劉澤潮， 林建輝， 丁建明, 吳文逸

(西南交通大學(xué) 牽引動(dòng)力國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 成都 610031)

軸承是列車(chē)走行部中的關(guān)鍵部件，它的運(yùn)行狀態(tài)與列車(chē)的運(yùn)行安全息息相關(guān)。軸承的狀態(tài)監(jiān)測(cè)可以采用溫度、聲學(xué)、振動(dòng)等多種方式檢測(cè)方式。然而，軸承溫度的檢測(cè)具有滯后性，而聲學(xué)檢測(cè)易受環(huán)境噪聲干擾。所以，基于振動(dòng)的故障診斷方法被廣泛應(yīng)用于軸承的狀態(tài)監(jiān)測(cè)[1]。

當(dāng)軸承發(fā)生磨損、疲勞剝落、劃痕等故障時(shí)，軸承會(huì)產(chǎn)生周期性沖擊。這些周期性沖擊會(huì)激起機(jī)械系統(tǒng)的高頻振蕩，通過(guò)對(duì)高頻振蕩信號(hào)的解調(diào)可以實(shí)現(xiàn)故障早期微弱特征的提取?；谙柌刈儞Q的包絡(luò)解調(diào)是一種常用的解調(diào)算法，通過(guò)分析其頻譜從而可以實(shí)現(xiàn)故障的診斷與識(shí)別[2]。然而，希爾伯特變換存在它的局限性：一是容易受到其他頻率的干擾；二是在計(jì)算瞬時(shí)能量時(shí)，其只保留了瞬時(shí)幅值，而忽略了瞬時(shí)頻率的影響[3-5]。所以，為了更好的提取沖擊的周期成分，Teager-Kasier 能量算子(TEO)被用于進(jìn)行信號(hào)的解調(diào)。Teager算子解調(diào)相較于包絡(luò)解調(diào)具有更好的抗干擾特性[6-10]。但是，Teager算子作為一種能量算子不應(yīng)當(dāng)存在無(wú)意義的負(fù)值，所以John提出了一種類(lèi)似的算子，頻率加權(quán)能量算子(FWEO)[11]。相比較于Teager算子解調(diào)，F(xiàn)WEO算子解調(diào)具有更強(qiáng)的抗干擾特性。FWEO算子通過(guò)計(jì)算信號(hào)導(dǎo)數(shù)的包絡(luò)來(lái)實(shí)現(xiàn)信號(hào)的解調(diào)。對(duì)于離散信號(hào)，在計(jì)算導(dǎo)數(shù)時(shí)包括多種差分方式：前向差分方式、后向差分方式和中間差分方式。FWEO算子使用了中間差分方式。但是研究發(fā)現(xiàn)，當(dāng)解調(diào)信號(hào)的中心頻率較低時(shí)，其相鄰采樣點(diǎn)的數(shù)值相近。這就導(dǎo)致FWEO幅值較小，所以故障信息被噪聲所淹沒(méi)。

所以，提出改進(jìn)的變步長(zhǎng)頻率加權(quán)能量算子(VFWEO)，該算法不僅具有FWEO算子優(yōu)越的抗干擾特性，同時(shí)改善了其在中心頻率較低時(shí)解調(diào)魯棒性差的缺點(diǎn)。通過(guò)研究發(fā)現(xiàn)，改變步長(zhǎng)參數(shù)可以實(shí)現(xiàn)針對(duì)不同共振頻帶的解調(diào)。同時(shí)，本文給出了針對(duì)不同共振頻帶中心步長(zhǎng)參數(shù)的計(jì)算公式。通過(guò)仿真信號(hào)與實(shí)測(cè)信號(hào)表明，該解調(diào)算法可以有效的提取不同共振頻帶中心的特征頻率信息，實(shí)現(xiàn)軸承的早期故障檢測(cè)與診斷。

