陳光會(huì)，趙 議，蘇 兵

（西安工業(yè)大學(xué) 經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院，西安 710021）

0 引言

原材料庫(kù)存優(yōu)化主要包括原材料購(gòu)買價(jià)格變化一次和變化多次的庫(kù)存優(yōu)化問(wèn)題。其中，原材料購(gòu)買價(jià)格變化一次的庫(kù)存優(yōu)化又分為購(gòu)買價(jià)格上漲的庫(kù)存優(yōu)化模型[1]和購(gòu)買價(jià)格下降的庫(kù)存優(yōu)化模型[2]。原材料購(gòu)買價(jià)格變化多次的庫(kù)存優(yōu)化包括購(gòu)買價(jià)格連續(xù)變化的庫(kù)存優(yōu)化[3-5]和購(gòu)買價(jià)格隨機(jī)變化的庫(kù)存優(yōu)化。對(duì)于原材料購(gòu)買價(jià)格隨機(jī)變化的庫(kù)存優(yōu)化研究中，Wang Y（2001）[6]以最小化期望庫(kù)存成本為目標(biāo)建立原材料庫(kù)存優(yōu)化模型，Berling P（2008）[7]令單一產(chǎn)品的購(gòu)買價(jià)格隨機(jī)變化符合OU過(guò)程，以總庫(kù)存費(fèi)用最小為目標(biāo)建立庫(kù)存優(yōu)化模型；胡雄鷹等（2008）[8]討論了價(jià)格季節(jié)性隨機(jī)波動(dòng)環(huán)境下的產(chǎn)品采購(gòu)；陳素芬等（2012）[9]令原材料購(gòu)買價(jià)格的隨機(jī)變化服從布朗運(yùn)動(dòng)，以有限期內(nèi)企業(yè)利潤(rùn)最大為目標(biāo)建立庫(kù)存優(yōu)化模型。還有一些文獻(xiàn)研究了面向訂單[10（]make to order）企業(yè)庫(kù)存優(yōu)化問(wèn)題。Lu Y,Song J S（2005）[11]針對(duì)MTO企業(yè)原材料庫(kù)存成本最小為目標(biāo)建立原材料優(yōu)化模型；武育楠（2011）[12]在需求為正態(tài)分布的情形下，建立了以期望利潤(rùn)最大為目標(biāo)的MTO企業(yè)原材料庫(kù)存優(yōu)化模型。

對(duì)國(guó)內(nèi)外相關(guān)研究進(jìn)行總結(jié)，發(fā)現(xiàn)現(xiàn)有的面向訂單企業(yè)原材料庫(kù)存優(yōu)化要么以總成本最小，要么以期望利潤(rùn)最大為目標(biāo)建立模型并求解，但都假設(shè)客戶訂單能被完全滿足，這一點(diǎn)與企業(yè)的實(shí)際情況不符。針對(duì)以上研究的不足，本文在考慮原材料購(gòu)買價(jià)格波動(dòng)的基礎(chǔ)上，結(jié)合面向訂單企業(yè)庫(kù)存管理的特性，考慮原材料的供應(yīng)因素以及客戶訂單滿足率，以克服以往面向訂單企業(yè)庫(kù)存優(yōu)化未考慮客戶訂單滿足率的不足，以庫(kù)存總成本即訂購(gòu)成本、采購(gòu)成本、缺貨懲罰成本之和最小和客戶訂單滿足率最大為雙目標(biāo)，對(duì)基于客戶訂單滿足率最大且總成本最小的原材料庫(kù)存優(yōu)化問(wèn)題建立模型并進(jìn)行求解，給面向訂單企業(yè)庫(kù)存優(yōu)化提供依據(jù)。

1 問(wèn)題描述與模型構(gòu)建

1.1 問(wèn)題描述

面向訂單企業(yè)接到客戶對(duì)產(chǎn)品A的訂單，其需求量為D，生產(chǎn)一件A產(chǎn)品需要n種原材料，分別為xi(i=1,2,…,n)，原材料購(gòu)買價(jià)格是連續(xù)隨機(jī)變化的，客戶訂單的到來(lái)也是連續(xù)隨機(jī)變化的，以面向訂單企業(yè)總成本最小且客戶訂單滿足率F最大化為目標(biāo)，決策A產(chǎn)品訂單下的原材料采購(gòu)量，其中所有原材料都依賴于采購(gòu)且都配套采購(gòu)，并使得客戶訂單滿足率F∈[a，b] 。

