魏文龍,魏冬梅,黃志剛

(蘇州科技大學數(shù)理學院,江蘇蘇州 215009)

1 引言及主要結果

本文主要研究非齊次線性微分方程f00+Af0+Bf=F中方程解的Borel方向和非齊次項之間的關系.關于奇異方向中Borel方向的發(fā)展已經(jīng)有了較長的時間,本文所討論的是精確級Borel方向的某些性質(zhì),作為對Borel方向的一個發(fā)展和補充,同時給出了亞純函數(shù)的精確級Borel方向和零點聚值線的部分性質(zhì).假設讀者熟悉亞純函數(shù)Nevanlinna理論的基本定義,定理和標準符號[1?4].為了敘述方便,給出以下定義.

定義1.1設0≤α<β<2π,復平面上的角域和扇形域分別定義為

設f(z)是復平面C上的亞純函數(shù),對于任意給定的ε>0,亞純函數(shù)f(z)在角域?(θ? ε,θ+ε)上的零點收斂指數(shù) λθ,?(f)定義為

其中 bv=|bv|eiβv(v=1,2,···) 是 f(z) 在角域 ?(α,β)內(nèi)極點 (不計重數(shù)),Sα,β(r,f)稱為f(z)在角域中Nevanlinna特征函數(shù),Cα,β(r,f)稱為f(z)在角域上極點的計數(shù)函數(shù)(重級極點按重數(shù)計算),則亞純函數(shù)在角域上的級定義為

定義1.3設f(z)是無限級亞純函數(shù),實函數(shù)ρ(r)稱為f(z)的熊慶來無限級,如果ρ(r)滿足如下性質(zhì):

上述定義最先為熊慶來所介紹,關于ρ(r)的存在性,莊圻泰給出了其簡單的證明.

定義1.4射線J:argz=θ稱為f(z)的1條ρ(r)級Borel方向,如果

?ε>0和任意的復數(shù)a∈C∞成立,最多除去2個例外的a值.

射線J:argz=θ稱為f(z)的ρ(r)級零點聚值線,如果

其中n(r,?(θ?ε,θ+ε),f=a)表示f(z)在扇形域?(θ,ε,r)={z:θ?ε

在文獻[5]中,伍勝健首次研究了二階微分方程的解的零點的幅角分布,發(fā)現(xiàn)了方程解的乘積的零點聚值線和Borel方向之間的聯(lián)系,給出了如下的結論.

定理A 設A(z)是一個級為ρ<∞的超越整函數(shù)和f1,f2為方程f00+A(z)f=0的兩個線性無關解,記E=f1f2.再設E的零點收斂指數(shù)λ(E)=∞,則射線argz=θ是E的一條∞級Borel方向的充分必要條件是λθ(E)=∞.

定理A中對于Borel方向的級的估計還是比較粗糙的,吳昭君就針對定理A給出了猜想,將定理A中的無窮級換成熊慶來的無限級,是否能得到相類似的結論?在文獻[6]中,吳昭君給出了證明,即定理B.

定理B 設A(z)是級為ρ<∞的超越整函數(shù),f1,f2為方程f00+A(z)f=0的兩個線性無關解.令E=f1f2,再設λ(E)=∞,ρ(r)是E的一個無限級,則射線argz=θ是E的一個ρ(r)級Borel方向的充分必要條件是

從定理A到定理B,不難看出,定理B對Borel方向的估計比定理A要精確得多,使得結論得到了進一步的完善,這提供了一個思路.在文獻[10]中,黃志剛、王珺研究了二階非齊次線性微分方程的非齊次項和方程解的Borel方向之間的關系,得到了定理C.

定理C 假設A(z)和B(z)是有限級的整函數(shù),F(z)是無窮級的超越整函數(shù),并且滿足max{σ(A),σ(B)}<σ(F)=∞,如果argz=θ是F(z)的一條Borel方向,則argz=θ也是方程f00+Af0+Bf=F的任意非平凡解的一條Borel方向.

