)行濾波處理,以得到目標(biāo)檢測充分統(tǒng)計(jì)量。因此，目標(biāo)信號輸出功率可表示為

(3)

式中，w∈CNKL×1,為濾波系數(shù)。

雜波可建模為NC個雜波塊的疊加，則L個相干脈沖處理周期脈沖條件下雜波可表示為[12]

(4)

其中，αc為位于方向θc的雜波塊的復(fù)振幅；Γ()∈CLKN×LKN，為雜波延遲矩陣[12]；uc(θc)=dc?bc?ac，為雜波空時頻導(dǎo)向矢量；ac=[1,ej2πfs,c,…，ej2π(N-1)fs,c]T，bc=[1,ej2πγfs,c,…,ej2π(M-1)γfs,c]T，分別為雜波接收和發(fā)射的導(dǎo)向矢量；fs,c=dRsinθc/λ，dc=[1,ej2πfD,c,…，ej2π(L-1)fD,c]T，fD,c=2vTsinθc/λ，分別為雜波空間頻率、多普勒導(dǎo)向矢量及多普勒頻率。類似地，接收端對雜波濾波處理，可得

(5)

由文獻(xiàn)[9]可知，雷達(dá)接收機(jī)中噪聲可建模為高斯白噪聲，則相干脈沖處理周期內(nèi)噪聲可表示為

z=[vecT(Z1),vecT(Z2),…,vecT(ZL)]T，

(6)

2 問題提出

此外，為改善檢測性能，不僅要考慮抑制雜波，還需考慮旁瓣抑制。若旁瓣較高，則會掩蓋弱小目標(biāo)，從而造成檢測概率下降[10]。因此，需通過收發(fā)聯(lián)合設(shè)計(jì)將旁瓣與雜波均限定在給定閾值內(nèi)[14]。

基于以上所述，在恒模約束、旁瓣及雜波抑制條件下，最大化輸出信干噪比以提高M(jìn)IMO-STAP檢測概率的收發(fā)聯(lián)合優(yōu)化問題可表示如下：

(7)

其中，Θc表示雜波范圍；Θs為旁瓣范圍；us(θs)=(d?b?a)，為位于θs∈Θs的空時頻導(dǎo)向矢量；μ和σ分別為旁瓣水平和雜波水平閾值。

需要注意的是，求解式依賴于某些參數(shù)確切值，比如導(dǎo)向矢量等。然而，實(shí)際中這些參數(shù)只能通過估計(jì)得到，因而不可避免地存在估計(jì)誤差，從而導(dǎo)致系統(tǒng)性能下降。針對此問題，筆者僅考慮目標(biāo)導(dǎo)向矢量未確知情況下改善系統(tǒng)檢測穩(wěn)健性的收發(fā)聯(lián)合穩(wěn)健優(yōu)化問題。此外，求解問題(7)還需雜波塊的復(fù)振幅αc的確切值。在實(shí)際應(yīng)用中，此值可以通過文獻(xiàn)[15]所提幅相估計(jì)(Amplitude and Phase EStimation, APES)或CAPES(Capon and APES)方法估計(jì)得到。

根據(jù)文獻(xiàn)[9]，真實(shí)的目標(biāo)發(fā)射和接收導(dǎo)向矢量以及多普勒導(dǎo)向矢量可建模為

(8)

其中，b，a和d分別為假設(shè)發(fā)射、接收及多普勒導(dǎo)向矢量，歸一化得bHb=M，aHa=N，dHd=L。Δu1，Δu2，Δu3分別為發(fā)射、接收及多普勒導(dǎo)向矢量的估計(jì)誤差，且此估計(jì)誤差分別屬于如下不確定集合：

(9)

其中，‖·‖為歐氏范數(shù)。由式(8)和(9)可知，真實(shí)目標(biāo)空時頻導(dǎo)向矢量不確定集可表示為

(10)

其中，Δu為目標(biāo)空時頻導(dǎo)向矢量估計(jì)誤差，ε為誤差上確界。ε可表示為

ε=(M)1/2ε2ε3+(N)1/2ε1ε3+(L)1/2ε1ε2+(MN)1/2ε3+(M)1/2ε2ε3+(LM)1/2ε2+(LN)1/2ε1+ε1ε2ε3。

(11)

綜上所述，在恒模約束、旁瓣及雜波抑制條件下，最大化目標(biāo)空時頻導(dǎo)向矢量不確定凸集上的輸出信干噪比，以提高最差條件下MIMO-STAP檢測概率的收發(fā)聯(lián)合穩(wěn)健優(yōu)化問題，可表示如下：

(12)

由于S的恒模特性，問題(12)中的第3項(xiàng)約束為非凸約束，亦即上述優(yōu)化問題為NP問題[11]。考慮存在非凸約束，且由于其是極大極小問題，因而此問題難以利用諸如凸優(yōu)化等傳統(tǒng)優(yōu)化方法求解[8]。如若采用基于梯度的方法，則收斂性難以保證。