為更好地解決價(jià)格波動(dòng)的面向訂單企業(yè)原材料庫(kù)存優(yōu)化問(wèn)題，給出以下假設(shè)條件：

（1）生產(chǎn)中無(wú)殘次品，且都符合客戶要求；

（2）企業(yè)的生產(chǎn)成本和生產(chǎn)時(shí)間都可以忽略不計(jì)；

（3）客戶訂單不會(huì)被取消，且無(wú)緊急訂單；

（4）為滿足客戶訂單而采購(gòu)的原材料不入庫(kù)直接生產(chǎn)。

令K表示固定訂購(gòu)費(fèi)用；Qi表示第i種原材料采購(gòu)量的單位持有費(fèi)用；Pi表示第i種原材料的單位購(gòu)買價(jià)格；hi表示第i種原材料的單位持有費(fèi)用；bi表示第i種原材料的單位缺貨成本；f表示客戶訂單滿足率；D表示客戶訂單量；ai表示第i種原材料的單位需求量。

1.2 模型構(gòu)建

綜合考慮問(wèn)題目標(biāo)和所有的限制條件，建立模型如下：

目標(biāo)函數(shù)（1）：企業(yè)總成本最??；目標(biāo)函數(shù)（2）：以客戶訂單滿足率最大為目標(biāo)，由第i種原材料最小的采購(gòu)量決定產(chǎn)品的生產(chǎn)量（即實(shí)際供應(yīng)量）除以客戶訂單需求量。

約束（3）產(chǎn)品A客戶訂單滿足率F小于等于最小的原材料的滿足率；約束（4）面向訂單企業(yè)對(duì)產(chǎn)品A的供應(yīng)量的約束；約束（5）原材料采購(gòu)價(jià)格服從布朗運(yùn)動(dòng)dPi=μidt+piσidω；約束（6）原材料的采購(gòu)量的約束；約束（7）單位采購(gòu)成本小于單位懲罰成本。

2 模型求解

2.1 設(shè)計(jì)近似算法CA對(duì)模型進(jìn)行求解

對(duì)基于客戶訂單滿足率最大且總成本最小的原材料庫(kù)存優(yōu)化問(wèn)題進(jìn)行分析，在原材料價(jià)格隨機(jī)波動(dòng)的情況下，使得客戶訂單滿足率盡可能大，在實(shí)際中可能發(fā)生兩種情形：

情形一：如果最小原材料的供應(yīng)滿足率大于1時(shí)，即minfi＞1，其中，fi為第i種原材料的滿足率，minfi為最小的原材料滿足率。此時(shí)，客戶滿足率與成本成反比。

情形二：如果最小原材料的供應(yīng)滿足率小于1時(shí)，即minfi＜1，其中，fi為第i種原材料的滿足率，minfi為最小的原材料滿足率。此時(shí)，客戶滿足率與成本成反比。

算法基本思想如下：

第一，面向訂單企業(yè)接到產(chǎn)成品訂單D，根據(jù)產(chǎn)品構(gòu)成計(jì)算出qi=ai·D,(i=1,2,…,n)，即求出構(gòu)成產(chǎn)品A的n種原材料的需求量。面向訂單企業(yè)針對(duì)訂單，采購(gòu)原材料。原材料供應(yīng)商對(duì)原材料xi(i=1,2,…,n)，的供應(yīng)量為si(i=1,2,…,n)，計(jì)算第i種原材料的訂單滿足率排序，并進(jìn)行比較，找出 minf。i