1 能量算子

1.1 Teager-Kasier 能量算子

Teager能量算子通常用于計(jì)算信號(hào)的瞬時(shí)能量，它克服了希爾伯特變換在計(jì)算瞬時(shí)能量時(shí)只考慮瞬時(shí)幅值而忽略瞬時(shí)頻率的缺點(diǎn)。其表達(dá)式為：

(1)

根據(jù)研究，震蕩物體的信號(hào)為調(diào)幅-調(diào)頻信號(hào)[11]，它的表達(dá)式為：

x(t)=Acos(ωt+φ)

(2)

式中：A為幅值；ω為震蕩的固有頻率；φ為初始相位。

(3)

(4)

將式(2)～(4)代入式(1)可得式(5)：

(5)

式(1)的離散形式為：

ψ[x(n)]=[x(n)]2-x(n+1)x(n-1)

(6)

1.2 頻率加權(quán)能量算子

因?yàn)榘j(luò)解調(diào)與Teager算子解調(diào)容易受到干擾信號(hào)的影響，所以提出了頻率加權(quán)能量算子。頻率加權(quán)能量算子通過(guò)計(jì)算信號(hào)導(dǎo)數(shù)的包絡(luò)來(lái)計(jì)算調(diào)制信號(hào)的瞬時(shí)能量,實(shí)現(xiàn)解調(diào)。頻率加權(quán)能量算子的表達(dá)式為：

(7)

式中：S[·]表示包絡(luò)；H[·]表示希爾伯特變換；Γ[x(t)]為頻率加權(quán)能量算子。

根據(jù)式(2)則

(8)

(9)

將式(8)和式(9)代入式(7)可得

Γ[x(t)]=(-Aωsin(ωt+φ))2+

(Aωcos(ωt+φ))2=A2ω2

(10)

因此，表明頻率加權(quán)能量算子在計(jì)算瞬時(shí)能量時(shí)具有同Teager算子相似的性質(zhì)。

對(duì)比式(1)與式(7)，Teager能量算子與頻率加權(quán)能量算子的區(qū)別主要是在第二部分。為了對(duì)比第二部分在解調(diào)時(shí)對(duì)頻譜的影響，分別計(jì)算第二部分對(duì)應(yīng)的傅里葉譜：

*X(ω)

(11)

(12)

式中：F[·]表示傅里葉變換；X(ω)表示x(t)的傅里葉譜；*表示卷積操作。

為了得到頻率加權(quán)能量算子的離散形式，在計(jì)算導(dǎo)數(shù)時(shí)，使用了中點(diǎn)平均差分方式：

(13)

(14)

2 變步長(zhǎng)頻率加權(quán)能量算子

2.1 基本原理

因此為了克服FWEO的缺點(diǎn)，在頻率加權(quán)能量算子的基礎(chǔ)上提出了變步長(zhǎng)頻率加權(quán)能量算子(VFWEO)，使用變步長(zhǎng)差分公式代替中間差分公式。變步長(zhǎng)差分表達(dá)式為

(15)

(16)

式中：l為步長(zhǎng)參數(shù)。

則VFWEO可以表示為：

h(n+l)h(n-l)]

(17)

因此，可以看出步長(zhǎng)參數(shù)l的取值對(duì)VFWEO解調(diào)效果的影響至關(guān)重要。通過(guò)調(diào)節(jié)步長(zhǎng)參數(shù)，使得公式(15)的取值變大，此時(shí)VFWEO的解調(diào)效果更好。

2.2 步長(zhǎng)參數(shù)計(jì)算

如式(17)所示，步長(zhǎng)參數(shù)l對(duì)VFWEO算子的解調(diào)效果具有重要影響。通過(guò)調(diào)節(jié)步長(zhǎng)參數(shù)，可以使得VFWEO針對(duì)不同中心頻率的故障沖擊信號(hào)都可以得到較好的解調(diào)效果。因此，步長(zhǎng)參數(shù)與中心頻率的關(guān)系對(duì)保證VFWEO的解調(diào)效果至關(guān)重要。

式(2)的離散形式如下所示：

x(n)=Acos(ωn+φ)

(18)

