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        高考數(shù)列復(fù)習(xí)備考要點例析*

        2019-04-15 10:01:36
        關(guān)鍵詞:公比學(xué)年壓軸

        (慈中書院,浙江 慈溪 315300)

        ●黃國員

        (慈溪市教育局教研室,浙江 慈溪 315300)

        1 知識內(nèi)容

        《浙江考試》2019年第1期公布了“2019年浙江省普通高考考試說明(數(shù)學(xué))”,明確2019年高考必考科目數(shù)學(xué)考試說明內(nèi)容與2017年相同.關(guān)于數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法部分,建議關(guān)注以下內(nèi)容與要求:

        1)了解數(shù)列的概念和表示方法(列表、圖像、公式);

        2)理解等差數(shù)列、等比數(shù)列的概念,掌握等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項公式與前n項和公式及其應(yīng)用;

        3)了解等差數(shù)列與一次函數(shù)、等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系;

        4)會用數(shù)列的等差關(guān)系或等比關(guān)系解決實際問題;

        5)會用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡單的數(shù)學(xué)問題.

        2 命題分析

        分析2004—2018年這15年的浙江省數(shù)學(xué)高考“數(shù)列部分”的命題,考查內(nèi)容、試題位置編排(難度)、分值等有一些共同點:單純考查數(shù)列的試題,一般解答題1道,選擇或填空題也1道,難度會合理搭配,若解答題壓軸,則選擇題或填空題會簡單些;若解答題難度中等,則選擇題或填空題會出壓軸題.分值一般在20分左右,可以與數(shù)學(xué)文化及其他知識相結(jié)合考查,涉及數(shù)列概念、基本運算與證明.最近兩年(已文理科不分)關(guān)于數(shù)列部分的考查分析如下:

        2017年考查了兩道題,共19分:其中一道選擇題4分(以等差數(shù)列為載體考查充要條件的概念,難度中等)、一道解答題15分(考查數(shù)列與不等式、不等式放縮、數(shù)學(xué)歸納法,是壓軸題);

        2018年考查了兩道題,共19分:其中一道選擇題4分(考查等比數(shù)列的概念與本質(zhì)、數(shù)列單調(diào)性、數(shù)列與不等式,是壓軸題),一道解答題15分(考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的基本概念,求和的常用方法,數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng),難度中等).

        2019年預(yù)測會有2~3個試題,分值在20分左右:若解答題位于第20題,估計難度中等,有一定的運算量,涉及基本量計算、等差(等比)數(shù)列證明、數(shù)列求和、簡單的數(shù)列與不等式證明,此時在選擇題或填空題必有1~2題考查數(shù)列的其他知識,難度是壓軸題或再加一個簡單題;若解答題位于第22題(壓軸題),難度大,涉及數(shù)列遞推、數(shù)列與不等式、數(shù)學(xué)歸納法,從整卷考慮,則在選擇、填空題中會有簡單的數(shù)列題與壓軸題搭配,主要涉及基本量計算、等差數(shù)列、等比數(shù)列的概念.

        3 典例剖析

        考點1等差(等比)數(shù)列的概念與本質(zhì).

        例11)已知數(shù)列{an}的前n項和是Sn,則下列4個命題中,錯誤的是

        ( )

        C.若數(shù)列{an}是等差數(shù)列,則數(shù)列的奇數(shù)項、偶數(shù)項分別構(gòu)成等差數(shù)列

        D.若數(shù)列{an}的奇數(shù)項、偶數(shù)項分別構(gòu)成公差相等的等差數(shù)列,則{an}是等差數(shù)列

        (2017年浙江省諸暨市高中畢業(yè)班教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題第5題)

        2)已知a1,a2,a3,a4成等比數(shù)列,且a1+a2+a3+a4=ln(a1+a2+a3).若a1>1,則

        ( )

        A.a1a3,a2

        C.a1a4D.a1>a3,a2>a4

        (2018年浙江省數(shù)學(xué)高考試題第10題)

        Sn=na1+n(n-1)d,

        則當(dāng)n≥2時,an=Sn-Sn-1=a1+2(n-1)d,

        即數(shù)列{an}是公差為2d的等差數(shù)列.故選B.

        對于選項C,若數(shù)列{an}是公差為d的等差數(shù)列,則數(shù)列的奇數(shù)項、偶數(shù)項都是公差為2d的等差數(shù)列,故選項C正確.