3 所提迭代算法

為求解復(fù)雜非線性聯(lián)合穩(wěn)健優(yōu)化問題，將交替求解內(nèi)外子優(yōu)化問題。首先考慮內(nèi)部優(yōu)化。在波形S和權(quán)w已知的條件下，內(nèi)部優(yōu)化問題可表示為

(13)

由矩陣跡性質(zhì)知，式(13)中目標(biāo)函數(shù)可改寫為wHX(ut(θt)+Δu)(ut(θt)+Δu)HXHw，且由特征值理論得[16]，最優(yōu)值為(ut(θt)+Δu)(ut(θt)+Δu)H最小特征值。根據(jù)舒爾補(bǔ)定理[16]，式(13)可重新表示為

(14)

其中，t為輔助變量；A≤B，表示B-A為半正定矩陣。將式(14)所得Δu代入式(12)，考慮外部優(yōu)化，得

(15)

式(15)為關(guān)于波形與接收權(quán)的聯(lián)合優(yōu)化，且存在恒模約束，須迭代求解?？紤]已知S求解w，由tr(AB)=tr(BA)及舒爾補(bǔ)定理[16]，可得

(16)

將式(16)所得最優(yōu)w代入式(15)，基于tr(ABCD)=vecT(DT)(CT?A)vec(B)，考慮關(guān)于S的優(yōu)化問題。由A∈Cp×m，B∈Cn×q，Kqp為置換矩陣，vec(A?B)=(Im?Kqp?In)(vec(A)?vec(B)),得

(17)

由文獻(xiàn)[8]及半正定松弛方法[17]可知，恒模約束可松弛為diag(Ξ)=I，Ξ±0，其中Ξ=vec(ST)vecH(ST)，則基于tr(AB)=tr(BA)及(A?B)(C?D)=(AC)?(BD)，式(17)可表示為

(18)

其中Λ=vec(IN)vecH(IN)。半定規(guī)劃問題(14)、(16)、(18)可通過凸優(yōu)化工具包CVX實(shí)現(xiàn)高效求解。

由上述可知，式(18)只能得到波形相關(guān)矩陣而非最終可發(fā)射波形。為得到S，可利用隨機(jī)化方法[18]，即生成一組獨(dú)立同分布高斯向量ξk，其中ξk～N(0,Z0)，k=1,…,Q，Z0=Ξ⊙(ppH)，⊙為哈達(dá)瑪積，p=1/(MK)1/21T。假設(shè)sk(i)=p*ζ(ξk(i))，ζ(ξk(i))=ejarg(ξk(i))，則最優(yōu)發(fā)射波形ST矢量化形式為

(19)

由以上討論可知，收發(fā)聯(lián)合穩(wěn)健優(yōu)化問題的迭代求解算法具體步驟可描述如下：

(1)求解式(14)以得到最優(yōu)矢量誤差Δu。

(2)求解式(16)以獲得最優(yōu)接收權(quán)w；

(3)求解式(18)及式(19)，以得到最優(yōu)發(fā)射波形S；

4 實(shí)驗(yàn)仿真及分析

設(shè)目標(biāo)角度誤差Δθ=[-2°,2°]，多普勒估計(jì)誤差ΔfD=[-0.02,0.02]，經(jīng)計(jì)算，對于多進(jìn)多出雷達(dá)(0.5,0.5)，ε=2.468 5；而對于多進(jìn)多出雷達(dá)(1.5,0.5)，ε=3.546 9。

圖1為rSNR=10dB，rCNR=20dB條件下所提算法的最優(yōu)發(fā)射方向圖。由圖1知，所提算法在θt=0°附近出現(xiàn)一個尖峰，表明所提算法可將發(fā)射功率集中于目標(biāo)估計(jì)誤差區(qū)域內(nèi)，從而可提高最差條件下目標(biāo)檢測概率。此外，圖1(b)中有柵瓣出現(xiàn)，這是由于多進(jìn)多出雷達(dá)(1.5,0.5)發(fā)射陣元稀疏布置引起的。