在定理B的啟發(fā)之下,同時在定理C的基礎之上,研究非齊次方程解的精確級Borel方向和方程非齊次項之間的關系,得到定理1.

定理1 假設A(z)和B(z)是有限級的整函數(shù),F(z)是無窮級的超越整函數(shù),如果argz=θ是F(z)的一條ρ(r)級Borel方向,則argz=θ也是方程f00+Af0+Bf=F的任意非平凡解的一條ρ(r)級Borel方向.

在文獻[8]中,Rossi和Wang討論了方程f00+A(z)f=0整函數(shù)解與其導數(shù)零點之間的關系,得到

定理D 假設A(z)是一個有限級的超越整函數(shù),當argz=θ是復平面上任意一條射線,于是方程f00+Af=0的任意解有λθ(f)=∞當且僅當λθ(f0)=∞.

結合定理D的結論,不難得出一個問題,方程f00+Af=0的任意整函數(shù)解的精確級零點聚值線和方程解導數(shù)的零點聚值線是否有這樣的關系?經(jīng)過討論,得到了肯定的回答.

定理2 設B(z)為有限級的超越整函數(shù),argz=θ是從原點出發(fā)的一條射線.則對方程f00+B(z)f=0的任意非平凡解f,都有argz=θ是f的精確級零點聚值線當且僅當argz=θ是f0的精確級零點聚值線.

此外,我們知道定理1的結論是對定理C的改進,使得對Borel方向的增長級的估計更加精確.關于定理1的證明將主要利用定理3的結論以及定理3的推論,從新的角度來研究方程解的性質(zhì).

定理3 令h(z)=f(z)g(z),其中f(z)和g(z)都是復平面上的亞純函數(shù).設ρ(r)是h(z)的一個無限級,射線argz=θ是h(z)的一條ρ(r)級Borel方向,則射線argz=θ一定是f(z)或者g(z)的一條ρ(r)級Borel方向.

由定理3的結論,可以給出以下4個推論.

推論1 令h(z)=f(z)g(z),其中f(z)和h(z)都是復平面上的亞純函數(shù).設ρ(r)是h(z)的一個無限級,并且射線argz=θ是f(z)的一條ρ(r)級但不是g(z)的ρ(r)級Borel方向,則argz=θ必是h(z)的一條ρ(r)級Borel方向.

推論2是推論1的推廣.推論1是兩個亞純函數(shù)的乘積,推論2是多個亞純函數(shù)的乘積所對應的結論.

推論 2 令h(z)=f1(z)f2(z)···fn(z),其中fi(z)(i=1,2,···,n)都是復平面上的亞純函數(shù).設ρ(r)是h(z)的一個無限級,并且射線argz=θ是某一個fm(z)的一條ρ(r)級Borel方向但不是fn(z)(n 6=m)的ρ(r)級Borel方向,則argz=θ必是h(z)的一條ρ(r)級Borel方向.

推論3主要討論兩個亞純函數(shù)之和關于精確級Borel方向的結論.

推論3 令h(z)=f(z)+g(z),其中f(z)和g(z)都是復平面上的亞純函數(shù).設ρ(r)是h(z)的一個無限級,并且射線argz=θ是h(z)的一條ρ(r)級Borel方向,則argz=θ必為f(z)或者g(z)的一條ρ(r)級Borel方向.

下面推論4是推論3的推廣,推論4將直接用于定理1的證明中.

推論 4 令 h(z)=f1(z)+f2(z)+···+fn(z),其中fi(z)(i=1,2,···,n)都是復平面上的亞純函數(shù).設ρ(r)是h(z)的一個無限級,并且argz=θ為h(z)的一條ρ(r)級Borel方向,則argz=θ必為某一個fi(z)的一條ρ(r)級Borel方向.

2 引理

為了定理的證明,需要下面的引理.

引理2.1[1](i)設f(z)為角域?(α,β)(0<β?α≤2π)上的非常數(shù)亞純函數(shù),則?a∈C,有

其中當r→∞ 時,ε(r,a)=O(1).