第二，分下述兩種情形

（1）當(dāng) minf＞1，計(jì)算

i

（2）當(dāng)minfi＜1，計(jì)算

①若→0，則產(chǎn)品整體成本變化的趨勢(shì)基本不變，則盡可能大的滿足客戶訂貨；若＞0，則此時(shí)產(chǎn)品整體成本變化的趨勢(shì)是上漲的，由于未來(lái)價(jià)格上漲，企業(yè)必然會(huì)增加原材料的采購(gòu)量，則令F=minfi。

②若＜0，表示產(chǎn)品整體成本變化的趨勢(shì)是下跌，未來(lái)價(jià)格下跌，則企業(yè)相應(yīng)減少對(duì)原材料的采購(gòu)量，則計(jì)算，排序，并進(jìn)行比較，找出 max，則

第三，按照f(shuō)進(jìn)行配套采購(gòu)n種原材料。

第四，根據(jù)原材料采購(gòu)數(shù)量等計(jì)算總成本TC，輸出對(duì)應(yīng)的Qi。

根據(jù)以上算法思想設(shè)計(jì)算法，首先求解最小原材料供應(yīng)率小于1的情形下的算法。

2.2 設(shè)計(jì)算法CA

（1）算法CA的步驟

第1步：計(jì)算qi=ai·D,(i=1,2,…n)；

第3步：排序用冒泡法找出minfi；

第4步：若minfi＞1；

第6步：若→0，或＞0，令F=1；

第11步：輸出。

（2）算法CA的時(shí)間復(fù)雜度分析

算法第1步需要計(jì)算n次；第2步需要計(jì)算n次；第3步需要比較n-1次；第5至7步需要進(jìn)行n次循環(huán)；第8步需要計(jì)算n次；第9步需要比較n-1次；第10至11步需要進(jìn)行次n次輸出；所以該算法的復(fù)雜性為ο(n7)。由此得到以下定理。

定理1：購(gòu)買價(jià)格波動(dòng)的面向訂單企業(yè)原材料庫(kù)存優(yōu)化問(wèn)題算法CA的時(shí)間復(fù)雜度為ο(n7)，其中n為原材料種類數(shù)。

由于算法CA是一個(gè)近似算法，因此需要對(duì)算法的性能好壞進(jìn)行分析，算法性能的好壞通常用算法的近似比來(lái)度量。

（3）算法CA的近似比分析

令OPT(I)表示實(shí)例I的最優(yōu)解，A(I)表示應(yīng)用算法CA對(duì)實(shí)例I的解。首先分析最優(yōu)解并給出引理。

引理1：對(duì)于任一實(shí)例I，該問(wèn)題最優(yōu)解OPT(I)的下界為

即對(duì)于任一實(shí)例I，問(wèn)題最優(yōu)解OPT(I)的下界為，證畢。

應(yīng)用算法CA對(duì)任一實(shí)例進(jìn)行求解，算法得到的解：

根據(jù)以上分析，給出如下定理。

定理2：購(gòu)買價(jià)格波動(dòng)的面向訂單企業(yè)原材料庫(kù)存優(yōu)化問(wèn)題算法CA的近似比為：

近似比α與pi，maxF成正比，與minF，Qi成反比,如圖1所示。

圖1 近似比α與 pi、maxF、minF、Qi的關(guān)系

結(jié)合定理2進(jìn)一步討論近似比的變化范圍并給出幾個(gè)推論。

當(dāng)K=0時(shí)，算法CA的近似比為：

當(dāng)K=0時(shí)，即采購(gòu)無(wú)固定訂貨成本時(shí)，則有：

因此算法CA的近似比為：

由此得到推論1如下。

推論1：基于客戶庫(kù)存成本最小的面向訂單企業(yè)原材料庫(kù)存優(yōu)化問(wèn)題算法CA的近似比上界為：

由于K≤max{k}，算法CA的近似比為：

當(dāng)K=max{k}時(shí)，即采購(gòu)成本最大，固定訂貨成本取最大值時(shí)，有：

因此算法CA的近似比為：

由此得到推論2如下：

推論2：基于客戶庫(kù)存成本最小的面向訂單企業(yè)原材料庫(kù)存優(yōu)化問(wèn)題算法CA的近似比下界為：

由于近似比α的取值取決于pi、maxF、minF、Qi，因此，若原材料滿足率最大值與最小值相差不大以及價(jià)格波動(dòng)不大時(shí)，即當(dāng)α趨近于1時(shí)，算法CA下的解接近于最優(yōu)解。

