陳鵬宇，鄧宏偉

（內(nèi)江師范學(xué)院 地理與資源科學(xué)學(xué)院，四川 內(nèi)江 641100）

0 引言

灰色系統(tǒng)理論由我國學(xué)者鄧聚龍?zhí)岢?，?jīng)過不斷的完善和發(fā)展已經(jīng)在許多領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用[1，2]。GM(1,1)模型作為灰色理論中最基本的預(yù)測模型，其建模原理簡單，易于操作。但是，傳統(tǒng)GM(1,1)模型在建模原理上存在固有缺陷，使其不具備白指數(shù)率預(yù)測無偏性[3]。正是由于該缺陷的存在，為GM(1,1)模型的改進留下了大量空間，從而涌現(xiàn)出了各式各樣的改進算法。如果避開所謂“灰色”、“累加”等概念，從本質(zhì)上講，GM(1,1)模型屬于指數(shù)函數(shù)的一種建模方法，而各式各樣的改進算法無非是尋求一個最佳逼近結(jié)果或者最佳擬合函數(shù)。目前，GM(1,1)模型的改進算法繁多，各類改進算法的思路各不相同，建模的難易程度有所差異。為此，本文對GM(1,1)模型的改進現(xiàn)狀進行了總結(jié)，對比分析了各類改進算法的優(yōu)缺點，最后給出了GM(1,1)模型改進算法的應(yīng)用建議。

1 GM（1，1）模型的建模原理和缺陷分析

令x(0)為GM(1,1)模型的建模原始序列：

其一次累加序列為：

定義：

為GM(1,1)模型的灰微分方程，即GM(1,1)模型的定義型。式中，a為發(fā)展系數(shù)，b為灰作用量，

以最小二乘法確定參數(shù)：

式中：

GM(1,1)模型的白化方程為：

GM(1,1)模型的時間響應(yīng)式為：

還原值為：

從GM(1,1)模型的擬合公式（8）可見其適合于近似齊次指數(shù)序列的建模分析。但是GM(1,1)模型不具備白指數(shù)率預(yù)測無偏性，這是由其固有缺陷導(dǎo)致的，具體而言就是白化方程與灰微分方程的不匹配問題，已經(jīng)有許多學(xué)者從不同的視角對其進行分析，具體可見文獻[4] 中的總結(jié)分析，本文不在復(fù)述。除此以外，初始條件的選擇也常被認為是GM(1,1)模型一個缺陷，表現(xiàn)在兩個方面，其一是對累加數(shù)據(jù)的擬合函數(shù)（7）默認經(jīng)過了初始點，與最小二乘擬合思想不符[5]；其二是一次累加算法使得還原函數(shù)（8）對初始值不存在擬合效果[4]，所以只能默認其等于初始值，這是不合理的。

2 GM（1，1）模型的改進現(xiàn)狀

GM(1,1)模型的固有缺陷主要是指白化方程與灰微分方程的不匹配問題及初始條件的選擇問題。相對而言，初始條件對擬合精度的影響一般不及前者，其改進方法也多是添加一個初始值修正項或以最小二乘原理求解最優(yōu)初值[5，6]，本文不再詳述。針對白化方程與灰微分方程的不匹配問題，可以采用多種修正方法，主要總結(jié)為背景值構(gòu)造的改進、白化方程參數(shù)重構(gòu)、灰微分方程建模（離散GM(1,1)模型），直接求解參數(shù)法。

2.1 背景值構(gòu)造的改進

2.2 白化方程參數(shù)重構(gòu)

背景值或灰導(dǎo)數(shù)的改進目的都是為了使灰微分方程與白化方程相匹配，當然也可以通過重構(gòu)白化方程使其與灰微分方程相匹配，具體可通過重構(gòu)白化方程的參數(shù)實現(xiàn)，重構(gòu)依據(jù)同背景值的重構(gòu)相似，即假設(shè)原始數(shù)據(jù)為離散指數(shù)序列。文獻[3] 給出了重構(gòu)后的白化方程及參數(shù)表達式如下：

上述改進方法同樣可使GM(1,1)模型滿足白指數(shù)率預(yù)測無偏性，但是相對于背景值重構(gòu)方法，該方法僅在原有建模步驟的基礎(chǔ)上，增加了參數(shù)轉(zhuǎn)換步驟，避免了復(fù)雜的改進算法。

