在20世紀大量的音樂創(chuàng)作實踐中，音樂創(chuàng)作者探索非傳統(tǒng)的大小調(diào)功能和聲體系成為了一種趨勢。在這種發(fā)展浪潮中數(shù)理化邏輯的成分是前所未有的，其中諸如勛伯格的十二音序列作曲技法、斯特拉文斯基的輪轉(zhuǎn)陣列、巴托克以及艾夫斯作品中的音程循環(huán)等結(jié)構(gòu)方式。無疑作曲家們在更加理性地探索音高結(jié)構(gòu)新的組織方式，同時當代的研究也需要更加科學的運算模型對諸多音高結(jié)構(gòu)加以囊括。

近年來美國音樂理論家愛德華.格林的音程循環(huán)算法理論開拓了通過數(shù)學算法方式進行音程循環(huán)研究的新思路并為進一步的數(shù)理化分析奠定了基礎(chǔ)。下文將分別從當代國內(nèi)外音程循環(huán)研究現(xiàn)狀以及總結(jié)性地對愛德華.格林的音程循環(huán)分類及其算法理論進行介紹兩個方面進行論述。

一、音程循環(huán)國內(nèi)外研究現(xiàn)狀

有關(guān)音程循環(huán)的定義與分類理論，不同的研究學者給出的定義略有偏差。美國學者羅伊格·弗朗科利在《理解后調(diào)性音樂》一書中將音程循環(huán)定義為“一系列重復(fù)的、均等的音程連續(xù)”[1]，他指出了5種將八度均分的音程循環(huán)模式，即以音程i1表示半音，音程i2表示全音，音程i3表示小三度，音程i4表示大三度，音程i5表示純四度，音程i6表示三全音，并由于音程的補集或轉(zhuǎn)位產(chǎn)生的音程循環(huán)完全相同的原理，劃分出了這5種循環(huán)模式 。[2]

這5種模式只涉及一種音程的循環(huán)，弗朗科利在此書中的研究沒有涉及混合音程循環(huán)。

美國學者蘇珊尼與安托克賴茨合著的《音樂和二十世紀的調(diào)性：以調(diào)式和音程循環(huán)為基礎(chǔ)的和聲進行》[4]，“將某一個單一音程循環(huán)中的每個相等截斷的內(nèi)部再分成兩個或更多不均等的部分并稱之為混合循環(huán)集（Compound Cycles Collection）”，這是一種建立在已有的單音程循環(huán)基礎(chǔ)上的再劃分的理論。同時，安托克賴茨發(fā)表于1984年的文章《20世紀音樂的調(diào)性續(xù)進巴托克的音樂》與1995年的文章《有機發(fā)展與音程循環(huán)關(guān)于巴托克op18的研究》[5]也涉及了音程循環(huán)的內(nèi)容，但這些研究多首先考慮的是一些簡單的單音程循環(huán)，并從這些單音程循環(huán)中抽象出全音音階、半音階等。雙音程組合式的循環(huán)略帶討論，并主要是集中在一些重要的由雙音程組合循環(huán)產(chǎn)生的諸如八聲音階與六聲音階為主。

美國學者萊姆貝爾以艾夫斯的音樂為研究對象，提出了由兩個或更多音程交替而形成的組合循環(huán)模式，其文章主要是對艾夫斯的作品進行解讀，對音程循環(huán)技法本身定義與內(nèi)涵并未做過多的深入探討。[6]

中國學者研究起步相對較晚，中國學者石磊在2014發(fā)表的文章《音程循環(huán)的理論與早期實踐的研究》一文指出所謂音程循環(huán)是指“同一音程或一組音程經(jīng)過一系列重復(fù)后又回到起點的過程，其結(jié)果是將八度進行均等或?qū)ΨQ的劃分”[7]，該定義與美國學者蘇珊尼與安托克賴茨建立在單音程循環(huán)劃分邏輯上的混合循環(huán)集表述相同。

另一位中國學者陳林在2014年的《復(fù)合音程循環(huán)的構(gòu)成與技術(shù)特征研究》一文中指出“其按照一個恒定的、不相等的音程比產(chǎn)生音高材料的技術(shù)，稱作復(fù)合音程循環(huán)。[8]”陳林在該論文中考慮到包含兩個音程元素的循環(huán)結(jié)構(gòu)，從有序音級音程的角度進行了研究。在這一點上，與石磊在單音程循環(huán)及其在單音程循環(huán)基礎(chǔ)上的混合拆分的觀念有所不同。那么綜合來看，一般情況下，音程循環(huán)在采用有序音級音程（簡寫Ord.PCI）的角度進行研究，可以解決無序音級音程在產(chǎn)生兩個以模12 為互補原則的雙音問題（如PCI 4與8、PCI 5與7、三全音程PCI 6因?qū)硕鹊确?，產(chǎn)生的為同一音級）。

