臧 旭， 吳 松， 郭其威， 唐國安

(1. 復旦大學 航空航天系，上海 200433； 2. 上海宇航系統(tǒng)工程研究所，上海 201109)

空間站需要大面積且能在火箭中折疊裝載的大型太陽電池翼為其提供主要動力來源[1-2]。我國空間站電池翼借鑒國際空間站成功經驗，采用“Mast”+“Blanket”柔性電池翼的設計方案[3]，初始頂部收藏箱與底部收藏箱重疊在一起，如圖1收攏狀態(tài)所示。當接到展開指令后，伸展機構在電機驅動下沿垂直方向伸展，帶動柔性陣面展開，導向機構限制陣面的面外運動，直至最后一塊基板展開，張緊機構施加預緊使柔性陣面張緊，如圖1展開狀態(tài)所示。

國際空間站電池翼展開面積超過100 m2，基頻在0.1 Hz以下，并且低階模態(tài)密集度高[3～5]。柔性電池翼的頻率特性是空間站姿態(tài)控制系統(tǒng)設計的關鍵指標[6]，20世紀80年代末在國際空間站研制過程中，柔性翼動力學參數(shù)多通過解析法獲取，Sasan等[7]以帶有預緊力的國際空間站桁架為研究對象，采用考慮轉動慣量的梁振動方程，計算得到了桁架的展開頻率。Bosela[8]考慮了含有預緊力的柔性翼陣面及桁架的力學特性，運用伽遼金法得到柔性電池翼模態(tài)參數(shù)。Carney等[9-10]分別給出了0 g和1 g狀態(tài)柔性太陽電池翼頻率半解析解。隨著計算機技術的迅猛發(fā)展，有限元法已成為預示大型撓性結構模態(tài)參數(shù)的主要手段[11-13]。Laible等[14]將國際空間站2 A電池翼在軌辨識數(shù)據(jù)與仿真數(shù)據(jù)進行了對比，分析表明柔性電池翼發(fā)生幾何非線性變形，該非線性是電池翼模態(tài)預測誤差產生的主要原因。郭其威等[15]將加載均勻張力的柔性陣面等效為弦，給出了伸展機構臨界屈曲載荷與整翼基頻關系，并通過有限元法獲取了伸展機構臨界屈曲載荷。

圖1 空間站柔性太陽翼示意圖Fig.1 The flexible solar array diagram

本文綜合考慮柔性電池翼在張力作用下的幾何非線性變形，闡明了非線性靜力分析不易收斂的機理，通過溫度應力實現(xiàn)張力模擬[12-13]，采用線性初值加非線性迭代修正兩步法，獲取了即保證非線性計算收斂又滿足工程張力設計值的溫度變化量，并依據(jù)整翼非線性靜力矩陣獲取空間站柔性太陽電池翼模態(tài)參數(shù)。

1 柔性太陽電池翼建模

在研柔性太陽電池翼方案由柔性陣面、張緊機構、伸展機構、收藏箱、收藏桶和驅動機構組成，有限元模型如圖2所示，各部件尺寸及材料參數(shù)，見表1。忽略伸展機構機構間隙影響，將其簡化為一根細長梁。伸展機構、收藏箱、收藏桶和驅動機構均采用兩結點梁單元模擬，柔性陣面采用四結點殼單元模擬。張緊機構也采用兩節(jié)點梁單元模擬，為協(xié)調梁單元與殼單元的連接自由度，張緊機構與柔性陣面采用剛性約束連接，并約束6個方向的自由度。

圖2 柔性太陽翼有限元模型Fig.2 The flexible solar array finite element model表1 尺寸及材料參數(shù)匯總Tab.1 Summary of dimensions and material parameters

驅動機構收藏桶收藏箱伸展機構張緊機構柔性陣面單元類型梁單元梁單元梁單元梁單元梁單元殼單元單元數(shù)/個55521081 260彈性模量/GPa7070400702103泊松比0.30.30.30.30.30.3質量/kg30804×20852×150長度尺寸/m21.92.5250.2524.5截面構型空心圓空心圓長方形空心圓圓截面尺寸R1=0.055 mR2=0.046 mR1=0.25 mR2=0.24 m0.11 m×0.03 mR1=0.1 mR2=0.099 5 mR=0.000 5 m2.5 m×0.000 3 m