式中：A為幅值，ω=2πfC/fS為角頻率，其中fC為調(diào)制信號(hào)的中心頻率，fS為采樣頻率，φ為初始相位。

因?yàn)轭l率加權(quán)算子的核心是計(jì)算導(dǎo)數(shù)的包絡(luò)，所以在保證信號(hào)的導(dǎo)數(shù)幅值最大時(shí)就可以保證更好的解調(diào)效果。

將式(18)代入式(15)，可以得到式(19)：

(19)

(20)

所以，當(dāng)步長(zhǎng)參數(shù)l與中心頻率fc滿足式(20)的關(guān)系式時(shí)，VFWEO的解調(diào)效果最好。這就說(shuō)明通過(guò)調(diào)節(jié)不同的步長(zhǎng)參數(shù)l使得VFWEO在對(duì)不同頻率中心fC的調(diào)制信號(hào)進(jìn)行解調(diào)時(shí)，都可以得到理想的解調(diào)效果，有效地提取出故障沖擊。當(dāng)計(jì)算得到的步長(zhǎng)參數(shù)l為小數(shù)時(shí)，通過(guò)四舍五入取整。

3 仿真驗(yàn)證

為了驗(yàn)證VFWEO算子在強(qiáng)噪聲環(huán)境下的魯棒性，本文使用包絡(luò)解調(diào)、Teager算子解調(diào)、FWEO算子解調(diào)與VFWEO算子解調(diào)的對(duì)包含噪聲的軸承仿真信號(hào)進(jìn)行分析。仿真信號(hào)的表達(dá)式為：

u(t-mTp)

(21)

式中:Am是沖擊的幅值，Am=1；Tp是故障沖擊的間隔，特征頻率FCF=1/Tp=50 Hz；ωr是故障引起共振的頻率，ωr=1 000 Hz；β是阻尼系數(shù)，β=1 500 N·s/m。

仿真信號(hào)的采樣頻率為20 kHz，信號(hào)長(zhǎng)度為16 384個(gè)采樣點(diǎn)。仿真信號(hào)加入SNR=-5 dB的白噪聲和100 Hz與800 Hz的正弦干擾信號(hào)。仿真信號(hào)的時(shí)域波形、加噪信號(hào)的時(shí)域波形與頻譜如圖1所示。

如圖1(c)所示，信號(hào)的共振頻帶在1 000 Hz附近。根據(jù)公式(20),計(jì)算所得步長(zhǎng)參數(shù)l=5。四種解調(diào)算法的解調(diào)效果，如圖2所示。

(a) 原始信號(hào)

(b) 加噪信號(hào)

(c) 加噪信號(hào)頻率圖1 仿真信號(hào)Fig.1 The simulated signal

(a) 包絡(luò)譜

(b) Teager譜

(c) FWEO譜

(d) VFWEO譜圖2 不同算子解調(diào)效果對(duì)比Fig.2 Comparison of demodulation results of different operators

圖3 不同步長(zhǎng)參數(shù)的解調(diào)效果對(duì)比Fig.3 Comparison of demodulation results of different step parameters

為了驗(yàn)證式(20)所計(jì)算的最優(yōu)步長(zhǎng)參數(shù)具有最好的解調(diào)特性，計(jì)算了不同步長(zhǎng)參數(shù)l對(duì)應(yīng)的VFWEO譜。步長(zhǎng)參數(shù)的取值范圍為1～5，各個(gè)步長(zhǎng)參數(shù)下的VFWEO譜如圖3所示。當(dāng)步長(zhǎng)參數(shù)l=1時(shí)，VFWEO算子就是FWEO算子。此時(shí)，故障沖擊被淹沒(méi)于噪聲之中。隨著步長(zhǎng)參數(shù)l的增加x(n+l)與x(n-l)的差值越來(lái)越大。因此，VFWEO對(duì)故障沖擊的提取效果更好，所以特征頻率及其倍頻的幅值隨著步長(zhǎng)參數(shù)的增加而增加。當(dāng)步長(zhǎng)參數(shù)l=5時(shí)，無(wú)論是幅值還是諧波數(shù)量都達(dá)到最大。此時(shí)的解調(diào)效果最佳，其結(jié)果與式(20)計(jì)算相同。這就證明，通過(guò)調(diào)節(jié)步長(zhǎng)參數(shù)可以增強(qiáng)與之對(duì)應(yīng)的共振頻帶的解調(diào)效果。