圖1 rSNR=10 dB、rCNR=20 dB，所提算法所得最優(yōu)發(fā)射方向圖

為驗(yàn)證最差情況下輸出信干噪比的性能提升，在rSNR∈[10 dB,50 dB]，rCNR∈[10 dB,50 dB]條件下，圖2示出所提算法、文獻(xiàn)[8]的先驗(yàn)信息確知條件下非穩(wěn)健算法、文獻(xiàn)[9]的穩(wěn)健算法、文獻(xiàn)[10]的非穩(wěn)健算法及不相關(guān)波形法所得最差條件下輸出信干噪比隨信噪比或雜噪比的變化曲線。由圖2知，5種方法所得輸出信干噪比均隨信噪比增加而增加，隨雜噪比增加而降低。此外，所提方法所得信干噪比優(yōu)于文獻(xiàn)[9]中的穩(wěn)健算法、文獻(xiàn)[10]中的非穩(wěn)健算法及不相關(guān)波形法，其可歸因于所提算法在低旁瓣約束下聯(lián)合優(yōu)化發(fā)射波形及接收權(quán)，而文獻(xiàn)[9]中的穩(wěn)健算法僅考慮發(fā)射波形設(shè)計(jì)，文獻(xiàn)[10]中的非穩(wěn)健算法僅考慮低旁瓣約束，且所提算法通過優(yōu)化波形將發(fā)射功率集中于不確定凸集而不相關(guān)波形法則全向發(fā)射。需要說明的是，所提算法與文獻(xiàn)[8]中在先驗(yàn)信息確知條件下收發(fā)聯(lián)合優(yōu)化非穩(wěn)健算法所得信干噪比之間差距較小，意味著所提算法可顯著提高最差情況下輸出信干噪比。再者，比較圖2(a)和(b)或圖2(c)和(d)可知，多進(jìn)多出雷達(dá)(1.5,0.5)輸出信干噪比略大于多進(jìn)多出雷達(dá)(0.5,0.5),這是由于前者所形成虛擬孔徑大于后者，因此可獲得更大的分集增益。

為驗(yàn)證筆者所提方法的穩(wěn)健性，在rSNR∈[10 dB,50 dB]、rCNR∈[10 dB,50 dB]條件下，圖3刻畫了所提算法、文獻(xiàn)[8]中在先驗(yàn)信息確知條件下非穩(wěn)健算法、文獻(xiàn)[9]中的穩(wěn)健算法、文獻(xiàn)[10]中的非穩(wěn)健算法及不相關(guān)波形法所得最差情況下平均輸出信干噪比隨信噪比或者雜噪比的變化曲線(蒙特卡羅法仿真50次后平均)。由圖3可知，所提方法及文獻(xiàn)[9]中的穩(wěn)健算法所得最差條件下平均輸出信干噪比隨信噪比或者雜噪比變化較平穩(wěn)，而文獻(xiàn)[8，10]中的非穩(wěn)健算法所得平均輸出信干噪比隨信噪比或者雜噪比變化波動較大。此外，由圖3還可知，在給定條件下，所提方法所得最差條件下平均輸出信干噪比皆優(yōu)于文獻(xiàn)[9]中的穩(wěn)健算法。由此可得，所提方法具有較好的穩(wěn)健性。

圖2 筆者所提算法與非穩(wěn)健算法及發(fā)射不相關(guān)波形得到的最差條件下輸出SINR隨輸入信噪比或者雜噪比的變化曲線

圖3 筆者所提算法與非穩(wěn)健算法、發(fā)射不相關(guān)波形及目標(biāo)先驗(yàn)信息確知得到的最差條件下平均信干噪比 隨信噪比或雜噪比變化曲線

為驗(yàn)證所提方法的收斂性，圖4給出rSNR=10 dB，rCNR=20 dB條件下，所提方法在最差條件下輸出信干噪比隨迭代次數(shù)變化的曲線圖。從圖4可看出，隨著迭代次數(shù)增加，所提方法得到的輸出信干噪比波動逐漸變小，且在給定雷達(dá)配置條件下，皆僅需5步左右迭代即可趨于穩(wěn)定，表明所提方法具有較好的收斂性。

圖4 rSNR=10 dB,rCNR=20 dB,所提算法所得最差條件下輸出SINR隨迭代次數(shù)變化曲線

圖5 rSNR=10 dB,rCNR=20 dB,所提算法所得最差條件下輸出SINR隨ε變化曲線

為驗(yàn)證誤差上確界對系統(tǒng)輸出信干噪比的影響，圖5示出所提算法及文獻(xiàn)[9]中的穩(wěn)健算法所得最差條件下輸出信干噪比隨ε變化曲線。由圖5可看出，上述兩種算法所得最差條件下輸出信干噪比隨ε增大而減小，表明ε取值對信干噪比有較大的影響。

5 結(jié)束語

筆者研究了目標(biāo)空時頻導(dǎo)向矢量未確知情況下提高M(jìn)IMO-STAP檢測概率穩(wěn)健性的發(fā)射波形及接收權(quán)聯(lián)合優(yōu)化問題。根據(jù)最大化最差情況下輸出信干噪比準(zhǔn)則，在波形恒模特性、空時頻導(dǎo)向矢量不確定凸集、旁瓣及雜波抑制約束下構(gòu)建發(fā)射波形及接收權(quán)聯(lián)合穩(wěn)健優(yōu)化問題。為求解所得復(fù)雜非線性問題，筆者提出一種發(fā)射波形和接收權(quán)交替優(yōu)化的迭代方法，所提方法中每一步均可轉(zhuǎn)化為半定規(guī)劃問題，因而可高效求解問題。仿真結(jié)果表明，與非穩(wěn)健方法以及不相關(guān)波形法相比，筆者提出的方法可改善MIMO-STAP的檢測概率穩(wěn)健性。