2.3 灰微分方程建模

所謂灰微分方程建模即是以灰微分方程為基礎(chǔ)建立模型，而不再考慮白化方程，從而不再存在灰微分方程與白化方程不匹配的問題?；椅⒎址匠蹋?）可寫為：

將上式還原即可得到擬合預(yù)測值?；椅⒎址匠探＃x散GM(1,1)模型）同樣可以滿足白指數(shù)率預(yù)測無偏性。

2.4 直接求解參數(shù)法

GM(1,1)模型實際上就是一種齊次指數(shù)函數(shù)擬合方法，但是由于其存在固有缺陷而無法擬合純指數(shù)序列，魏勇等[16]認識到了上述問題，建立了不涉及灰微分方程、白化方程概念，基于最小二乘法原理直接求解指數(shù)函數(shù)參數(shù)的方法，通過此方法建立的新模型不僅從理論上可保證是在滿足給定評價標準為模擬絕對誤差平方和最小、給定精度條件下的最優(yōu)化模型，從而結(jié)束了灰色模型只有更優(yōu)，沒有最優(yōu)的歷史。但是，該方法需要通過編制計算機程序?qū)崿F(xiàn)，求解難度高于其他改進方法。

式（11）成為離散GM(1,1)模型[14，15]，其遞推函數(shù)形式為：

3 應(yīng)用建議

總結(jié)上述GM(1,1)模型的改進方法，以直接求解參數(shù)法的擬合效果最佳，但需要借助計算機編程實現(xiàn)，求解難度也是最大的。背景值構(gòu)造的改進方法中，數(shù)值積分方法建立的背景值與加權(quán)背景值相比，表達式更為復(fù)雜，且需要借助插值公式，求解難度較大。加權(quán)背景值表達式簡單易懂，但求解最優(yōu)權(quán)重需要采用迭代或搜索算法求解權(quán)重，具有一定的計算難度。離散GM(1,1)模型與傳統(tǒng)GM(1,1)模型建模難度相當，只是離散GM(1,1)模型求解的參數(shù)是β1和β2。白化方程參數(shù)重構(gòu)只是在傳統(tǒng)GM(1,1)模型基礎(chǔ)上增加了參數(shù)轉(zhuǎn)換步驟，并未增加傳統(tǒng)GM(1,1)模型的建模難度。

以文獻[17] 提供的我國人均能源消耗量數(shù)據(jù)作為研究樣本，對上述四種改進方法進行對比分析。其中，背景值改進方法以Newton-Cores公式[9]為例。由于GM(1,1)模型對初始值不具備擬合效果[4]，為了合理的對比分析，在采用直接求解參數(shù)法時，擬合數(shù)據(jù)中排除初始值。以1998—2004年的數(shù)據(jù)建模，預(yù)測2005—2007年的數(shù)據(jù)，擬合和預(yù)測結(jié)果見下頁表1所示。

擬合精度的提高一直都作為評價GM(1,1)模型改進效果的依據(jù)，從最小二乘擬合原理出發(fā)，無論如何改進背景值構(gòu)造都達不到直接求解參數(shù)法的擬合效果[18，19]，所以與其采用繁瑣的背景值構(gòu)造方法，還不如采用直接求解參數(shù)法，雖然參數(shù)求解較為復(fù)雜，卻是最佳逼近結(jié)果。表2中的結(jié)果也驗證了上述觀點，從表2中可以看出，不論是以誤差平方和還是以平均相對誤差作為精度評價標準，直接求解參數(shù)法都是效果最佳的改進方法。其余三種方法均能在一定程度上提高擬合預(yù)測精度，僅背景值構(gòu)造改進（Newton-Cores公式）方法并未降低擬合值的誤差平方和。由于許多背景值構(gòu)造改進方法建模比較復(fù)雜，本文不推薦采用此種方法。白化方程參數(shù)重構(gòu)、離散GM(1,1)模型所得結(jié)果均不是最佳逼近結(jié)果，就本文實例來看，白化方程參數(shù)法重構(gòu)對擬合預(yù)測精度的提高更為明顯，更接近于直接求解參數(shù)法的效果。加之白化方程參數(shù)重構(gòu)的建模原理簡單，本文推薦采用此方法。離散GM(1,1)模型建模原理相對簡單，對于近似齊次指數(shù)序列建?？梢缘玫捷^好的擬合效果，實際應(yīng)用中也可以考慮采用這種方法。

表1 我國人均能源消耗量擬合預(yù)測結(jié)果 （千克標準煤）

表2 我國人均能源消耗量擬合預(yù)測精度比較

4 結(jié)論

GM(1,1)模型是目前最常用的灰色預(yù)測模型。本文在大量已有相關(guān)研究文獻的基礎(chǔ)上從背景值構(gòu)造的改進、白化方程參數(shù)重構(gòu)、灰微分方程建模（離散GM(1,1)模型），直接求解參數(shù)法四個方面對當前GM(1,1)模型的改進現(xiàn)狀進行了分析和總結(jié)。對比四種改進方法的建模難度和擬合精度，可見直接求解參數(shù)法擬合效果最優(yōu)，但是建模難度最大；背景值構(gòu)造改進方法大多較為復(fù)雜；白化方程參數(shù)重構(gòu)、離散GM(1,1)模型建模相對簡單，實例分析結(jié)果顯示白化方程參數(shù)重構(gòu)法與直接求解參數(shù)法擬合效果十分接近。因此，本文推薦采用白化方程參數(shù)重構(gòu)法。