陳麗

直線(xiàn)與圓是解析幾何的基礎(chǔ)知識(shí)，其研究方法對(duì)后面圓錐曲線(xiàn)的研究有指導(dǎo)性作用.直線(xiàn)與圓在練習(xí)中有基礎(chǔ)題、中檔題，同學(xué)們想要做好這類(lèi)題目，需要理解基本的概念，熟悉基本的處理方法.不然，就會(huì)在學(xué)習(xí)時(shí)m現(xiàn)對(duì)概念理解不全面、不透徹等問(wèn)題.

一、利用幾何法時(shí)注意全面性

例1

已知直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)P（-1，2），且到點(diǎn)A（2，3）和點(diǎn)B（-4，5）的距離相等，則l的直線(xiàn)方程為

錯(cuò)解 由于A，B到直線(xiàn)l的距離相等，所以AB∥l.又k_AB=一1/3，則有l(wèi)：y-2=-1/3（x+1），即x+3y-5=0.

剖析

有些同學(xué)解題時(shí)一般會(huì)選擇幾何方法，即畫(huà)圖形，畫(huà)圖的時(shí)候容易將直線(xiàn)l過(guò)AB中點(diǎn)的情況遺漏，導(dǎo)致丟分.

正解 方法一、幾何法（分兩種情況）：

①直線(xiàn)l與直線(xiàn)AB平行，則k，=k_AB=-1/3，可得l：y-2=÷1/3（x+1），即x+3y-5=0;

②直線(xiàn)l過(guò)線(xiàn)段AB的中點(diǎn)，AB中點(diǎn) 坐標(biāo)為（-1，4），則l：x=1.

綜上所述，l的方程為x+3y-5=0或x=-1.

方法二、代數(shù)法：

①

當(dāng)直線(xiàn)l的斜率不存在時(shí)，l：x=-1，A，B兩點(diǎn)到它的距離都是3，滿(mǎn)足條件;

②

當(dāng)直線(xiàn)l的斜率存在時(shí)設(shè)l的斜率為

綜上所述，l的方程為x+3y-5=0或x=一1.

反思

用幾何法解題在畫(huà)圖的時(shí)候容易只畫(huà)出其中一種，從而出現(xiàn)漏解的情形，做題時(shí)考慮要全面.

同類(lèi)題練習(xí)

已知直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)（2，0），且與點(diǎn)A（-1，o），B（2，3）距離相等，則直線(xiàn)l的方程為

答案：x-y-2=0，x+y-2=0.

二、關(guān)注圓的一般方程的限制條件

例2

已知圓的方程為x²+y²+λx+（λ-2）y+5=0，定點(diǎn)P（2，3）在圓外，則實(shí)數(shù)λ的取值范圍為

錯(cuò)解 因?yàn)镻（2，3）在網(wǎng)外，所以2²+3²+2λ +3（λ-2）+5>0，解得λ>-12/5·

剖析

錯(cuò)誤的主要原因是忽視了隱含條件：方程首先要能夠表示網(wǎng)，其次考慮點(diǎn)在圓外.

解得-12/5<λ<-2或λ>4，

所以λ的取值范圍是（-12/5，-2）∪（4，+∞）.

反思 審題時(shí)要挖掘出題目中的隱性條件，避免掉到“陷阱”中.

同類(lèi)題練習(xí) 已知過(guò)點(diǎn)P（4，3）可以向圓x²+y²+mx-2my+3=0作兩條切線(xiàn)，則，m的取值范圍是

三、關(guān)注直線(xiàn)方程的限制條件

例3 已知過(guò)點(diǎn)P（0，5）的直線(xiàn)與圓C：X²+y²+4x-12y+24=0交于A，B兩點(diǎn)，且AB=4，求直線(xiàn)方程.

錯(cuò)解 由題知C：（x+2）²+（y-6）²=16，則AB=設(shè)直線(xiàn)方程為y-5=kx，即kx-y+5=0，則d

所以直線(xiàn)方程為3x-4y+20=0.

剖析 有些同學(xué)做題時(shí)直接將直線(xiàn)方程設(shè)成點(diǎn)斜式，沒(méi)有考慮直線(xiàn)的斜率是否存在.根據(jù)網(wǎng)的性質(zhì)可以知道過(guò)定點(diǎn)的直線(xiàn)被網(wǎng)截得的弦長(zhǎng)在（0，2r）間時(shí)，此時(shí)直線(xiàn)一定是有兩條.學(xué)生如果能事先做些分析，就會(huì)知道出現(xiàn)漏解了，而這一解在點(diǎn)斜式方程下沒(méi)有被解出來(lái)，說(shuō)明直線(xiàn)的斜率不存在.

正解 由題知C：（x+2）²+（y-6）²

當(dāng)直線(xiàn)斜率不存在時(shí)，直線(xiàn)方程為x=0，此時(shí)d=2滿(mǎn)足條件;當(dāng)直線(xiàn)斜率存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)方程為y-5=kx，即kx-y+5=0，

直線(xiàn)方程為3x-4y+20=0.

綜上所述，所求直線(xiàn)方程為x=0或3x-4y+20=0.

反思 直線(xiàn)的五種形式的方程中只有一般式可以表示平面上的任何一條直線(xiàn)，其他的四種形式都有限制條件，此時(shí)就需要進(jìn)行分類(lèi)討論，避免出現(xiàn)漏解.

同類(lèi)題練習(xí) 過(guò)點(diǎn)（1，-2）作圓C：（x-2）²+y²=1的切線(xiàn)，求切線(xiàn)方程，

答案：x=1，3x-4y-11=0.

運(yùn)用幾何法會(huì)給我們解題帶來(lái)方便，尤其是計(jì)算量減少，但是畫(huà)幾何圖形時(shí)一般是畫(huà)出滿(mǎn)足條件的一種情況，容易產(chǎn)生遺漏;探求直線(xiàn)方程時(shí)關(guān)注直線(xiàn)方程的限制條件，這些限制條件就是我們做題時(shí)分類(lèi)的依據(jù)，想要避開(kāi)以上可能出現(xiàn)的問(wèn)題，考慮問(wèn)題時(shí)要全面，這就需要我們對(duì)基本概念熟練掌握.