(ii)對于任意的r

引理2.2[1]設f(z)為角域?(α,β)(0<β?α≤2π)上的非常數(shù)亞純函數(shù),則?aj∈C∞,j=1,2,···,q,有

引理2.3[9]設f(z)是復平面上的一個無限級亞純函數(shù),ρ(r)是f(z)的一個級,射線L:argz=θ0是函數(shù)f(z)的ρ(r)級Borel方向的充分必要條件是對于任意的

引理2.4[10]設f(z)是復平面上的一個亞純函數(shù),在角域?(α,β)(0<β?α≤2π)內(nèi),f(z)和具有相同的Borel方向.

引理2.5[8]設f(z)是復平面上的一個亞純函數(shù),在角域?(α,β)(0<β?α≤2π)內(nèi),a為任意一個有窮復數(shù),則函數(shù)f(z)和f(z)+a必有相同的Borel方向.

引理2.6[11]設f(z)是無限級亞純函數(shù),其型函數(shù)為U(r)=rρ(r),則射線argz=θ0是f(z)的ρ(r)級Borel方向的充分必要條件是:射線argz=θ0是它的導數(shù)f0(z)的ρ(r)級Borel方向.

3 定理及推論證明

在給出定理1的證明之前,先給出定理3及其推論的證明.

定理3的證明 假設該結論不成立,即argz=θ同時不是f(z)和g(z)的ρ(r)級Borel方向.根據(jù)定義1.4,分別存在三個判別的復數(shù)a1,a2,a3和b1,b2,b3和任意的ε0>0,使得

其中j=1,2,3.對于f(z)不失一般性,令a1=0,a2=1,a3=∞,否則只需要考慮

對于(3.1)式,對于充分大的r,有

即

注意到不等式

結合(3.3)式和(3.4)式,可以得出

運用引理2.2并結合(3.5)式,于是有

再運用精確級的定義,并結合(3.6)式可以得出

同理可得

由于h(z)=f(z)g(z),結合(3.7)式和(3.8)式所以得出

另一方面,根據(jù)引理3的結論,因為h(z)是復平面上無限級的亞純函數(shù),且射線L:argz=θ是函數(shù)h(z)的ρ(r)級Borel方向,所以得出

于是(3.9)式與(3.10)式矛盾,于是定理3得證.

推論1的證明 因為h(z)=f(z)g(z),將其變形為f(z)=h(z).因為argz=θ是f(z)但不是g(z)的ρ(r)級Borel方向,由定理3可得argz= θ是h(z)或者的一條ρ(r)級Borel方向.根據(jù)引理2.4得知,g(z)和具有相同的Borel方向,則argz=θ同樣不是的ρ(r)級Borel方向.所以argz=θ必定是h(z)的一條ρ(r)級Borel方向.推論1完證.

推論2的證明 因為h(z)=f1(z)f2(z)···fn(z),將其變形為

因為argz=θ是fm(z)但不是fn(z)(n 6=m)的ρ(r)級Borel方向,由定理3可得argz=θ是h(z)或者(n 6=m)的一條ρ(r)級Borel方向.根據(jù)引理2.4得知,fn(z)和具有相同的Borel方向,則argz=θ同樣不是的ρ(r)級Borel方向.所以argz=θ必是h(z)的一條ρ(r)級Borel方向.推論2完證.

推論3的證明 因為h(z)=f(z)+g(z),于是可以變形為h(z)=f(z)(1+).因為argz=θ是h(z)的一條ρ(r)級Borel方向,根據(jù)定理3的結論,于是有argz=θ一定是f(z)或者1+的ρ(r)級Borel方向.如果argz=θ是f(z)的ρ(r)級Borel方向,則推論3得證.如果argz=θ不是f(z)的ρ(r)級Borel方向,則一定是1+的 ρ(r)級Borel方向.根據(jù)引理2.5,則argz=θ一定是的ρ(r)級Borel方向.再次運用定理3的結論,則argz=θ一定是g(z)或者的ρ(r)級Borel方向.由于前面的假設,argz=θ不是f(z)的ρ(r)級Borel方向,則根據(jù)引理2.4可知,argz=θ也不是的ρ(r)級Borel方向.于是argz=θ一定是g(z)的ρ(r)級Borel方向.于是推論3完證.

