王麗娜 趙興宇

(伊犁師范學(xué)院物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院 新疆 伊寧 835000)

1 引言

帶電平面的電場(chǎng)場(chǎng)強(qiáng)是電磁學(xué)中的一個(gè)重要問(wèn)題，帶電平面是理論和實(shí)際問(wèn)題中的一個(gè)重要理想模型，也是處理平行板電容器、導(dǎo)體和介質(zhì)表面附近電場(chǎng)的重要基礎(chǔ)[1～4]，對(duì)均勻帶電平面及其相關(guān)問(wèn)題的研究仍在繼續(xù)[5～7].均勻圓形帶電平面(帶電圓面)在其軸線(xiàn)上產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)可通過(guò)積分求出，任意形狀帶電平面附近的場(chǎng)強(qiáng)可通過(guò)高斯定理求得[3].當(dāng)分別滿(mǎn)足一定條件時(shí)，帶電圓面可簡(jiǎn)化為無(wú)窮大帶電平面或點(diǎn)電荷問(wèn)題，但是究竟場(chǎng)點(diǎn)到圓面的距離比圓面尺寸小到多少時(shí)，才可以把帶電平面在其軸線(xiàn)上產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)看成無(wú)限大均勻帶電平面的結(jié)果，究竟大到多少時(shí)可以簡(jiǎn)化為圓心處等量點(diǎn)電荷.而且，當(dāng)場(chǎng)點(diǎn)到均勻帶電面的距離趨近于零時(shí)，面上的一些電荷到場(chǎng)點(diǎn)的距離將趨近于零，由點(diǎn)電荷的場(chǎng)強(qiáng)公式可知，該點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)將會(huì)是無(wú)窮大；然而此時(shí)，無(wú)論是帶電圓面在其軸線(xiàn)上的場(chǎng)強(qiáng)公式，還是無(wú)限大均勻帶電平面的場(chǎng)強(qiáng)公式，都相同地給出了一個(gè)與距離無(wú)關(guān)的有限值，這與由點(diǎn)電荷的觀點(diǎn)得出的結(jié)論是相矛盾的；造成這種矛盾的原因又是什么呢？這一矛盾將直接影響面附近場(chǎng)強(qiáng)問(wèn)題的處理.

為了增強(qiáng)對(duì)帶電平面問(wèn)題的理解，便于場(chǎng)強(qiáng)公式的選擇運(yùn)用，本文將采用數(shù)值計(jì)算的方法對(duì)上述問(wèn)題進(jìn)行研究，給出定量標(biāo)準(zhǔn)下公式的適用范圍，分析產(chǎn)生矛盾的原因.

2 帶電圓面模型的構(gòu)建與理論

在微觀上，電荷的分布是離散的、不連續(xù)的，所以建立模型時(shí)，在微觀尺度上電荷是以離散形式進(jìn)行分布的.假設(shè)有一個(gè)圓面位于z=0的平面內(nèi)，圓心位于坐標(biāo)原點(diǎn)，如圖1所示.

由點(diǎn)電荷場(chǎng)強(qiáng)公式可知，格點(diǎn)(ia,ja,0)上的電荷在P(x,y,z)點(diǎn)產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)為

(1)

式中ε0為真空的介電常數(shù)，π為圓周率，rij為格點(diǎn)(ia,ja,0)到P點(diǎn)的距離，erij為格點(diǎn)(ia,ja,0)指向P點(diǎn)的單位矢量.依據(jù)幾何關(guān)系可以得到

(2)

由場(chǎng)強(qiáng)的疊加原理可知，場(chǎng)點(diǎn)P(x,y,z)處的場(chǎng)強(qiáng)ES(x,y,z)為

(3)

(4)

(5)

(6)

3 計(jì)算結(jié)果與分析

3.1 帶電圓面軸線(xiàn)上場(chǎng)強(qiáng)公式的適用范圍

在考察z→0，P(0,0,z)處點(diǎn)電荷公式的直觀結(jié)果與式(4)、(5)結(jié)果相矛盾情況時(shí)，考慮到微觀上電荷分布不連續(xù)，分別模擬計(jì)算了n為奇數(shù)[軸線(xiàn)過(guò)格點(diǎn)(0,0,0)]和n為偶數(shù)[軸線(xiàn)過(guò)格點(diǎn)(-0.5a,-0.5a,0)和(0.5a,0.5a,0)連線(xiàn)的中點(diǎn)]的兩種情況，以便觀察微觀上電荷分布不連續(xù)所產(chǎn)生的影響.

