段麗芬,左明霞

(1.通化師范學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院,吉林 通化 134002;2.哈爾濱理工大學(xué)理學(xué)院,哈爾濱 150080)

眾所周知,Orlicz空間的引入不但豐富和完善了Banach空間理論,而且?guī)?dòng)了不動(dòng)點(diǎn)[1]、逼近論[2]、微分方程[3-4]等領(lǐng)域的研究．而不動(dòng)點(diǎn)性質(zhì)很大程度上取決于所在空間的性質(zhì),所以在Orlicz空間發(fā)展過程中,與不動(dòng)點(diǎn)有關(guān)的幾何性質(zhì)(如: 一致非方[5]、一致凸[6]、k一致凸[7]等)一直備受關(guān)注．作為k一致凸概念的直接推廣——局部k一致凸也自然成為研究的熱點(diǎn),局部k一致凸Banach空間的特點(diǎn)也隨之日漸清晰[8-9]．關(guān)于Orlicz空間,其局部k一致凸和Orlicz函數(shù)空間局部k一致凸點(diǎn)的判據(jù)均已獲得[10]．本文擬采用處理序列空間的特殊技巧,研究賦Luxemburg范數(shù)Orlicz序列空間的k一致凸點(diǎn),討論該空間單位球面上點(diǎn)為k一致凸點(diǎn)的判別準(zhǔn)則．

1 定義及符號(hào)

2 主要結(jié)果

定理1設(shè)M是N-函數(shù),x(0)=(x(0)(i))∈S(lM)是k一致凸點(diǎn)的充要條件為: i)M∈Δ2;ii) 若μI≥k,則M∈2且{x0(j)|j∈NI}∩(∪i[ci,di))=φ,其中I={j∈N:|x(0)(j)|∈∪i(ai,bi]};(ai,bi],[ci,di)為M的線性區(qū)間．

證明 必要性: Banach空間單位球面上k一致凸點(diǎn)為k強(qiáng)端點(diǎn),故M∈Δ2成立[11],只須證明ii)即可．

(a) 設(shè)I={1,2,…,k},j=1,2,…,k,當(dāng)u∈[x(0)(j)-εj,x(0)(j)]時(shí),不失一般性地設(shè)M(u)=Aju+Bj,其中常數(shù)Aj,Bj,εj>0,D=Ajεj．假設(shè)M?2,則存在正數(shù)列un↓0,使M(un)<2-n,M(kun/(k+1))>(1-1/n)kM(un)/(k+1),n=1,2,…．取正整數(shù)mn,有D-2-n≤mnM(un)

(b) 假設(shè)存在j>k,|x(0)(j)|∈[c,d),當(dāng)u∈[x(k+1),x(k+1)+ε]時(shí),不失一般性地設(shè)M(u)=Au+B,且Aε=D．定義x(l)=(x(0)(1),…,x(0)(l-1),x(0)(l)-εl,x(0)(l+1),…,x(0)(k),x(0)(k+1)+ε,x(0)(k+2),…)(l=1,2,…,k),則類似可得A(x(0),x(1),…,x(k))≥ε1ε2…εk>0,矛盾．

(b) 當(dāng)μI≥k時(shí),不妨設(shè)I={1,2,…,k},M∈2且{x0(j)|j∈NI}∩(∪i[ci,di))=φ,則

(1)

(i) 若存在j∈{1,2,…,k},不妨設(shè)j=k,使得x(0)(k)?∪i[ci,di),則x(0)(j)?∪i[ci,di)(j≥k)．類似于(a)的證明便可得結(jié)論．

定理2設(shè)M是N-函數(shù),lM是局部k一致凸的充要條件是(i)M∈Δ2且M在[0,M-1(1/(k+1))]上嚴(yán)格凸;(ii)M∈2或M在[M-1(1/(k+1)),M-1(1/k)]上嚴(yán)格凸．

證明 必要性: 因局部k一致凸的Banach空間必然是k嚴(yán)格凸的,所以(i)成立[11]． 若(ii)不成立,即M?2且存在M的線性區(qū)間[a,b]使得M(a)<1/k,則存在u∈(a,b]和v>0,滿足M(u)<1/k,kM(u)+M(v)=1.記則x∈S(lM),但由定理1推知x不是lM的k一致凸點(diǎn),這與lM是局部k一致凸矛盾.

充分性: 當(dāng)M在[M-1(1+1/k),M-1(1/k)]上嚴(yán)格凸時(shí),則對(duì)任何x(0)=(x(0)(i))∈S(lM),皆有μ{j∈N: |x(0)(j)|∈∪i(ai,bi]}1+1/k(j=1,2,…,k),故任何j>k,M(x(0)(j))<1+1/k,即x(0)(j)∈∪i[ai,bi](j>k),同樣滿足定理1條件,有x(0)=(x(0)(i))∈S(lM)是k一致凸點(diǎn).