孫 軍,屈 彪

(曲阜師范大學(xué)管理學(xué)院,山東日照 276826)

1 引言

在1994年,分裂可行問題最早是由Censor和Elfving[1]依據(jù)醫(yī)學(xué)中調(diào)強(qiáng)放射治療的實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)和理論提出的.分裂可行問題的具體形式如下:找一個向量x,滿足

這里C和Q是非空閉凸集,C?RN,Q?RM,A是一個M×N的矩陣.

分裂可行問題不僅僅在信號處理、圖像恢復(fù)上有重要的應(yīng)用,而且在系統(tǒng)識別、經(jīng)濟(jì)、軍事領(lǐng)域也有重要的應(yīng)用.因此,從問題被提出至今,許多學(xué)者對其進(jìn)行了大量的分析和研究,如Byrne[2,3]提出的CQ算法,Yang[4]接著提出了一種松弛的CQ算法.后來,Qu和Xiu[5]利用類Aimijo搜索來獲得步長,對松弛CQ法進(jìn)行了修正,改進(jìn)后的算法不需要求矩陣范數(shù),克服了往常算法計(jì)算矩陣特征值等缺點(diǎn),并且在此算法的基礎(chǔ)之上進(jìn)行了進(jìn)一步的改進(jìn),提出了修正松弛CQ算法.

近幾年,隨著壓縮傳感技術(shù)在信號處理、圖像恢復(fù)等方面的應(yīng)用,要求變量具有稀疏性.因此我們考慮稀疏分裂可行問題.

對于稀疏約束優(yōu)化問題,已經(jīng)有了較多的研究.對于線性目標(biāo)函數(shù),已經(jīng)有了一些算法,如Agarwal[6]改進(jìn)嚴(yán)格強(qiáng)凸性(RSC)條件并且引進(jìn)了嚴(yán)格強(qiáng)光滑性(RSS)條件來保證一種一階方法的收斂性.后來,有些學(xué)者對RSC和RSS進(jìn)行改進(jìn)以保證唯一解的存在[7?10].Bahmani等在文獻(xiàn)[11]中對于二階連續(xù)可微目標(biāo)函數(shù)提出了穩(wěn)定嚴(yán)格Hessen(SRH)性質(zhì)且對于非光滑的函數(shù)提出了穩(wěn)定嚴(yán)格線性性質(zhì)(SRL).Cands和Tao[12]在壓縮傳感[12,13]中提出了嚴(yán)格等距性條件(RIP)來保證線性目標(biāo)函數(shù)優(yōu)化問題具有唯一解.最近幾年Beck和Eldar[14]提出了目標(biāo)函數(shù)是非線性的優(yōu)化問題,并且給出了幾種最優(yōu)性條件以及一些相應(yīng)的算法.在此基礎(chǔ)上,Pan和Xiu[15]提出了一種新的步長規(guī)則,以加快計(jì)算.

稀疏分裂可行問題是分裂可行問題與稀疏限制優(yōu)化問題的一個結(jié)合問題.雖然,關(guān)于上面兩個問題有較多的學(xué)者在研究,但是對于稀疏分裂可行問題,這方面的專門研究還沒看到.

問題形式如下:找向量x,滿足

證 1.若xk+1是由步驟1產(chǎn)生的,根據(jù)引理2.4可以得出

1.1.2 在一定的樹木間開始有競爭作用的密度以上，密度越大，直徑生長越小，這個作用的程度是很明顯的。

本文將問題(1.1)轉(zhuǎn)化為下述問題

通過求解此問題得到(1.1)的一個解.

2 最優(yōu)性條件

在本文中,CS表示所有最多s個非零元素的向量全體.

定義2.1[14]稱集合CS={x∈Rn:kxk0≤s}為稀疏集合,這里s∈{1,2,···,n}.

定義2.2[14]支撐集:對于向量x,記I1(x)≡{i∈{1,···,n}:xi6=0}為向量x的支撐集.記I0(x)≡{i∈{1,···,n}:xi=0}為向量x的外支撐集.顯然I0(x)和I1(x)滿足如下關(guān)系:I1(x)∩ I0(x)= ?,I1(x)∪I0(x)={1,···,n}.

