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(慈中書院，浙江 慈溪 315300)

●黃國(guó)員

(慈溪市教育局教研室，浙江 慈溪 315300)

1 知識(shí)內(nèi)容

《浙江考試》2019年第1期公布了“2019年浙江省普通高考考試說明(數(shù)學(xué))”，明確2019年高考必考科目數(shù)學(xué)考試說明內(nèi)容與2017年相同．關(guān)于數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法部分，建議關(guān)注以下內(nèi)容與要求：

1)了解數(shù)列的概念和表示方法(列表、圖像、公式)；

2)理解等差數(shù)列、等比數(shù)列的概念，掌握等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式及其應(yīng)用；

3)了解等差數(shù)列與一次函數(shù)、等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系；

4)會(huì)用數(shù)列的等差關(guān)系或等比關(guān)系解決實(shí)際問題；

5)會(huì)用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)問題.

2 命題分析

分析2004—2018年這15年的浙江省數(shù)學(xué)高考“數(shù)列部分”的命題，考查內(nèi)容、試題位置編排(難度)、分值等有一些共同點(diǎn)：?jiǎn)渭兛疾閿?shù)列的試題，一般解答題1道，選擇或填空題也1道，難度會(huì)合理搭配，若解答題壓軸，則選擇題或填空題會(huì)簡(jiǎn)單些；若解答題難度中等，則選擇題或填空題會(huì)出壓軸題.分值一般在20分左右，可以與數(shù)學(xué)文化及其他知識(shí)相結(jié)合考查，涉及數(shù)列概念、基本運(yùn)算與證明.最近兩年(已文理科不分)關(guān)于數(shù)列部分的考查分析如下：

2017年考查了兩道題，共19分：其中一道選擇題4分(以等差數(shù)列為載體考查充要條件的概念，難度中等)、一道解答題15分(考查數(shù)列與不等式、不等式放縮、數(shù)學(xué)歸納法，是壓軸題)；

2018年考查了兩道題，共19分：其中一道選擇題4分(考查等比數(shù)列的概念與本質(zhì)、數(shù)列單調(diào)性、數(shù)列與不等式，是壓軸題)，一道解答題15分(考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的基本概念，求和的常用方法，數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)，難度中等)．

2019年預(yù)測(cè)會(huì)有2～3個(gè)試題，分值在20分左右：若解答題位于第20題，估計(jì)難度中等，有一定的運(yùn)算量，涉及基本量計(jì)算、等差(等比)數(shù)列證明、數(shù)列求和、簡(jiǎn)單的數(shù)列與不等式證明，此時(shí)在選擇題或填空題必有1～2題考查數(shù)列的其他知識(shí)，難度是壓軸題或再加一個(gè)簡(jiǎn)單題；若解答題位于第22題(壓軸題)，難度大，涉及數(shù)列遞推、數(shù)列與不等式、數(shù)學(xué)歸納法，從整卷考慮，則在選擇、填空題中會(huì)有簡(jiǎn)單的數(shù)列題與壓軸題搭配，主要涉及基本量計(jì)算、等差數(shù)列、等比數(shù)列的概念.

3 典例剖析

考點(diǎn)1等差(等比)數(shù)列的概念與本質(zhì).

例11)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和是Sn,則下列4個(gè)命題中，錯(cuò)誤的是

( )

C.若數(shù)列{an}是等差數(shù)列，則數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)、偶數(shù)項(xiàng)分別構(gòu)成等差數(shù)列

D.若數(shù)列{an}的奇數(shù)項(xiàng)、偶數(shù)項(xiàng)分別構(gòu)成公差相等的等差數(shù)列，則{an}是等差數(shù)列

(2017年浙江省諸暨市高中畢業(yè)班教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題第5題)

2)已知a1，a2，a3，a4成等比數(shù)列，且a1+a2+a3+a4=ln(a1+a2+a3).若a1>1，則

( )

A.a1a3，a2

C.a1a4D.a1>a3,a2>a4

(2018年浙江省數(shù)學(xué)高考試題第10題)

Sn=na1+n(n-1)d，

則當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn-Sn-1=a1+2(n-1)d，

即數(shù)列{an}是公差為2d的等差數(shù)列.故選B.

對(duì)于選項(xiàng)C，若數(shù)列{an}是公差為d的等差數(shù)列，則數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)、偶數(shù)項(xiàng)都是公差為2d的等差數(shù)列，故選項(xiàng)C正確.

