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(海曙區(qū)古林鎮(zhèn)中學,浙江 寧波 315176)
問:根據(jù)實際問題的條件列方程的教學要經(jīng)歷哪幾個步驟?
答:審題→分析→設元→列方程.
問:審題主要審什么?
答:審問題涉及的量、已知的量、未知的量、所求的量.
問:主要分析什么?
答:分析問題中含有的數(shù)量關系.
問:設元的含義是什么?
答:設元就是選擇一個適當?shù)奈粗獢?shù)用字母表示.
問:列方程呢?
答:列方程就是根據(jù)等量關系列出方程.
問:針對下列問題的方程你是怎樣教學的?
例1某文藝團體為“希望工程”募捐義演,全價票為每張18元,學生享受半價.某場演出共售出966張票,收入15 480元,問這場演出共售出學生票多少張?
答:第一,引導學生閱讀題目并找出問題涉及的數(shù)量:票數(shù)、票價、總價等.
第三,設哪個未知數(shù)為x(本題應設學生票張數(shù)為x張).
通過課堂觀察發(fā)現(xiàn),上述教師持有的列方程的教學過程觀具有普遍性,它主要來自于浙教版教材提供的觀點——運用方程解決實際問題的一般過程:
1)審題:分析題意,找出題中的數(shù)量及其關系;
2)設元:選擇一個適當?shù)奈粗獢?shù)用字母表示(例如x);
3)列方程:根據(jù)相等關系列出方程;
4)解方程:求出未知數(shù)的值;
5)檢驗:檢查求得的值是否正確和符合實際情況,并寫出答案[1].
事實上,用方程解決實際問題的教學性質(zhì)是問題解決教學,它要經(jīng)歷問題解決的4個基本步驟:理解問題→制定計劃→執(zhí)行計劃→回顧[2].這里理解問題主要是:審問題含有的數(shù)量、已知量、未知量、所求量,審問題含有的等量關系,特別是含有未知量的等量關系.制定計劃主要是:在分析各種可行的列方程方案的基礎上,選擇一個比較合適的方案.而目前根據(jù)實際問題的條件列方程的教學隱去了列方程之前分析與決策的過程,并且選哪個未知數(shù)用字母表示帶有盲目性,這樣所列的方程不一定合適,如果審題時未知量有遺漏,也得不到相應的方程,這樣的教學失去了發(fā)展學生能力和個性的機會,這種嘗試性列方程的方法不利于學生積淀經(jīng)驗,這可能是導致學生列方程困難的根本原因.
筆者認為,列方程的教學過程是:審題(審已知量、未知量、所求量;審含有未知量的等量關系,即用列式、列表、畫圖等方法,找出問題中含有未知量的等量關系)→分析(列方程有哪些方案,哪個方案比較合適,即選用哪個含有未知量的等量關系來列方程和哪個未知數(shù)用字母表示比較合適——使所列方程求解方便)→設未知數(shù)、列方程(根據(jù)確定的方案用字母表示未知數(shù)并列出方程).這里列方程之前有分析與決策的過程,并且選哪個未知數(shù)用字母表示有指向性,它依賴于選用的含有未知量的等量關系,即使審題時遺漏了某個未知量,在選用含有未知量的等量關系來列方程時也能發(fā)現(xiàn),使得學生列方程有規(guī)律可循,從而為學生提供了發(fā)展能力和個性的機會,特別是這種帶有規(guī)律性的列方程方法有助于學生積淀經(jīng)驗.
下面以浙教版《數(shù)學》七年級上冊第5.4節(jié)“一元一次方程的應用(第一課時)”中的例1與例2為載體,來展示用方程解決實際問題的教學過程.
例2同例1.
師:問題中含有哪些數(shù)量?哪些是已知的?哪些是未知的?哪些是所求的?
生1:問題中含有的數(shù)量有總票數(shù)、全價票張數(shù)、學生票張數(shù)、全價票的票價、學生票的票價、總收入、全價票的收入、學生票的收入,其中已知量是總票數(shù)、全價票的票價、學生票的票價、總收入,未知量是全價票張數(shù)、學生票張數(shù)、全價票的收入、學生票的收入,所求量是學生票張數(shù).
師:很好!用分類方法來提取問題中的數(shù)量信息.問題中含有哪些等量關系?
生2:全價票張數(shù)×全價票的票價=全價票的收入;學生票張數(shù)×學生票的票價=學生票的收入;全價票張數(shù)+學生票張數(shù)=966;全價票的收入+學生票的收入=15 480.