定義2.3[14]稱由RN往稀疏集CS上的投影為支撐映射,即

向量x往稀疏集CS上的投影PCS,其分量包括向量x的s個絕對值最大的分量和N?s個零.

對于一個向量x∈Rn和i∈{1,2,···,n},Mi(x)代表向量x中第 i個絕對值最大的元素,所以

因?yàn)镃s是非凸的,所以投影PCs(x)可能不是唯一的.如果Ms(x)=0或者M(jìn)s(x)>Ms+1(x),那么PCs(x)是唯一的.即下面這種情況

如果多于一個xi使得|xi|=Ms(x),即下面這種情況

如果多于一個xi使得|xi|=Ms(x),那么在取投影點(diǎn)時,可以隨意的選取其中一個|xi|=Ms(x),或者根據(jù)已經(jīng)定好的規(guī)則去選取,其他取零.

取i∈I1(x?).因?yàn)閤kn和xkn+1都收斂到x?,所以存在N,對所有的n>N,有0.從而對所有的n>N,有.因?yàn)閧αk}有界的,不妨假設(shè)當(dāng)n→ ∞ 時,有αkn→ α.因此可得?if(x?)=0.再取i∈I0(x?).如果存在無限個kn且則有取極限可得 ?if(x?)=0.

以甘肅省3個栽培區(qū)域5個紫花苜蓿品種為寄主植物，旨在揭示紫花苜蓿內(nèi)生和非內(nèi)生細(xì)菌的遺傳多樣性。細(xì)菌種群多樣性受到土壤類型和植物基因型的影響[33]。從土壤類型分析，武威和會寧地區(qū)的菌株遺傳多樣性最豐富，蘭州地區(qū)菌株遺傳多樣性最低；從植物基因型分析，生長于蘭州地區(qū)的WL168HQ苜蓿菌株遺傳多樣性最豐富，生長于武威地區(qū)的甘農(nóng)3號苜蓿菌株多樣性指數(shù)最低。說明土壤類型和植物基因型對細(xì)菌種群多樣性的影響并不是一致的。

很顯然f(x)是連續(xù)可微函數(shù),且它的梯度為

引理2.1目標(biāo)函數(shù)f(x)的梯度?f(x)是Lipschitz連續(xù)的.

證 對于任意的x,y∈RN,有

取L=(kAk2+1),則k?f(x)??f(y)k≤Lkx?yk.

在下文中,所有的L取kAk2+1為Lipschitz常數(shù).

定義2.4[14]向量x?∈Cs是問題(1.2)一個BF點(diǎn).如果

1. 當(dāng) kx?k0

血液透析可清除體內(nèi)過多的內(nèi)毒素、中分子物質(zhì)、硫醇、氯等，減輕腎臟血管的收縮，增加骨血流量，改善肝腎功能[3]。補(bǔ)充支鏈氨基酸和血漿有利于肝功能的恢復(fù)[4]。大量放腹水（LVP）后，膻內(nèi)壓下降，腎靜脈受壓減輕，腎循環(huán)改善；另外，腹水去除后，下腔靜脈受壓減輕，靜脈回心血量增多，每搏輸出量和心輸出量增加，均有利于腎循環(huán)；從而使腎功能得到改善。而且腹水音大量免疫球蛋白，血液透析濾過可去除過多的水分，經(jīng)濃縮后腹水回著，可防治單純LVP后因腹內(nèi)壓驟減，廢水易快建再形成而繼發(fā)有效血容量減少，可減少血壓降低等血液遺析的不良反應(yīng)[5-7]。

2.當(dāng) kx?k0=s,5if(x?)=0,對于所有的 i∈ I1(x?).

定理2.1[14]假設(shè)x?是問題(1.2)的最優(yōu)解,那么x?是一個BF點(diǎn).

定義2.5[14]一個向量x?∈Cs稱為問題(1.2)的α-穩(wěn)定點(diǎn),如果它滿足

所以x?是問題(1.2)的一個α-穩(wěn)定點(diǎn).