對(duì)于選項(xiàng)D，若數(shù)列{an}的奇數(shù)項(xiàng)、偶數(shù)項(xiàng)分別構(gòu)成公差相等的等差數(shù)列，則{an}不一定是等差數(shù)列，如：1,4,3,6,5,8,7，選項(xiàng)D錯(cuò)誤．故選D．

2)由a1+a2+a3+a4=ln(a1+a2+a3)的結(jié)構(gòu)，想到對(duì)數(shù)放縮最常用的公式lnx≤x-1，從而

a1+a2+a3+a4= ln(a1+a2+a3)≤a1+a2+a3-1，

得a4≤-1，于是公比q<0．

(反證法)若q≤-1，則

a1+a2+a3+a4=a1(1+q)(1+q2)≤0，

而

a1+a2+a3=a1(1+q+q2)≥a1>1，

即

ln(a1+a2+a3)>0,

矛盾，從而-1

a1-a3=a1(1-q2)>0,

a2-a4=a1q(1-q2)<0.

故選B．

評(píng)注證明數(shù)列{an}是等差(等比)數(shù)列的兩種基本方法：定義法和等差(等比)中項(xiàng)法.這兩種方法在解答題中比較常見，在選擇題與填空題也可用.要挖掘教材，掌握教材中一些經(jīng)典結(jié)論，如當(dāng)x>0時(shí)，有l(wèi)nx

考點(diǎn)2等差數(shù)列與等比數(shù)列中的基本量運(yùn)算.

例21)已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，則下列結(jié)論一定成立的是

( )

A.若a5>0，則a2 017<0

B.若a6>0，則a2 018<0

C.若a5>0，則S2 017>0

D.若a6>0，則S2 018>0

(浙江省金華十校2017學(xué)年第一學(xué)期高三期末調(diào)研數(shù)學(xué)試題第6題)

(浙江省寧波市2018年數(shù)學(xué)高考模擬考試第15題)

分析1)選項(xiàng)A中，若a5>0，則

a2 017=a5q2 012>0，

選項(xiàng)A錯(cuò)誤.

選項(xiàng)B中，若a6=a1q5>0，則

a2 018=a1q2 017>0，

選項(xiàng)B錯(cuò)誤.

選項(xiàng)D中，a6=a1q5>0．當(dāng)a1>0,q=1時(shí)，

S2 018=2 018a1>0；

2)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，a1=2，則

評(píng)注等差(等比)數(shù)列的基本運(yùn)算，一般通過其通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式建立關(guān)于a1和d或q的方程或方程組解決.注意利用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式求和時(shí)，不可忽視對(duì)公比q是否為1的討論.另外，了解與掌握一些數(shù)列中的小結(jié)論，對(duì)提高解題速度和正確率大有益處.

考點(diǎn)3數(shù)列單調(diào)性與充要條件.

例31)等比數(shù)列{an}中，a1>0，則“a1

( )

A．充分不必要條件 B．必要不充分條件

C．充要條件 D．既不充分也不必要條件

(浙江省諸暨市2017學(xué)年第一學(xué)期高三數(shù)學(xué)期末考試第5題)

2)記Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，“任意正整數(shù)n，均有an>0”是“{Sn}為遞增數(shù)列”的

( )

A．充分不必要條件 B．必要不充分條件

C．充要條件 D．既不充分也不必要條件

(浙江省寧波市2018年數(shù)學(xué)高考模擬考試第5題)

分析1)在等比數(shù)列中,設(shè)公比為q，則由a10，得q3>1，即q>1．由a31，從而q>1或q<-1,即“a1

2)由an>0,知數(shù)列{Sn}是遞增數(shù)列，反之?dāng)?shù)列{Sn}是遞增數(shù)列不能得到an>0，即“an>0”是“數(shù)列{Sn}是遞增數(shù)列”的充分不必要條件．故選A．

評(píng)注這類試題主要考查充要條件的判斷以及等差數(shù)列、等比數(shù)列的概念與性質(zhì)，考查邏輯推理能力，能推得出的需要證明，推不出的只需找到反例.

考點(diǎn)4數(shù)列與數(shù)學(xué)文化.

例4《九章算術(shù)》是我國(guó)古代著名的數(shù)學(xué)著作，其中有一道數(shù)列問題：“今有良馬與駑馬發(fā)長(zhǎng)安，至齊，齊去長(zhǎng)安三千里.良馬初日行一百九十三里，日增一十三里，駑馬初日行九十七里，日減半里，良馬先至齊，復(fù)還迎駑馬，問幾日相逢及各行幾何？”請(qǐng)研究本題，并給出下列結(jié)果：兩馬同時(shí)出發(fā)后第9天，良馬日行______里，從長(zhǎng)安出發(fā)后第______天兩馬第一次相遇.