研究發(fā)現(xiàn)，在進(jìn)行解調(diào)時(shí)與步長(zhǎng)參數(shù)l相對(duì)應(yīng)的共振頻帶的幅值最大，而其它共振頻帶的幅值較小。通過(guò)調(diào)節(jié)步長(zhǎng)參數(shù)可以實(shí)現(xiàn)特定頻帶的解調(diào)。為了驗(yàn)證VFWEO中步長(zhǎng)參數(shù)針對(duì)不同共振頻帶的解調(diào)效果，本文構(gòu)造了包含兩個(gè)故障信息的軸承仿真信號(hào)，其表達(dá)式如式(21)所示。仿真信號(hào)的參數(shù)，如表1所示。

表1 仿真信號(hào)參數(shù)Tab.1 Parameters of simulated signals

加入SNR=-5的高斯白噪聲，仿真信號(hào)的傅里葉譜，如圖4所示。

從圖4中可以看出，該仿真信號(hào)包含兩個(gè)共振頻帶，中心頻率分別在1 000 Hz和5 000 Hz附近。

圖4 仿真信號(hào)頻譜Fig.4 The Fourier spectrum of simulated signal

根據(jù)式(20)計(jì)算可得，當(dāng)步長(zhǎng)參數(shù)l=1時(shí)，VFWEO對(duì)應(yīng)中心頻率為5 000 Hz的共振頻帶。其解調(diào)結(jié)果如下圖5(a)所示，VFWEO譜中的主要為故障2的特征頻率及其諧波。根據(jù)式(20)計(jì)算可得，當(dāng)尺度參數(shù)l=5時(shí)，VFWEO對(duì)應(yīng)的為中心頻率為1 000 Hz的共振頻帶。其解調(diào)結(jié)果如下圖5(b)所示，VFWEO譜中的主要為故障1的特征頻率及其諧波。實(shí)驗(yàn)表明，通過(guò)調(diào)節(jié)步長(zhǎng)參數(shù)從而實(shí)現(xiàn)了針對(duì)不同頻帶的解調(diào)。

(a) l=1

(b) l=5圖5 VFWEO譜Fig.5 The VFWEO spectrum

4 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

4.1 美國(guó)西儲(chǔ)大學(xué)軸承數(shù)據(jù)庫(kù)

美國(guó)西儲(chǔ)大學(xué)軸承數(shù)據(jù)庫(kù)作為一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的軸承故障診斷算法驗(yàn)證數(shù)據(jù)庫(kù)，被廣泛用于驗(yàn)證算法的有效性[12]。本文選用驅(qū)動(dòng)端外圈故障信號(hào)，采樣頻率為12 kHz，數(shù)據(jù)長(zhǎng)度為16 384個(gè)采樣點(diǎn)，轉(zhuǎn)速為1 730 r/min,外圈故障特征頻率fBPFO=103.3 Hz。其實(shí)驗(yàn)裝置，如圖6所示。

實(shí)測(cè)信號(hào)如圖7所示，分析實(shí)測(cè)信號(hào)的頻譜可以發(fā)現(xiàn)共振頻帶主要集中在3 000 Hz附近。根據(jù)式(20)，計(jì)算可得步長(zhǎng)參數(shù)l=1。此時(shí)，VFWEO算子與FWEO算子計(jì)算結(jié)果相同。

包絡(luò)解調(diào)、Teager解調(diào)和VFWEO解調(diào)結(jié)果的頻譜如下圖8所示。包絡(luò)譜、Teager和VFWEO譜中都可以發(fā)現(xiàn)很明顯的軸承外圈故障的特征頻率及其倍頻。但是包絡(luò)譜和Teager譜中的5倍頻的幅值高于4倍頻的幅值，而只有VFWEO譜中的倍頻呈指數(shù)衰減。因此，VFWEO算子解調(diào)相比較于包絡(luò)解調(diào)與Teager算子解調(diào)具有更好的解調(diào)效果。