第一傷害視力。因?yàn)橛檬謾C(jī)上網(wǎng)時間過長，手機(jī)離眼睛太近，導(dǎo)致眼睛過度疲勞，視力急速下降，輕者近視，重者失明?，F(xiàn)在中國的中小學(xué)生近視人數(shù)逐年增加，可能再過二三十年，視力能達(dá)到兵檢要求的人少之又少了。

農(nóng)業(yè)生產(chǎn)受自然環(huán)境影響較大，只有實(shí)際種植才能真正反映出種植技術(shù)的作用。首先，為了提高小麥抗逆穩(wěn)產(chǎn)高品質(zhì)栽培技術(shù)的知名度，和江蘇省農(nóng)委作栽站合作，在江蘇省糧食高產(chǎn)創(chuàng)建工程中進(jìn)行示范推廣。其次，和江蘇省農(nóng)墾局達(dá)成合作，充分發(fā)揮農(nóng)墾局下屬農(nóng)場稻麥生產(chǎn)現(xiàn)代化的優(yōu)勢條件，展示小麥增產(chǎn)抗倒伏新技術(shù)，起到了示范效應(yīng)。再次，適應(yīng)當(dāng)下農(nóng)村新型種糧主體調(diào)整的現(xiàn)狀，探索在種糧大戶、家庭農(nóng)場和合作社等3者之間開展新技術(shù)培訓(xùn)和示范推廣的新模式、新途徑，進(jìn)行了一些試驗(yàn)。

定理2.2[14]假設(shè)x?是問題(1.2)的最優(yōu)解,那么

1.x?是一個 α-穩(wěn)定點(diǎn);

2.集合 PCs(x??α?f(x?))是單點(diǎn)集.

采用SPSS 19.0軟件對數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)學(xué)處理。計(jì)量資料以均數(shù)±標(biāo)準(zhǔn)差表示，組間比較采用t檢驗(yàn)，計(jì)數(shù)資料以頻數(shù)及百分率表示，組間比較采用χ2檢驗(yàn)，以P<0.05為差異有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義。

引理2.3[16]設(shè)f是一個連續(xù)可微的函數(shù),并且其梯度函數(shù)是Lipschtz連續(xù)的,Lipschtz常數(shù)為L,則對L0≥L,有f(x)≤hL0(x,y),其中

引理2.4[14]對于任意的L0≥L,則對任意的y∈CS,x∈RN,滿足

再者，將公眾參與性納入民居植物文化的研究中去。讓公眾親身參與到民居植物文化的研究與保護(hù)中，包括公眾意愿、問卷調(diào)查等方式，形成系統(tǒng)、詳細(xì)的民居植物文化信息，為民居的植物設(shè)計(jì)、植物文化保護(hù)與傳承，提供一定的研究數(shù)據(jù)和方向幫助。

3 算法及收斂性分析

1.當(dāng)k→∞時,{f(xk)}收斂;

步驟0選取 x0∈Rn,?>0,0<α0<,0<αmin<α0,0<λ<,令k?0.

步驟1計(jì)算xk+1∈PCS(xk?αk?f(xk)),這里αk滿足下面不等式

其中xk(α)∈PCS(xk?α?f(xk)).否則,轉(zhuǎn)步驟2.

步驟2 計(jì)算xk+1∈PCS(xk?αk?f(xk)),其中

步驟3若kxk+1?xkk≤?,則停止,否則令k?k+1,轉(zhuǎn)步驟1.

引理3.1設(shè){xk}k≥0為由算法產(chǎn)生的點(diǎn)列,則

證 根據(jù)引理2.4下降性定理和算法可得到.

引理3.2設(shè){xk}k≥0為由算法產(chǎn)生的點(diǎn)列,則

下面給出算法.

2.kxk?xk+1k→0;

3. 對于每個 k=0,1,2,···,如果 xk6=xk+1,則 f(xk+1)

其中C和Q是非空閉凸集,C?RN,Q?RM,A是一個M×N的實(shí)矩陣,kxk0是x的l0范數(shù),即向量x中非零元素的向量的全體.