(稽陽(yáng)聯(lián)誼學(xué)校2018年4月高三聯(lián)考數(shù)學(xué)試題第13題)

a9=a1+8d1=297.

設(shè)兩馬經(jīng)過n天相遇，則

整理得

293n2-3n-6 000=0.

令f(n)=293n2-3n-6 000，則

f(15)<0,f(16)>0,

從而n∈(15,16)，即出發(fā)后第16天兩馬相遇.

評(píng)注這類試題以數(shù)學(xué)文化為載體考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的概念、通項(xiàng)公式、基本性質(zhì)、前n項(xiàng)和，考查的核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)運(yùn)算.解決這類試題的關(guān)鍵是讀懂題目意思.

考點(diǎn)5數(shù)列性質(zhì)、數(shù)列與不等式綜合考查.

例5已知公差為d的等差數(shù)列{an}前n項(xiàng)和為Sn.若存在正整數(shù)n0，對(duì)任意正整數(shù)m，Sn0·Sn0+m<0恒成立，則下列結(jié)論不一定成立的是

( )

A.a1·d<0 B.|Sn|有最小值

C.an0·an0+1>0 D.an0+1·an0+2>0

(浙江省名校協(xié)作體2018學(xué)年第一學(xué)期聯(lián)考數(shù)學(xué)試題第9題)

分析已知公差為d的等差數(shù)列{an}，若存在正整數(shù)n0，對(duì)任意正整數(shù)m，Sn0·Sn0+m<0恒成立，則a1與d異號(hào)，即a1·d<0，|Sn|有最小值，從而

an0·an0+1<0，an0+2·an0+1>0,

選項(xiàng)C不正確．故選C．

評(píng)注累加、累乘是課本中求等差(等比)數(shù)列通項(xiàng)方法的推廣.給出數(shù)列的遞推關(guān)系求通項(xiàng)時(shí)，通常利用代入法、整體換元法等求解，不必考慮特殊技巧.常見解決數(shù)列與不等式的方法有：用數(shù)學(xué)歸納法驗(yàn)證；構(gòu)造函數(shù)，先證明函數(shù)單調(diào)性，再判斷數(shù)列單調(diào)性；數(shù)形結(jié)合，畫圖驗(yàn)算(小題小做).

考點(diǎn)6解答題中的簡(jiǎn)單計(jì)算與不等式證明.

1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

(浙江省衢州、湖州、麗水三地市2018年9月高三教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題第20題)

于是

當(dāng)n≥2時(shí)，

當(dāng)n=1時(shí)上式也成立,故命題成立.

評(píng)注對(duì)于數(shù)列{an}，an和Sn有關(guān)系

這是一種重要的關(guān)系，是已知Sn求通項(xiàng)an的常用方法.首先利用Sn“復(fù)制”出Sn-1，兩式相減求出an.簡(jiǎn)單的數(shù)列不等式證明，求解的關(guān)鍵在于放縮.

考點(diǎn)7解答題中的雙求問題(求通項(xiàng)、求和).

例7已知正項(xiàng)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，Sn=a1(an-1)，其中n∈N*.

1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

分析1)當(dāng)n=1時(shí)，

a1=a1(a1-1)，

又an>0，從而a1=2.

an=a1(an-an-1)，

又a1=2，得

an=2(an-an-1)，

即

an=2an-1(其中n≥2)，

因此數(shù)列{an}是以2為首項(xiàng)、2為公比的等比數(shù)列，故an=2×2n-1=2n.

2)由于

yn=log2(an+1)2=2n+2,

當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，

Tn=x1y1+x2y2+x3y3+x4y4+…+xn-1yn-1+xnyn=

y1+2y2+y3+2y4+…+yn-1+2yn=

(y1+y3+…+yn-1)+2(y2+y4+…+yn)=

當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，n-1為偶數(shù)，則

Tn=Tn-1+xnyn=Tn-1+yn=

從而

考點(diǎn)8解答題中的數(shù)列壓軸題突破.

1)證明：|an|≥2n-1(|a1|-2)；

(2016年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題第20題)

…

累加得

即

從而

|an|≥2n-1(|a1|-2).

…

累加得

即

從而

于是

只需|ak|-2≤0，因?yàn)檫@里的k可以取任意正整數(shù)，所以|ak|≤2.