二、愛德華格林音程循環(huán)分類與算法

綜合各種音程循環(huán)的相關(guān)理論來看，美國學者愛德華以有序音級音程為研究出發(fā)點，通過巴托克的部分音樂研究，提出了相關(guān)定義與分類[9]理論，尤其重要的是，愛德華提出了音程循環(huán)運算的相關(guān)公式，將音程循環(huán)分為單音程循環(huán)與混合音程循環(huán)兩大類，并又將混合音程循環(huán)依據(jù)回歸原始音高級的次數(shù)，再分為多重集群循環(huán)與非多重集群循環(huán)，如下文所述。

1、單音程循環(huán)定義與參數(shù)運算公式

愛德華將單音程循環(huán)（A simple interval cycle ）定義為以一個指定音高級開始循環(huán)出現(xiàn)的非0音程續(xù)進，同時愛德華指出單音程循環(huán)的循環(huán)長度即循環(huán)音數(shù)計算公式為：[10]“L=12/d ;d =GCD（12，x）;”

其中，L為Length的簡寫即長度，GCD代表最大公約數(shù)（Greatest Common Divisor），x為單音程循環(huán)的有序音級音程數(shù)值（簡寫為Ord.PCI），因此，d的值等于12與Ord.PCI的最大公約數(shù)。

如以O(shè)rd.PCI 2為例，d便等于12與2的最大公約數(shù)2，L便等于12/2=6。因此Ord.PCI 2產(chǎn)生的音程循環(huán)數(shù)為6，即全音階。對于與12形成互質(zhì)關(guān)系的Ord.PCI 1、3、5、7，因其最大公約數(shù)為1，因此便產(chǎn)生半音階循環(huán)或五度循環(huán)。

2、混合音程循環(huán)定義與參數(shù)運算公式

愛德華定義混合音程循環(huán)（Compound Interval Cycle）為指定音高級開始的，循環(huán)出現(xiàn)的兩個或多個音程組合。愛德華標記雙音程循環(huán)為（x，y）-cycle。同時其給出雙音程循環(huán)音數(shù)長度的計算公式為

“L=2（12/d）;d=GCD（12，SUM）;SUM=x+y（mod12）”，公式中SUM為求和值

如以（4，5）-cycle為例，該循環(huán)產(chǎn)生一個八聲音階，即以數(shù)字音級表示為“0 4 9 1 6 10 3 8 0”，其SUM=x+y=4+5=9;d=GCD（12，SUM）=（12，9）=3;L=2（12/d）=2（12/3）=8，符合8聲音階的定義。

對于三音程混合循環(huán)愛德華標記為（x，y，z）-cycle，同樣給出了音數(shù)長度計算公式：

“L= 3（12/d）; d=GCD（12，SUM）;SUM=x+y+z（mod12）。”

3、混合音程循環(huán)的再分類理論

愛德華在對混合音程循環(huán)的研究中，依據(jù)最終回歸原始音高級的次數(shù)，又進行再分類。其中只需一次回歸原始音高級就可以恢復(fù)最初的混合音程組合值的稱之為非多重集群循環(huán)，如八聲音階、六聲音階、所有的梅西安有限移位模式等。

例如，以數(shù)字音高級列出八聲音階為：

Ord.PCI（1，2）即0 1 3 4 6 7 9 T 0

其中包含了一次由0音高級到0音高級的循環(huán)續(xù)進。因此，依據(jù)愛德華的理論，這是一個非多重集群循環(huán)，同樣也可這樣去驗證六聲音階以及所有的梅西安有限移位模式。

而多重集群循環(huán)（Multi-Aggregate Cycles），是指那些以多音程混合循環(huán)的音程組，在循環(huán)的過程中所產(chǎn)生的多次回歸原始循環(huán)點，并最終以原始音程循環(huán)組值到達起始點的現(xiàn)象。

如圖1（4，3）-cycle，若以起始點C音看該循環(huán)，包含兩次回歸C音的運動，其最后一次回歸到了原始有序音級音程循環(huán)組值，即i4+i3。

同時，愛德華指出的混合音程循環(huán)中Ord.PCI的排列移動不會改變最終的結(jié)果，如Ord.PCI（2，2，1）與（1，2，2）或（2，1，2）[11]所構(gòu)成的循環(huán)，見圖2。圖2中筆者以方括、尖頭括與橢圓分別圈出了三種循環(huán)集群，它們在這三個多重集群循環(huán)中，永遠都是方括——尖頭括——橢圓括——方括的循環(huán)排列，因此為它們?yōu)橥欢嘀丶貉h(huán)。

綜合來看，愛德華在區(qū)分非多重集群循環(huán)與多重集群循環(huán)時，是對起始音以原始組合值回歸原點的次數(shù)上來進行區(qū)分，那么我們從另一個角度來看，所有的非多重集群循環(huán)也符合在單音程循環(huán)基礎(chǔ)上進行復(fù)合拆分的邏輯。這與愛德華論述了任何混合音程循環(huán)組都能被簡化成單音程循環(huán)的邏輯相符合。對于多重集群循環(huán)，如以有序音程<4，3>進行循環(huán)時，可以將其拆分成以其兩個音程數(shù)為5的交錯循環(huán)，愛德華給出了運算邏輯是將Ord.PCI4+3=7=SUM， 并進行MOD12（7）=5的運算。（見圖3中用方框與圓圈進行的交錯五度循環(huán)標注）