若xk+1是由步驟2產(chǎn)生的,根據(jù)算法,可以得出

所以f(xk)是單調(diào)非增的.又因?yàn)楹瘮?shù)f(x)是有下界的,所以{f(xk)}收斂.

2.若xk+1是由步驟1產(chǎn)生的,則

若xk+1是由步驟2產(chǎn)生的,

3.根據(jù)結(jié)論1可以直接得到.

今年的金樽獎大師班以“新西蘭，何止長相思”展開探討學(xué)習(xí)。大師班選用的10款新西蘭葡萄酒均由David Allen 大師親自挑選，從聲名遠(yuǎn)揚(yáng)的馬爾堡長相思、馬丁堡黑皮諾，再到梅洛，甚至晚收甜酒、波特酒等，全面展現(xiàn)個性新西蘭的獨(dú)特魅力。去年作為酒商代表參加金樽獎大師班時，David對主賓國風(fēng)土的講解讓我印象頗深，更重要的是聯(lián)系他所結(jié)合的行業(yè)數(shù)據(jù)分析，也讓我在往后的葡萄酒銷售中掌握了不少話術(shù)技巧。而今年作為《葡萄酒》雜志的一員參與跟David對接大師班的細(xì)節(jié)，更是了解到舉辦這樣一場大師班，整個團(tuán)隊(duì)所需要付出的努力有多少。

定理3.1 設(shè){xk}k≥0為由算法產(chǎn)生的點(diǎn)列,則{xk}k≥0的任一聚點(diǎn)都為α-穩(wěn)定點(diǎn).

證 設(shè)x?為{xk}k≥0的任意聚點(diǎn),則存在子列{xkn}kn≥0收斂到x?.由引理3.1可以得出{f(xkn)}和{f(xkn+1)}收斂到同一極限 bf.當(dāng)n→∞時,有f(xkn)?f(xkn+1)→0,當(dāng)n→∞,有xkn+1→x?.又因?yàn)?/p>

舉個例子,如x={5,4,3,1,?3},CS={x∈R5:kxk0≤ 3},則PCs(x)={5,4,3,0,0}或者PCs(x)={5,4,0,0,?3}.對于問題(1.2),令

另一方面,如果存在M>0使得對所有的n>M 都有則

再取n→∞,利用函數(shù)Ms的連續(xù)性可得

推論2.1[14]假設(shè)x?是一個α-穩(wěn)定點(diǎn)對于一些α>0.那么x?是一個BF點(diǎn).

引理2.2[14]對于>0,x?是一個α-穩(wěn)定點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)kx?k0≤s,且

選取2017年5月～2018年5月入院診治的腹瀉患兒80例作為研究對象，表現(xiàn)為發(fā)熱、嘔吐、腹瀉，大便次數(shù)每天大于5次且大便性狀呈水樣蛋花狀，經(jīng)大便常規(guī)檢測有少量白細(xì)胞；且無其他重大疾病，均簽署知情同意書。按照1:1分為對照組和觀察組，各40例。其后果，對照組男20例，女20例，年齡7～25 m，平均年齡（15.32±6.12）m；觀察組男22例，女18例，年齡8～26 m，平均年齡（17.11±5.98）m。兩組年齡、性別等一般資料比較，差異無統(tǒng)計(jì)學(xué)意義（P＞0.05）。

定理3.2 設(shè){xk}k≥0為由算法產(chǎn)生的點(diǎn)列x?是它的一個聚點(diǎn),那么

如模擬仿真宏觀世界和微觀世界，展現(xiàn)浩瀚的星際空間，讓學(xué)生在虛擬太空漫游、探索神秘的宇宙空間；呈現(xiàn)無法用肉眼觀看的分子結(jié)構(gòu)，讓學(xué)生進(jìn)入到分子的微觀世界，用虛擬仿真代替實(shí)際訓(xùn)練。又如，在機(jī)械制圖中觀察內(nèi)部結(jié)構(gòu)，創(chuàng)設(shè)實(shí)驗(yàn)環(huán)境，進(jìn)行實(shí)驗(yàn)教學(xué)。VRML技術(shù)也有助于積極構(gòu)建高職智慧課堂教學(xué)平臺。

1.如果kx?k0

2.如果kx?k0=s,那么x?是問題(1.2)的局部最優(yōu)解.