圖2所示的是模擬結(jié)果ES和理論結(jié)果EI隨z的變化情況，(a)和(b)分別是n為奇數(shù)和偶數(shù)的情況，主圖是局部放大的結(jié)果，插圖是全部結(jié)果.

圖2 模擬結(jié)果ES和理論結(jié)果EI隨z的變化

圖3 相對(duì)偏差隨z的變化

從圖2中可以看出，在模擬的所有體系中，在z較小時(shí)，ES和EI的差別都比較明顯，但是隨著z的增加，ES和EI逐漸趨于一致.

為了探究圖2(a)中在z較小時(shí)，引起較大偏差的原因，這里將n為奇數(shù)時(shí)，格點(diǎn)(0,0，0)的電荷在P(0,0,z)點(diǎn)所產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)EO進(jìn)行單獨(dú)計(jì)算，并與由式(3)計(jì)算所得的整個(gè)圓面所產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)進(jìn)行對(duì)比，如圖4所示.可以看出在z較小時(shí)，EO幾乎與EI一樣，這說(shuō)明此時(shí)其他電荷在P點(diǎn)所產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)要遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于EO，也就是說(shuō)格點(diǎn)(0,0，0)處電荷的貢獻(xiàn)超過(guò)其他電荷的總和，EI被格點(diǎn)(0,0，0)處電荷的個(gè)體性所主導(dǎo)，而帶電圓面的整體性被淹沒(méi)了.

圖4 ES和EO隨z的變化

圖5 相對(duì)偏差隨z的變化

所以，ES和EI之間的差別是由微觀尺度下電荷的離散分布和單個(gè)電荷對(duì)場(chǎng)強(qiáng)的貢獻(xiàn)過(guò)大造成的.通常情況下，所說(shuō)的“均勻”帶電，實(shí)際上指的是宏觀均勻.以99%相對(duì)精度為例，式(4)在z≥a的空間尺度內(nèi)適用，在z≥1.1a的尺度下可認(rèn)為電荷是連續(xù)均勻分布的；當(dāng)z=2a時(shí)，EI的精度高達(dá)99.99%，z在宏觀尺度時(shí)，式(4)的結(jié)果可認(rèn)為是精確的.

3.2 帶電圓面軸線(xiàn)上場(chǎng)強(qiáng)可簡(jiǎn)化為無(wú)限大均勻帶電平面場(chǎng)強(qiáng)的條件

(7)

圖6 相對(duì)偏差隨的變化

3.3 帶電圓面可以簡(jiǎn)化為圓心處等量點(diǎn)電荷的條件

(8)

圖7 相對(duì)偏差隨的變化

通過(guò)對(duì)以上兩個(gè)方向的分析可看出，為了方便，這里可取場(chǎng)點(diǎn)到圓面圓心的距離大于10R時(shí)，將帶電圓面產(chǎn)生的電場(chǎng)看成是圓心處等量點(diǎn)電荷，其場(chǎng)強(qiáng)的相對(duì)精度可達(dá)到99%以上.

圖8 相對(duì)偏差隨x的變化

4 結(jié)論

通過(guò)計(jì)算分析表明，當(dāng)場(chǎng)點(diǎn)到圓面的距離在電荷間距的尺度下時(shí)，帶電圓面軸線(xiàn)上場(chǎng)強(qiáng)公式的相對(duì)偏差較大，但隨著距離的增加快速減小，逐漸與精確值一致，偏差是由微觀尺度下電荷的離散分布和單個(gè)電荷對(duì)場(chǎng)強(qiáng)的貢獻(xiàn)過(guò)大造成的.以99%的相對(duì)精度為例，場(chǎng)點(diǎn)到圓面的距離大于電荷間距時(shí)，帶電圓面軸線(xiàn)上場(chǎng)強(qiáng)公式可以適用；場(chǎng)點(diǎn)到圓面的距離大于1.1倍的電荷間距時(shí)，可以認(rèn)為電荷是均勻連續(xù)分布的；場(chǎng)點(diǎn)到圓面的距離大于1.1倍的電荷間

距且小于圓面半徑的1%時(shí)，帶電圓面軸線(xiàn)上場(chǎng)強(qiáng)公式可以簡(jiǎn)化為無(wú)限大帶電平面的場(chǎng)強(qiáng)公式；場(chǎng)點(diǎn)到圓心的距離大于圓面半徑的10倍時(shí)，帶電圓面可簡(jiǎn)化為圓心處等量點(diǎn)電荷的結(jié)果.本文計(jì)算場(chǎng)強(qiáng)的方法和思路，可以推廣運(yùn)用到帶電圓面在任意點(diǎn)所產(chǎn)生場(chǎng)強(qiáng)的計(jì)算.