        對于選項D,若數(shù)列{an}的奇數(shù)項、偶數(shù)項分別構(gòu)成公差相等的等差數(shù)列,則{an}不一定是等差數(shù)列,如:1,4,3,6,5,8,7,選項D錯誤.故選D.

        2)由a1+a2+a3+a4=ln(a1+a2+a3)的結(jié)構(gòu),想到對數(shù)放縮最常用的公式lnx≤x-1,從而

        a1+a2+a3+a4= ln(a1+a2+a3)≤a1+a2+a3-1,

        得a4≤-1,于是公比q<0.

        (反證法)若q≤-1,則

        a1+a2+a3+a4=a1(1+q)(1+q2)≤0,

        a1+a2+a3=a1(1+q+q2)≥a1>1,

        ln(a1+a2+a3)>0,

        矛盾,從而-1

        a1-a3=a1(1-q2)>0,

        a2-a4=a1q(1-q2)<0.

        故選B.

        評注證明數(shù)列{an}是等差(等比)數(shù)列的兩種基本方法:定義法和等差(等比)中項法.這兩種方法在解答題中比較常見,在選擇題與填空題也可用.要挖掘教材,掌握教材中一些經(jīng)典結(jié)論,如當(dāng)x>0時,有l(wèi)nx

        考點2等差數(shù)列與等比數(shù)列中的基本量運算.

        例21)已知等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn,則下列結(jié)論一定成立的是

        ( )

        A.若a5>0,則a2 017<0

        B.若a6>0,則a2 018<0

        C.若a5>0,則S2 017>0

        D.若a6>0,則S2 018>0

        (浙江省金華十校2017學(xué)年第一學(xué)期高三期末調(diào)研數(shù)學(xué)試題第6題)

        (浙江省寧波市2018年數(shù)學(xué)高考模擬考試第15題)

        分析1)選項A中,若a5>0,則

        a2 017=a5q2 012>0,

        選項A錯誤.

        選項B中,若a6=a1q5>0,則

        a2 018=a1q2 017>0,

        選項B錯誤.

        選項D中,a6=a1q5>0.當(dāng)a1>0,q=1時,

        S2 018=2 018a1>0;

        2)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,a1=2,則

        評注等差(等比)數(shù)列的基本運算,一般通過其通項公式及前n項和公式建立關(guān)于a1和d或q的方程或方程組解決.注意利用等比數(shù)列前n項和公式求和時,不可忽視對公比q是否為1的討論.另外,了解與掌握一些數(shù)列中的小結(jié)論,對提高解題速度和正確率大有益處.

        考點3數(shù)列單調(diào)性與充要條件.

        例31)等比數(shù)列{an}中,a1>0,則“a1

        ( )

        A.充分不必要條件 B.必要不充分條件

        C.充要條件 D.既不充分也不必要條件

        (浙江省諸暨市2017學(xué)年第一學(xué)期高三數(shù)學(xué)期末考試第5題)

        2)記Sn為數(shù)列{an}的前n項和,“任意正整數(shù)n,均有an>0”是“{Sn}為遞增數(shù)列”的

        ( )

        A.充分不必要條件 B.必要不充分條件

        C.充要條件 D.既不充分也不必要條件

        (浙江省寧波市2018年數(shù)學(xué)高考模擬考試第5題)

        分析1)在等比數(shù)列中,設(shè)公比為q,則由a10,得q3>1,即q>1.由a31,從而q>1或q<-1,即“a1

        2)由an>0,知數(shù)列{Sn}是遞增數(shù)列,反之?dāng)?shù)列{Sn}是遞增數(shù)列不能得到an>0,即“an>0”是“數(shù)列{Sn}是遞增數(shù)列”的充分不必要條件.故選A.

        評注這類試題主要考查充要條件的判斷以及等差數(shù)列、等比數(shù)列的概念與性質(zhì),考查邏輯推理能力,能推得出的需要證明,推不出的只需找到反例.

        考點4數(shù)列與數(shù)學(xué)文化.

        例4《九章算術(shù)》是我國古代著名的數(shù)學(xué)著作,其中有一道數(shù)列問題:“今有良馬與駑馬發(fā)長安,至齊,齊去長安三千里.良馬初日行一百九十三里,日增一十三里,駑馬初日行九十七里,日減半里,良馬先至齊,復(fù)還迎駑馬,問幾日相逢及各行幾何?”請研究本題,并給出下列結(jié)果:兩馬同時出發(fā)后第9天,良馬日行______里,從長安出發(fā)后第______天兩馬第一次相遇.