2 柔性太陽電池翼模態(tài)分析方法

柔性太陽電池翼受到張緊機構張力F作用，柔性陣面剛度因張力作用而發(fā)生改變，其形式可表示為K=K0+FK1，其中K0為柔性陣面初始剛度，K1為K關于張力F的導數(shù)矩陣。柔性陣面初始剛度K0極低，遠小于由張緊力引入的附加剛度FK1，因此張緊力是決定柔性太陽電池翼基頻的重要因素。柔性太陽電池翼四個張緊機構均設置在頂部收藏箱上，建模時通過在與頂部收藏箱連接的張緊機構梁單元上施加降溫實現(xiàn)張緊機構張力加載，如圖2所示。為考慮整翼幾何非線性變形及預應力影響，先進行非線性靜力分析，獲取張力作用下的整翼剛度矩陣K0+FK1，并以此剛度矩陣為基礎通過模態(tài)分析獲取整翼預應力狀態(tài)動力學參數(shù)。

圖3 收藏箱幾何變形示意圖Fig.3 Collecting box geometric distortion diagram

按設計要求模擬張緊機構張力F的溫度變化值的設置是建立空間站柔性電池翼有限元模型的關鍵。太陽電池翼收藏箱在張緊力作用下產生變形，導致收藏箱在與內、外張緊機構連接處變形不一致δ1≠δ2(如圖3所示)，此時存在兩個問題：①頂部收藏箱變形δ2>δ1，外部張緊機構原本由溫度應力獲得的變形部分被收藏箱變形所抵消，為保證F1=F2=F的設計要求，則在外張緊機構上施加的溫度變化值T2必須大于內張緊機構上的溫度變化值T1；②受張緊力影響底部收藏箱也發(fā)生變形，在張緊機構上施加相同的溫度變化初值，底部收藏箱外部張緊繩存在受壓F4<0的可能性，導致非線性計算不收斂。為解決上述問題，本文先采用影響系數(shù)法獲取線性溫度變化初值，再通過非線性迭代修正獲取滿足F1=F2=F要求的溫度變化值T1、T2。

2.1 線性初值獲取

為使內外張緊機構張力滿足F1=F2=F的設計要求，需在頂部收藏箱內外張緊機構梁單元上施加不同的溫度變化值T1、T2，且T1小于T2。在線性情況下，內外張緊機構張力F1和F2可表示為關于T1、T2的線性方程：

(1)

為便于計算令張緊機構梁單元熱膨脹系數(shù)α=1/℃，式(1)的系數(shù)矩陣可通過影響系數(shù)法獲取，即假設αT1=1、αT2=0，代入整翼有限元進行線性求解，F(xiàn)11、F21分別對應為頂部收藏箱內外張緊機構單元力，同理假設αT1=0、αT2=1，可得到F12、F22。此時令內外張緊機構張力F1=F2=F，求解線性方程組(1)可得到線性情況下，使內外張緊力均為F時需加載的溫度變化值T10、T20。

2.2 非線性迭代修正

在非線性情況下，頂部收藏箱內外張緊機構張力F1和F2通常表示為關于溫度變化值T1、T2的非線性方程：

(2)

方程組(2)通常是隱式的，不易直接求解，可通過線性求解得到的溫度變化值T10、T20為初值，對式(2)作Taylor展開，并保留一階項得到：

(3)

式中：矩陣H可采用差分方法計算獲得，令F1=F2=F，代入式(3)得到新的溫度變化值T11、T21，并將其代入有限元模型進行非線性靜力求解，檢查頂部收藏箱內外張緊機構單元力是否為F，若仍有偏差，則以T11、T21為初值重復上述步驟迭代修正，直到內外張緊機構單元力滿足精度要求。實踐表明，僅需一次迭代即可得到足夠精度的張緊機構張力。具體步驟如下：

(1)以線性求解得到的溫度變化值T10、T20為初值，代入有限元模型進行非線性靜力求解，輸出頂部收藏箱內外張緊機構單元力分別為f1(T10,T20)，f2(T10,T20)；

(2)令T1=(1+η)T10、T2=T20，將上述溫度變化值代入有限元模型進行求解，輸出頂部收藏箱內外張緊機構單元力分別為f1[(1+η)T10,T20]，f2[(1+η)T10,T20]；

(3)令T1=T10、T2=(1+η)T20，將上述溫度變化值代入有限元模型進行求解，輸出頂部收藏箱內外張緊機構單元力分別為f1[T10,(1+η)T20]，f2[T10,(1+η)T20]；

(4)計算矩陣H的各個分量

(4)