證 1.如果kx?k0

本文通過為腦出血病人提供康復(fù)護(hù)理干預(yù),臨床效果較好,有效的提高病人日常生活能力,主要原因是:護(hù)士在病人住院期間提供全方面的指導(dǎo),在心理上,消除病人不良的心理狀態(tài),建立良好的心態(tài)去面對疾病,提高病人對治療的信心,在體位上,為病人提供正確的休息姿勢,提高病人的舒適度,有助于加快殘余腦細(xì)胞恢復(fù),增強(qiáng)機(jī)體自主神經(jīng)功能恢復(fù)[4],更好的提高治療效果,在飲食上,多食用高蛋白質(zhì)的食物,增強(qiáng)患者的抵抗力及免疫力,在康復(fù)訓(xùn)練上,為病人提供跨步行走及坐位平衡訓(xùn)練方法,在鍛煉的過程中,逐漸增加訓(xùn)練的難度,有助于增強(qiáng)肢體功能的靈活度,促進(jìn)肢體功能的康復(fù)[2]。

2.若kx?k0=s,取J=I0(x?)且={x∈Rn,xJ=0}.因?yàn)閤?是一個α-穩(wěn)定點(diǎn),所以有

所以

4 數(shù)值實(shí)驗(yàn)

本章節(jié)給出一個數(shù)值例子來證明算法的可行性.所有的程序是在LENONVE ideapad,Windows 10 Inter(R)Core(TM)i5-6200U CPU@2.30GHz 2.40GHz and 4GB內(nèi)存的電腦上運(yùn)行.

例 設(shè)C={x∈RN|kxk2≤0.25},Q={y∈RM|?1≤yi≤1},A=(aij)M×N.求x∈C,Ax∈Q s.t.kxk0≤s.

二是創(chuàng)新專項(xiàng)治理模式。針對油田老區(qū)資源有效接替壓力增大，生產(chǎn)過程中高能耗、技術(shù)水平低等問題，為夯實(shí)老油田穩(wěn)產(chǎn)基礎(chǔ)，保障老區(qū)持續(xù)發(fā)展，實(shí)施了專項(xiàng)治理工程，形成科學(xué)、規(guī)范、高效的運(yùn)行模式，加速成熟技術(shù)的規(guī)模化應(yīng)用。

在表1中,取M=1,N=5,A=rand(M,N),s=3.x0表示初始點(diǎn),iter表示迭代步數(shù),CPU time表示運(yùn)行時間,x?表示收斂點(diǎn).

表1:數(shù)值結(jié)果

在表2中,取M=150,N=150,A=I,s=50.x0表示初始點(diǎn),iter表示迭代步數(shù),CPU time表示運(yùn)行時間.由于收斂點(diǎn)維數(shù)過高,我們就不在表中給出收斂點(diǎn).

開展刑事案件律師辯護(hù)全覆蓋試點(diǎn)工作的實(shí)證分析——以北京市朝陽區(qū)為例北京市朝陽區(qū)司法局課題組（2018年第11期）

表2:數(shù)值結(jié)果

從數(shù)值實(shí)驗(yàn)中可以看到所有的計(jì)算時間都在0.1秒內(nèi)完成,并且可以收斂到一個問題(1.2)的近似解.因此可以看出算法是可行的.

5 本文小結(jié)

本文主要求解了帶有稀疏約束的分裂可行問題.我們通過將稀疏分裂可行問題近似的轉(zhuǎn)化為目標(biāo)函數(shù)為凸函數(shù)的稀疏約束優(yōu)化問題,再設(shè)計(jì)了一種梯度投影算法來求解此問題,并且證明了此算法的收斂性.最后給出了一些數(shù)值例子,數(shù)值實(shí)驗(yàn)的結(jié)果表明本文的算法具有較強(qiáng)的可行性.