        (稽陽聯(lián)誼學(xué)校2018年4月高三聯(lián)考數(shù)學(xué)試題第13題)

        a9=a1+8d1=297.

        設(shè)兩馬經(jīng)過n天相遇,則

        整理得

        293n2-3n-6 000=0.

        令f(n)=293n2-3n-6 000,則

        f(15)<0,f(16)>0,

        從而n∈(15,16),即出發(fā)后第16天兩馬相遇.

        評注這類試題以數(shù)學(xué)文化為載體考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的概念、通項公式、基本性質(zhì)、前n項和,考查的核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)運算.解決這類試題的關(guān)鍵是讀懂題目意思.

        考點5數(shù)列性質(zhì)、數(shù)列與不等式綜合考查.

        例5已知公差為d的等差數(shù)列{an}前n項和為Sn.若存在正整數(shù)n0,對任意正整數(shù)m,Sn0·Sn0+m<0恒成立,則下列結(jié)論不一定成立的是

        ( )

        A.a1·d<0 B.|Sn|有最小值

        C.an0·an0+1>0 D.an0+1·an0+2>0

        (浙江省名校協(xié)作體2018學(xué)年第一學(xué)期聯(lián)考數(shù)學(xué)試題第9題)

        分析已知公差為d的等差數(shù)列{an},若存在正整數(shù)n0,對任意正整數(shù)m,Sn0·Sn0+m<0恒成立,則a1與d異號,即a1·d<0,|Sn|有最小值,從而

        an0·an0+1<0,an0+2·an0+1>0,

        選項C不正確.故選C.

        評注累加、累乘是課本中求等差(等比)數(shù)列通項方法的推廣.給出數(shù)列的遞推關(guān)系求通項時,通常利用代入法、整體換元法等求解,不必考慮特殊技巧.常見解決數(shù)列與不等式的方法有:用數(shù)學(xué)歸納法驗證;構(gòu)造函數(shù),先證明函數(shù)單調(diào)性,再判斷數(shù)列單調(diào)性;數(shù)形結(jié)合,畫圖驗算(小題小做).

        考點6解答題中的簡單計算與不等式證明.

        1)求數(shù)列{an}的通項公式;

        (浙江省衢州、湖州、麗水三地市2018年9月高三教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題第20題)

        于是

        當(dāng)n≥2時,

        當(dāng)n=1時上式也成立,故命題成立.

        評注對于數(shù)列{an},an和Sn有關(guān)系

        這是一種重要的關(guān)系,是已知Sn求通項an的常用方法.首先利用Sn“復(fù)制”出Sn-1,兩式相減求出an.簡單的數(shù)列不等式證明,求解的關(guān)鍵在于放縮.

        考點7解答題中的雙求問題(求通項、求和).

        例7已知正項數(shù)列{an}的前n項和為Sn,Sn=a1(an-1),其中n∈N*.

        1)求數(shù)列{an}的通項公式;

        分析1)當(dāng)n=1時,

        a1=a1(a1-1),

        又an>0,從而a1=2.

        an=a1(an-an-1),

        又a1=2,得

        an=2(an-an-1),

        an=2an-1(其中n≥2),

        因此數(shù)列{an}是以2為首項、2為公比的等比數(shù)列,故an=2×2n-1=2n.

        2)由于

        yn=log2(an+1)2=2n+2,

        當(dāng)n為偶數(shù)時,

        Tn=x1y1+x2y2+x3y3+x4y4+…+xn-1yn-1+xnyn=

        y1+2y2+y3+2y4+…+yn-1+2yn=

        (y1+y3+…+yn-1)+2(y2+y4+…+yn)=

        當(dāng)n為奇數(shù)時,n-1為偶數(shù),則

        Tn=Tn-1+xnyn=Tn-1+yn=

        從而

        考點8解答題中的數(shù)列壓軸題突破.

        1)證明:|an|≥2n-1(|a1|-2);

        (2016年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題第20題)

        累加得

        從而

        |an|≥2n-1(|a1|-2).

        累加得

        從而

        于是

        只需|ak|-2≤0,因為這里的k可以取任意正整數(shù),所以|ak|≤2.