師:不錯!其實,在這4個等量關系中可以提煉出2個含有未知量的等量關系,即全價票張數(shù)+學生票張數(shù)=966;全價票張數(shù)×18+學生票張數(shù)×9=15 480.
師:那么選用哪個含有未知量的等量關系來列方程,選用哪個未知數(shù)用字母來表示比較合適?有哪些方案?
生3:用“全價票張數(shù)×18+學生票張數(shù)×9=15 480”來列方程,學生票張數(shù)用字母來表示(或全價票張數(shù)用字母來表示);也可用“全價票張數(shù)+學生票張數(shù)=966”來列方程,學生票張數(shù)用字母來表示(或全價票張數(shù)用字母來表示).
生4:選用“全價票張數(shù)×18+學生票張數(shù)×9=15 480”來列方程和學生票張數(shù)用字母表示比較合適.
師:根據(jù)你確定的方案,可列出怎樣的方程?
生4:設學生票張數(shù)為x,則
(966-x)×18+9x=15 480.
師:好的.請大家解這個方程,并通過檢驗回答實際問題的答案.
師(待學生完成任務):誰來匯報學習結果?
生5:x=212.經(jīng)檢驗它是方程的解且符合實際意義,即這場演出共售出學生票212張.
師:這樣我們用一元一次方程解決了這個問題,解題過程的規(guī)范表達請參考課本.若選其他方案,則可列出怎樣的方程?
生6:用“全價票張數(shù)×18+學生票張數(shù)×9=15 480”來列方程.設全價票張數(shù)為x,則可列出方程18x+(966-x)×9=15 480.
生7:用“全價票張數(shù)+學生票張數(shù)=966”來列方程,設全價票張數(shù)為x張,則可列出方程
生8:用“全價票張數(shù)+學生票張數(shù)=966”來列方程.設學生票張數(shù)為x,則可列出方程
師:由此可知,經(jīng)歷分析基礎上選擇性決策的過程,能使所列的方程更加合適.
……
例3A,B兩地相距60 km,甲、乙兩人同時從A,B兩地騎自行車出發(fā),相向而行.甲每小時比乙多行2 km,經(jīng)過兩個小時相遇.問甲、乙兩人的速度分別是多少?
師:請大家依次思考并回答下列問題(允許小組合作).
1)問題中含有哪些未知量?有哪些含有未知量的等量關系?
2)選用哪個含有未知量的等量關系來列方程,選用哪個未知數(shù)用字母來表示比較合適?有哪些方案?
3)根據(jù)你確定的方案,可列出怎樣的方程?
師(待學生思考完畢):誰來回答問題1)?
生9:問題中含有的未知量為甲行駛的速度、路程以及乙行駛的速度、路程.問題中含有未知量的等量關系為“甲行駛路程+乙行駛路程=60”和“甲的速度=乙的速度+2”.
師:好的.誰來回答問題2)?
生10:用“甲行駛路程+乙行駛路程=60”來列方程,乙的速度用字母表示(或甲的速度用字母表示);也可用“甲的速度=乙的速度+2”來列方程,甲行駛路程用字母表示(或乙行駛路程用字母表示).用“甲行駛路程+乙行駛路程=60”來列方程和乙的速度用字母表示比較合適.
師:有道理.誰來回答問題3)?
生11:設乙的速度為x,則可列出方程2(x+2)+2x=60.
師:好的.請大家完整地把解題過程寫出來.
……
師(待學生完成任務):若選其他方案,則可列出怎樣的方程?
生12:若選用“甲行駛的路程+乙行駛的路程=60”來列方程,設甲的速度為y,則可列出方程
2y+2(y-2)=60.
生13:若選用“甲的速度=乙的速度+2”來列方程,設甲行駛的路程為S,則可列出方程
若選用“甲的速度=乙的速度+2”來列方程,設乙行駛的路程為S,則可列出方程
師:由此可知,每一個含有未知量的等量關系都可以用來列方程,設未知數(shù)也有直接設元法和間接設元法兩種,但選哪個未知數(shù)用字母表示依賴于所選用的含有未知量的等量關系.這進一步說明要使所列的方程更加合適,就要經(jīng)歷分析基礎上的選擇性決策的過程.
初步的理論求證與實踐驗證表明,改進后列方程的教學過程遵循了問題解決教學的基本規(guī)范,體現(xiàn)了過程教育和以學為中心的思想,它不但有助于學生積淀列方程的經(jīng)驗,而且對促進學生發(fā)展智力、能力和個性也有積極的影響.