圖6 實(shí)驗(yàn)裝置Fig.6 The experimental device

(a) 時(shí)域波形

(b) 信號(hào)頻譜圖7 實(shí)測(cè)信號(hào)Fig.7 The measured signal

(a) 包絡(luò)譜

(b) Teager譜

(c) VFWEO譜圖8 不同算子解調(diào)效果對(duì)比Fig.8 Comparison of demodulation results of different operators

4.2 高速列車(chē)軸箱軸承故障實(shí)驗(yàn)臺(tái)

由于美國(guó)西儲(chǔ)大學(xué)軸承數(shù)據(jù)庫(kù)中的信號(hào)的信噪比較高且頻譜成分較簡(jiǎn)單，所以幾種傳統(tǒng)的解調(diào)算法都可以實(shí)現(xiàn)特征頻率的提取。為了進(jìn)一步驗(yàn)證VFWEO算子針對(duì)不同頻帶的解調(diào)效果，本文使用高速列車(chē)軸箱軸承故障實(shí)驗(yàn)臺(tái)的振動(dòng)數(shù)據(jù)進(jìn)行了進(jìn)一步驗(yàn)證。實(shí)驗(yàn)裝置，如圖9所示。

圖9 實(shí)驗(yàn)裝置Fig.9 The experimental device

振動(dòng)信號(hào)的采樣頻率為10 kHz，數(shù)據(jù)長(zhǎng)度為16 384個(gè)采樣點(diǎn)。軸承的故障類(lèi)型為滾子故障，轉(zhuǎn)動(dòng)頻率fr為5.1 Hz，特征頻率fBSF為33.9 Hz。其振動(dòng)信號(hào)的時(shí)域波形與頻譜，如圖10所示。

(a) 時(shí)域波形

(b) 信號(hào)頻譜圖10 實(shí)測(cè)信號(hào)Fig.10 The measured signal

為了驗(yàn)證VFWEO的有效性，使用包絡(luò)解調(diào)、Teager算子解調(diào)、FWEO算子解調(diào)與VFWEO算子解調(diào)對(duì)振動(dòng)信號(hào)進(jìn)行了分析。如圖10(b)所示，實(shí)測(cè)信號(hào)存在三個(gè)可能的共振頻帶，它們的頻帶中心分別是大約：500 Hz、1 500 Hz和3 400 Hz。因此根據(jù)式(20)，它們分別對(duì)應(yīng)的步長(zhǎng)參數(shù)為：5、2和1。當(dāng)步長(zhǎng)參數(shù)l=1時(shí)，VFWEO簡(jiǎn)化為FWEO。包絡(luò)解調(diào)與Teager算子解調(diào)的結(jié)果如圖11所示。由于信號(hào)的頻譜中包含多個(gè)共振頻帶與干擾，所以，包絡(luò)解調(diào)無(wú)法解調(diào)出故障信息。而Teager算子由于其抗干擾性優(yōu)于包絡(luò)解調(diào)，所以可以解調(diào)出滾子的特征頻率及其諧波。

(a) 包絡(luò)譜

(b) Teager譜圖11 傳統(tǒng)算子解調(diào)Fig.11 The demodulation results of traditional operators