推論 4 的證明 將h(z)=f1(z)+f2(z)+······+fn(z)變形為

根據(jù)定理3的結論,于是有argz=θ一定是f1(z)或者的ρ(r)級Borel方向.如果argz=θ是f1(z)的ρ(r)級Borel方向,則推論4得證.否則argz=θ一定是的ρ(r)級Borel方向.根據(jù)引理2.5,則argz=θ一定是的ρ(r)級Borel方向.將變形為

根據(jù)假設argz=θ不是f1(z)的ρ(r)級Borel方向,則利用引理2.4,argz=θ同樣不是的ρ(r)級Borel方向,則argz=θ是f2(z)+f3(z)+···+fn(z)的ρ(r)級Borel方向.后半部分的證明類似前面,反復利用引理2.4、引理2.5和定理3的結論,并結合方程變形,則推論4完證.

定理1的證明 對于方程f00+A(z)f0+B(z)f=F(z),因為A(z)和B(z)都是有限級整函數(shù),所以都沒有ρ(r)級Borel方向.因為argz=θ是F(z)的ρ(r)級Borel方向,則根據(jù)推論4可得,argz=θ一定是f00(z)或者A(z)f0(z)或者B(z)f(z)的ρ(r)級Borel方向.現(xiàn)將定理證明分為3種情形.

情形1 如果argz=θ是f00(z)的ρ(r)級Borel方向,則根據(jù)引理2.6可得,argz=θ是f(z)的ρ(r)級Borel方向.

情形2 如果argz=θ是A(z)f0(z)的ρ(r)級Borel方向,則根據(jù)定理3的結論可得,argz= θ一定是A(z)或者f0(z)的ρ(r)級Borel方向.因為A(z)沒有ρ(r)級Borel方向,所以argz=θ是f0(z)的ρ(r)級Borel方向,再根據(jù)引理6可得,argz=θ是f(z)的ρ(r)級Borel方向.

情形3 如果argz=θ是B(z)f(z)的ρ(r)級Borel方向,則根據(jù)定理3的結論可得,argz=θ一定是B(z)或者f(z)的ρ(r)級Borel方向.因為B(z)沒有ρ(r)級Borel方向,所以argz=θ是f(z)的ρ(r)級Borel方向.

綜上所述,非齊次項F(z)的ρ(r)級Borel方向一定是方程解f(z)的ρ(r)級Borel方向,則定理1完證.

定理2的證明設f(z)為方程f00+B(z)f=0的非平凡解,可以將方程變形為

類似文獻[12],對(3.11)式運用Wiman-Valiron理論,于是得到

因此對于足夠大的r,有

和

除去可能的一個有限測度集外成立.

由Dα,β(r,f)的定義,根據(jù)上述不等式可得

在除去可能的一個有限測度集外成立.因此,類似于上述的證明可得

在除去可能的一個有限測度集外成立.結合(3.11)式,有

另一方面,將方程f00+B(z)f=0變形為

則可以得到

結合定義1.2和引理2.1的(i)和上式可得

由于f的零點是單的,則

再由定義1.2、(3.14)式、(3.17)式和(3.18)式,考慮

和

根據(jù)引理2.1的(i)和(3.19)–(3.20)式,有

根據(jù)不等式

并且知道

結合定義1.4可得

即函數(shù)f(z)和f0(z)具有相同的精確級為ρ(r),于是結合(3.21)–(3.23)式以及定義1.4,則有

故有argz=θ是f的精確級零點聚值線當且僅當argz=θ是f0的精確級零點聚值線.