4 精題集萃

1.已知等比數(shù)列{an}的公比為q,a1>0,前n項(xiàng)和為Sn,則“q>1”是“S4+S6>2S5”的

( )

A.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件

(浙江省紹興市柯橋區(qū)2018屆高三數(shù)學(xué)適應(yīng)性考試第5題)

2．已知數(shù)列{an}滿足a1=1，an+1-an≥2(其中n∈N*)，Sn為其前n項(xiàng)和，則

( )

A．a(chǎn)n≥2n+1 B．a(chǎn)n≥2n-1

C．Sn≥n2D．Sn≥2n-1

(浙江省臺(tái)州市2017學(xué)年第一學(xué)期高三數(shù)學(xué)期末考試第5題)

3.設(shè)實(shí)數(shù)b,c,d成等差數(shù)列，且它們的和為9，如果實(shí)數(shù)a,b,c是公比不為-1的等比數(shù)列，則a+b+c的取值范圍為

( )

(浙江省“七彩陽(yáng)光”聯(lián)盟2018屆高三上學(xué)期期初數(shù)學(xué)聯(lián)考試題第10題)

4．已知a1，a2，a3，a4成等比數(shù)列，且a1+a2+a3+a4=(a2+a3+a4)2，若a4>1，則

( )

A.a1>a2，a3>a4B.a1>a3，a2

C.a1a4D.a1

5．已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn，且2a1+3a3=S6，給出以下結(jié)論：

①a10=0；②S10最小；③S7=S12；④S19=0，正確的有______.

(浙江省鎮(zhèn)海中學(xué)2018學(xué)年第一學(xué)期數(shù)學(xué)期中考試第16題)

6.設(shè)數(shù)列{an}滿足an+1=2(|an|-1)(其中n∈N*)，若存在常數(shù)M>0，使得對(duì)于任意的n∈N*，恒有|an|≤M，則a1的取值范圍是______．

(2018學(xué)年第一學(xué)期“9+1”高中聯(lián)盟數(shù)學(xué)期中考試第17題)

1)求{bn}的前n項(xiàng)和Sn及{an}的通項(xiàng)公式;

(浙江省名校協(xié)作體2018學(xué)年第一學(xué)期數(shù)學(xué)聯(lián)考試題第20題)

8.設(shè)各項(xiàng)為正項(xiàng)的數(shù)列{an}，其前n項(xiàng)和為Tn，a1=2，anan+1=6Tn-2．

1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

2)若bn=2n，求數(shù)列{|an-bn|}的前n項(xiàng)和Sn．

(2018學(xué)年第一學(xué)期“9+1”高中聯(lián)盟數(shù)學(xué)期中考試第20題)

參考答案

1.C 2.C 3.C 4.B

5.①③④ 6.-2≤a1≤2

由a1=3得an>0，兩邊取對(duì)數(shù)得

log2(an+1+1)=log2(an+1)2=2log2(an+1),

即

bn+1=2bn.

又

b1=log2(a1+1)=2≠0，

知{bn}是以2為公比的等比數(shù)列，即bn=2n,從而

Sn=2n+1-2,

由bn=log2(an+1)，知an=22n-1.

2)證法1(數(shù)學(xué)歸納法)

②假設(shè)當(dāng)n=k≥2時(shí)，不等式成立，則當(dāng)n=k+1時(shí)，

故當(dāng)n=k+1時(shí)，不等式成立.

綜上可得：對(duì)一切n∈N*，n≥2,命題成立.

an+1(an+2-an)=6an+1(其中n∈N*).

因?yàn)閍n>0，an+2-an=6，所以數(shù)列{a2n-1}和數(shù)列{a2n}都是公差為6的等差數(shù)列.又a1=2，a1a2=6T1-2，得a2=5，從而

a2n-1=2+6(n-1)=6n-4=3(2n-1)-1，

a2n=5+6(n-1)=6n-1=3·2n-1，

故

an=3n-1.

2)因?yàn)楫?dāng)n≤3時(shí)，an-bn≥0，所以

Sn= |a1-b1|+|a2-b2|+…+|an-bn|=

(a1+a2+…+an)-(b1+b2+…+bn)=

當(dāng)n≥4時(shí)，

bn-an= (1+1)n-(3n-1)≥

從而Sn= |a1-b1|+|a2-b2|+|a3-b3|+|a4-

b4|+|a5-b5|+…+|an-bn|=

(a1-b1)+(a2-b2)+(a3-b3)-(a4-

b4)-(a5-b5)-…-(an-bn)=

[2(a1+a2+a3)-(a1+a2+…+an)]-

[2(b1+b2+b3)-(b1+b2+…+bn)]=

2(a1+a2+a3)-(a1+a2+…+an)-

2(b1+b2+b3)+(b1+b2+…+bn)=

因此