        4 精題集萃

        1.已知等比數(shù)列{an}的公比為q,a1>0,前n項和為Sn,則“q>1”是“S4+S6>2S5”的

        ( )

        A.充分不必要條件 B.必要不充分條件

        C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件

        (浙江省紹興市柯橋區(qū)2018屆高三數(shù)學(xué)適應(yīng)性考試第5題)

        2.已知數(shù)列{an}滿足a1=1,an+1-an≥2(其中n∈N*),Sn為其前n項和,則

        ( )

        A.a(chǎn)n≥2n+1 B.a(chǎn)n≥2n-1

        C.Sn≥n2D.Sn≥2n-1

        (浙江省臺州市2017學(xué)年第一學(xué)期高三數(shù)學(xué)期末考試第5題)

        3.設(shè)實數(shù)b,c,d成等差數(shù)列,且它們的和為9,如果實數(shù)a,b,c是公比不為-1的等比數(shù)列,則a+b+c的取值范圍為

        ( )

        (浙江省“七彩陽光”聯(lián)盟2018屆高三上學(xué)期期初數(shù)學(xué)聯(lián)考試題第10題)

        4.已知a1,a2,a3,a4成等比數(shù)列,且a1+a2+a3+a4=(a2+a3+a4)2,若a4>1,則

        ( )

        A.a1>a2,a3>a4B.a1>a3,a2

        C.a1a4D.a1

        5.已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列,其前n項和為Sn,且2a1+3a3=S6,給出以下結(jié)論:

        ①a10=0;②S10最??;③S7=S12;④S19=0,正確的有______.

        (浙江省鎮(zhèn)海中學(xué)2018學(xué)年第一學(xué)期數(shù)學(xué)期中考試第16題)

        6.設(shè)數(shù)列{an}滿足an+1=2(|an|-1)(其中n∈N*),若存在常數(shù)M>0,使得對于任意的n∈N*,恒有|an|≤M,則a1的取值范圍是______.

        (2018學(xué)年第一學(xué)期“9+1”高中聯(lián)盟數(shù)學(xué)期中考試第17題)

        1)求{bn}的前n項和Sn及{an}的通項公式;

        (浙江省名校協(xié)作體2018學(xué)年第一學(xué)期數(shù)學(xué)聯(lián)考試題第20題)

        8.設(shè)各項為正項的數(shù)列{an},其前n項和為Tn,a1=2,anan+1=6Tn-2.

        1)求數(shù)列{an}的通項公式;

        2)若bn=2n,求數(shù)列{|an-bn|}的前n項和Sn.

        (2018學(xué)年第一學(xué)期“9+1”高中聯(lián)盟數(shù)學(xué)期中考試第20題)

        參考答案

        1.C 2.C 3.C 4.B

        5.①③④ 6.-2≤a1≤2

        由a1=3得an>0,兩邊取對數(shù)得

        log2(an+1+1)=log2(an+1)2=2log2(an+1),

        bn+1=2bn.

        b1=log2(a1+1)=2≠0,

        知{bn}是以2為公比的等比數(shù)列,即bn=2n,從而

        Sn=2n+1-2,

        由bn=log2(an+1),知an=22n-1.

        2)證法1(數(shù)學(xué)歸納法)

        ②假設(shè)當(dāng)n=k≥2時,不等式成立,則當(dāng)n=k+1時,

        故當(dāng)n=k+1時,不等式成立.

        綜上可得:對一切n∈N*,n≥2,命題成立.

        an+1(an+2-an)=6an+1(其中n∈N*).

        因為an>0,an+2-an=6,所以數(shù)列{a2n-1}和數(shù)列{a2n}都是公差為6的等差數(shù)列.又a1=2,a1a2=6T1-2,得a2=5,從而

        a2n-1=2+6(n-1)=6n-4=3(2n-1)-1,

        a2n=5+6(n-1)=6n-1=3·2n-1,

        an=3n-1.

        2)因為當(dāng)n≤3時,an-bn≥0,所以

        Sn= |a1-b1|+|a2-b2|+…+|an-bn|=

        (a1+a2+…+an)-(b1+b2+…+bn)=

        當(dāng)n≥4時,

        bn-an= (1+1)n-(3n-1)≥

        從而Sn= |a1-b1|+|a2-b2|+|a3-b3|+|a4-

        b4|+|a5-b5|+…+|an-bn|=

        (a1-b1)+(a2-b2)+(a3-b3)-(a4-

        b4)-(a5-b5)-…-(an-bn)=

        [2(a1+a2+a3)-(a1+a2+…+an)]-

        [2(b1+b2+b3)-(b1+b2+…+bn)]=

        2(a1+a2+a3)-(a1+a2+…+an)-

        2(b1+b2+b3)+(b1+b2+…+bn)=

        因此

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