4、愛德華·格林多重集群循環(huán)矢量理念

多重集群循環(huán)的分散矢量理論是愛德華定義的另一個概念（Distribution Vector），其以尖括號標記這種多重集群循環(huán)中相同音高級回歸音數(shù)的量，即圖3中的7與17，其代表了循環(huán)中任意一音的回歸音數(shù)，如上例以<7，17>表示，則任意音都會經(jīng)歷7與17個音數(shù)回歸同一個音。

結(jié)語

綜上所述由國內(nèi)外相關(guān)的學術(shù)理論與研究文獻來看，愛德華·格林的算法理論對音程循環(huán)進行了科學化的分類并提供了運算公式，其中單音程循環(huán)涵蓋了例如：半音階、全音階、以及各種八度等分音階。同時依據(jù)格林的算法公式可以對音數(shù)進行計算?；旌弦舫萄h(huán)則包含了更加復(fù)雜的音高結(jié)構(gòu)，同樣可以通過公式對長度進行運算，非多重集群循環(huán)與多重集群循環(huán)則進行一步對混合音程循環(huán)中是否建立在等分基礎(chǔ)上的混合劃分進行了分類，矢量理論則對多重集群循環(huán)的回歸音音數(shù)進行了界定。

就目前的研究來看通過算法公式對于音高結(jié)構(gòu)組成方式的分析研究仍然處于探索階段，雖然有較為成熟的艾倫福特音級集合理論，但正如任何一種理論都是在不斷的發(fā)展中前行，人們通過更加理性的思維方式探索音樂深層邏輯的道路也將繼續(xù)前行。

參考文獻：

[1]彼德.斯.漢森.二十世紀音樂概論.上、下冊[M]孟憲福譯，人民音樂出版社，北京， 1984.

[2]楊立青.《真誠.高雅.純摯——梅西安的音樂語言》[M]人民音樂出版社，2011，第二版.

[3]羅伯特.摩根：《二十世紀音樂——歐美音樂風格史》陳鴻鐸等譯.[M]上海音樂出社，2014.

[4]羅伊格.弗朗克里：《理解后調(diào)性音樂》杜曉十等譯.[M]人民音樂出版社，2012.

[5] Paolo Susanni and Antokoletz Elliott.”Music and Twentieth-century Tonality：Harmonic Progression Based on Modality and Interval Cycles.21-25;

[6] 1995. “Organic Development and the Interval Cycles in Bartóks Three Studies， Op. 18.” Studia Musicologica

36.3/4： 249-61. 1984. The Music of Béla Bartók： A Study of Tonality and Progression in Twentieth-Century Music. Berkeley：University of California Press.

[7]Philip Lambert.”Interval Cycles as compositional Resources in the music of Charles Ives.Music Theory Spectrum，Vol12，No.1，1990，pp.43-81.

[8] 2007. “Multi-Aggregate Cycles and Multi-Aggregate Serial Techniques in the Music of Béla Bartók.” Music Theory Spectrum 29.2： 143-76.

注釋：

[1]《理解后調(diào)性音樂》羅伊格.弗朗科利著，杜曉十，檀革勝翻譯。40-41頁。

[2]由于八度等同，在音級空間中補集音程之間也是等同的。也就是說，小二度（i1，如E-F）和補集大七度（i11，或F-E）是由同樣的音高級構(gòu)成的，因此它們在音級空間中構(gòu)成同一個音程類別。

[3]有關(guān)音級的表述方式采用數(shù)字音級的方式表述，T表示音級10，E表示

[4]Paolo Susanni and Antokoletz Elliott.”Music and Twentieth-century Tonality：Harmonic Progression Based on Modality and Interval Cycles.21-25;

[5]1995. “Organic Development and the Interval Cycles in Bartóks Three Studies， Op. 18.” Studia Musicologica

36.3/4： 249-61. 1984. The Music of Béla Bartók： A Study of Tonality and Progression in Twentieth-Century Music. Berkeley：University of California Press.

[6]Philip Lambert.”Interval Cycles as compositional Resources in the music of Charles Ives.Music Theory Spectrum，Vol12，No.1，1990，pp.43-81.

[7]石磊《音程循環(huán)的理論與早期實踐的研究》，音樂創(chuàng)作2014年第4期。

[8]陳林 《復(fù)合音程循環(huán)的構(gòu)成與技術(shù)特征研究》，武漢音樂學院學報2014年第4期。

[9]2007.“Multi-Aggregate Cycles and Multi-Aggregate Serial Techniques in the Music of Béla Bartók.” Music Theory Spectrum 29.2： 143-76.

[10]通過計算，仍可推導(dǎo)出對于四音程混合循環(huán)的多重集群循環(huán)公式為：（w，x，y，z）-cycle;L=4（12/d）;d=GCD（12，SUM）;SUM=w+x+y+z（mod12）

[11]愛德華的表述應(yīng)該指的確切意思是類似轉(zhuǎn)位的應(yīng)用方式.

張晨明 ? ? 周口師范學院講師