(5)求解線性代數(shù)方程(3)，得到得到溫度變化值T11、T21，代入有限元模型校核張緊機構單元力；

(6)以溫度變化值T11、T21作為初值，重復(1)～(5)步直到內外張緊機構單元力滿足精度要求為止。

3 柔性太陽電池翼動力學特性

假設張緊機構張力F=30 N，柔性太陽電池翼非線性靜力及模態(tài)分析結果如表2、表3所示，結果表明電池翼底部收藏箱內外張緊機構張力不均勻。柔性太陽電池翼一階彎曲振型表明底部收藏箱外部張緊力不足，柔性陣面應力不均勻導致陣面外側剛度變小、容易蜷曲，如圖4所示。為了驗證均勻張力對柔性電池翼基頻的改善，在電池翼底部收藏箱外側各增加一個張緊機構，分析表明張緊機構張力相同，整翼基頻明顯提高，振型如圖5所示，因此建議設計中應采取相應改進措施。

表2 非線性靜力計算結果Tab.2 Nonlinear static calculation results

表3 模態(tài)計算結果Tab.3 Modal calculation results

圖4 非均勻張力一階彎曲振型Fig.4 The first order bending mode of non-uniform tension

圖5 均勻張力一階彎曲振型Fig.5 The first order bending mode of uniform tension

柔性電池翼的基頻通過張緊機構預應力施加于柔性陣面實現(xiàn)，柔性陣面受拉繃緊，伸展機構受壓并與收藏箱提供支撐邊界。在均勻張力作用下，柔性陣面一階固有模態(tài)呈彎曲變形，由于陣面為薄膜結構，其一階頻率及振型與受拉弦近似，可按弦理論近似計算：

(5)

式中：ρb為陣面線密度；lb為陣面長度；柔性陣面基頻從0 Hz開始；隨張緊力F增大而逐漸提高。陣面張緊力反作用于伸展機構的軸壓為4F，伸展機構簡化為細長梁結構，考慮柔性陣面質量影響伸展機構承受軸壓狀態(tài)下自由振動頻率：

(6)

式中：ρm為伸展機構線密度，伸展機構基頻隨張緊力F增大而逐漸下降，并在張緊力合力4F超過伸展機構屈曲載荷Pcr時下降至0 Hz，因此必定存在張緊力4F/Pcr的最優(yōu)取值，如圖6所示。

圖6 伸展機構及陣面基頻隨4F/Pcr比值變化Fig.6 Stretchable mechanism and array base frequency change with 4F/Pcr

圖7 柔性太陽電池翼基頻隨4F/Pcr比值變化Fig.7 The flexible solar array base frequency change with 4F/Pcr

柔性陣面張力與伸展機構屈曲載荷比值不同，柔性電池翼整翼基頻及振型也呈現(xiàn)出不同的表現(xiàn)形式，如圖7所示。比值較小時，柔性陣面尚未張緊，基頻較低，整翼振型表現(xiàn)為陣面大幅振動，伸展機構幾乎不動，如圖8所示；隨著比值升高，整翼基頻逐漸提高，并且在張緊力4F到達伸展機構屈曲載荷Pcr的10%時，到達整翼基頻的最優(yōu)點，此時整翼振型表現(xiàn)為陣面與伸展機構振幅相當，如圖9所示；當越過最優(yōu)點后，隨著比值繼續(xù)提高整翼基頻不斷下降，并在張緊力4F到達伸展機構屈曲載荷Pcr時，伸展機構發(fā)生屈曲，整翼基頻下降為0，此時張力4F=1 720 N，即伸展機構臨界屈曲載荷為Pcr=1 720 N。

圖8 4F/Pcr=0.01整翼振型示意圖Fig.8 4F/Pcr=0.01 solar array vinration diagram

圖9 4F/Pcr=0.1整翼振型示意圖Fig.9 4F/Pcr=0.1 solar array vinration diagram

4 總 結

本文建立空間站柔性太陽電池翼有限元模型，采用溫度應力模擬柔性陣面張緊力加載，并通過線性初值加非線性迭代修正，獲取使電池翼內外張緊機構張力相同的溫度變化值，解決了由于收藏箱變形導致的柔性陣面非線性靜力計算迭代不易收斂的問題。根據(jù)非線性靜力分析獲取整翼預緊力狀態(tài)剛度矩陣，以此剛度矩陣為基礎開展柔性太陽電池翼模態(tài)分析，并獲得具有實際工程設計意義的結論如下：

(1)在電池翼底部收藏箱外部各增加一套張緊機構，可有效保證全部張緊繩張力相同，陣面張力均勻，整翼基頻明顯提高。

(2)柔性電池翼基頻受張緊力影響較大，假設伸展機構無限剛，張緊力越大電池翼基頻越大。而實際情況下伸展機構的剛度由其包絡直徑、縱桿尺寸等因素決定，伸展機構基頻隨張緊力增大而逐漸下降，且張緊力加載受到伸展機構臨界屈曲載荷限制，分析表明張緊力4F到達伸展機構屈曲載荷Pcr的10%時，到達整翼基頻的最優(yōu)點。