3 實(shí)例

本文以西安某公司為例，其產(chǎn)品液位測(cè)控儀表（按訂單生產(chǎn)裝配）生產(chǎn)物料清單如表1所示。其中：x1，x2，…，xn(i=1，2，…，n) 表 示 原 材 料 ；q1，q2，…，qn(i=1，2，…，n)表示原材料的需求量；a1，a2，…，an(i=1，2，…，n)表示單位產(chǎn)品原材料的需求量；s1，s2，…，sn(i=1，2，…，n)表示原材料的供應(yīng)量；f1，f2，…，fn(i=1，2，…，n)表示原材料的訂貨滿足率。公司接到客戶對(duì)液位測(cè)控儀表的訂單，其需求量為D=200，公司啟動(dòng)對(duì)液位測(cè)控儀表訂單的原材料采購(gòu)，且客戶訂單滿滿足率最大化，現(xiàn)需決策原材料的采購(gòu)量Qi，使得企業(yè)庫(kù)存總成本（固定訂貨成本200元+采購(gòu)成本+缺貨懲罰成本）最小。

已知客戶訂單的需求量為D=200件A產(chǎn)品，則種原材料的需求量qi，供應(yīng)量si，以及原材料客戶滿足率fi，結(jié)果如表1所示。

表1 液位測(cè)控儀表的物料清單

運(yùn)用算法CA對(duì)實(shí)例求解如下：

第一步，首先根據(jù)產(chǎn)品的物料清單計(jì)算客戶訂單所需求的各種原材料的需求量qi，再根據(jù)原材料供應(yīng)量si以及計(jì)算各原材料的供應(yīng)率f，通過(guò)以上計(jì)算得出i各個(gè)原材料的供應(yīng)率然后按照大小排列記為f1,f2,f3,…fn，運(yùn)用冒泡法求出minfi=0.8，如表2所示。

第二步，由于minfi=0.8＜0.1則計(jì)算，得到，此時(shí)令F=minfi=0.8。

第三步，以此類推，計(jì)算n種原材料各個(gè)原材料的需求量，根據(jù)客戶滿足率F=0.8進(jìn)行配套采購(gòu)。此時(shí)，按照客戶滿足率采購(gòu)如下頁(yè)表2所示。

第四步，計(jì)算企業(yè)總庫(kù)存成本minTC=115228.8。

對(duì)該公司的原材料庫(kù)存進(jìn)行分析得出，在進(jìn)行面向訂單企業(yè)原材料庫(kù)存優(yōu)化決策過(guò)程中，如果原材料供應(yīng)率發(fā)生變化導(dǎo)致原材料價(jià)格發(fā)生變化，那么應(yīng)用基于客戶訂單滿足率最大且總成本最小的原材料庫(kù)存優(yōu)化模型進(jìn)行庫(kù)存優(yōu)化更為合適。此時(shí)，客戶訂單滿足率較高，且企業(yè)庫(kù)存成本較低，因此面向訂單企業(yè)原材料庫(kù)存得到了優(yōu)化。

表2 客戶滿足率F=0.8時(shí)的采購(gòu)數(shù)據(jù)

4 結(jié)束語(yǔ)

本文針對(duì)購(gòu)買價(jià)格波動(dòng)的面向訂單企業(yè)原材料庫(kù)存優(yōu)化問(wèn)題，以總成本（固定采購(gòu)成本+采購(gòu)成本+缺貨懲罰成本）最小為及客戶訂單滿足率最大的雙目標(biāo)，建立面向訂單企業(yè)原材料采購(gòu)模型模型，并設(shè)計(jì)近似算法求解。經(jīng)過(guò)分析得出，在訂貨滿足率最大值與最小值相差不大以及價(jià)格波動(dòng)不大時(shí)，算法得到的解接近于最優(yōu)解，最后結(jié)合實(shí)例驗(yàn)證模型和算法的有效性。