(a) l=1

(b) l=2

(c) l=5圖12 VFWEO譜Fig.12 The VFWEO spectrum

如圖12所示為不同參數(shù)下VFWEO譜。當(dāng)步長(zhǎng)參數(shù)l=1，2時(shí)，VFWEO可以解調(diào)出滾子故障的特征頻率及其倍頻；當(dāng)步長(zhǎng)參數(shù)l=5時(shí)，VFWEO可以解調(diào)出與轉(zhuǎn)頻有關(guān)的特征頻率。所以，通過(guò)改變步長(zhǎng)參數(shù)VFWEO可以實(shí)現(xiàn)針對(duì)不同頻帶的解調(diào)。為了進(jìn)一步證明解調(diào)效果，使用經(jīng)驗(yàn)小波變換與尺度空間表示對(duì)故障信號(hào)進(jìn)行預(yù)處理[13-14]。通過(guò)尺度空間表示可以自適應(yīng)的實(shí)現(xiàn)共振頻帶的劃分，然后經(jīng)驗(yàn)小波變換可以根據(jù)頻帶劃分生成對(duì)應(yīng)的濾波器組，這些濾波器組可以實(shí)現(xiàn)信號(hào)的自適應(yīng)分解。通過(guò)尺度空間表示計(jì)算，信號(hào)的頻譜及其頻帶劃分，如圖13所示。

圖13 頻帶劃分Fig.13 Detected boundaries

根據(jù)如圖13所示的頻帶劃分,信號(hào)被分解成為三個(gè)分量，其對(duì)應(yīng)的頻帶區(qū)間分別為:[0, 978 Hz]、[978 Hz, 2 524 Hz]和[2 524 Hz, 5 000 Hz]。它們的包絡(luò)譜，如圖14所示。

(a)[0,978 Hz]

(b)[978 Hz, 2 524 Hz]

(c)[978 Hz, 5 000 Hz]圖14 包絡(luò)譜Fig.14 The envelope spectrum

如圖14所示,在[978 Hz, 2 524 Hz]和[2 524 Hz, 5 000 Hz]區(qū)間的包絡(luò)譜中的頻率成分為滾子的特征頻率及其諧波。但是在圖14(a)中，存在很明顯的電源干擾成分。這就導(dǎo)致轉(zhuǎn)頻的2倍頻2fr及其諧波沒(méi)有VFWEO譜中明顯。為了進(jìn)一步降低干擾的影響，使用VFWEO對(duì)EWT分解后的分量進(jìn)行解調(diào)，其VFWEO譜，如圖15所示。

如圖15所示,在[978 Hz, 2 524 Hz]和[2 524 Hz, 5 000 Hz]區(qū)間的包絡(luò)譜中，可以發(fā)現(xiàn)滾子的特征頻率及其諧波。在圖15(a)中，轉(zhuǎn)頻的2倍頻2fr及其諧波更明顯，說(shuō)明干擾的影響進(jìn)一步降低。

(a)[0,978 Hz]

(b)[978 Hz, 2 524 Hz]

(c)[978 Hz, 5 000 Hz]圖15 VFWEO譜Fig.15 The VFWEO spectrum

4 結(jié) 論

變步長(zhǎng)頻率加權(quán)能量算子通過(guò)使用變步長(zhǎng)中點(diǎn)平均差分代替?zhèn)鹘y(tǒng)的中點(diǎn)平均差分，從而改善了頻率加權(quán)能量算子在中心頻率較低時(shí)魯棒性差的缺點(diǎn)。同時(shí)，研究發(fā)現(xiàn)不同的步長(zhǎng)參數(shù)可以實(shí)現(xiàn)針對(duì)不同的共振頻帶的解調(diào)。因此，變步長(zhǎng)頻率權(quán)重能量算子可以在未進(jìn)行信號(hào)分解的前提下實(shí)現(xiàn)對(duì)不同共振頻帶的解調(diào)。變步長(zhǎng)頻率加權(quán)能量算子簡(jiǎn)化了信號(hào)處理的步驟，使其在工程實(shí)際領(lǐng)域中具有較高的應(yīng)用價(jià)值。最后使用仿真信號(hào)與實(shí)測(cè)信號(hào)對(duì)該算法進(jìn)行了驗(yàn)證。實(shí)驗(yàn)表明該算法可以在強(qiáng)噪聲環(huán)境下有效的實(shí)現(xiàn)不同頻帶的解調(diào)從而提取其中的故障信息，實(shí)現(xiàn)早期微弱故障的診斷與報(bào)警。