肖鴻民,劉月娣,劉愛玲

(西北師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,甘肅蘭州 730070)

1 引言

近年來,根據(jù)保險(xiǎn)公司的實(shí)際運(yùn)行狀況,很多學(xué)者在經(jīng)典保險(xiǎn)風(fēng)險(xiǎn)模型[1?2]的基礎(chǔ)上提出了許多改進(jìn)模型.其中Water和Papartriandafylou[3]首次提出了帶延遲索賠的風(fēng)險(xiǎn)模型,它描述了保險(xiǎn)公司會(huì)常常遇到的一種情況:在主索賠發(fā)生后的某個(gè)不定時(shí)間還會(huì)產(chǎn)生由此引起的附加索賠,即延遲索賠.諸多學(xué)者對(duì)該模型產(chǎn)生了濃厚的興趣.Yuen和Guo[4]研究了一類帶有復(fù)合二項(xiàng)延遲風(fēng)險(xiǎn)模型的有限時(shí)間破產(chǎn)概率;Yuen[5]等運(yùn)用鞅的方法研究了連續(xù)時(shí)間的絕對(duì)破產(chǎn)概率;肖鴻民等[6]研究了重尾分布L∩D下延遲索賠風(fēng)險(xiǎn)模型的精細(xì)大偏差;肖鴻民等[7]研究了相依賠付帶投資的延遲風(fēng)險(xiǎn)模型的極限性質(zhì).

隨著金融市場(chǎng)的迅速發(fā)展,保險(xiǎn)公司的保費(fèi)收入不斷增加,累積的保險(xiǎn)資金越來越多,如何保值增值也是保險(xiǎn)公司抵抗風(fēng)險(xiǎn)的主要工作.通常運(yùn)作資金的最佳途徑就是投資,但是如何選擇投資策略又成為他們目前所面臨的重要問題.若選擇的好,投資可以給保險(xiǎn)公司帶來豐厚的收益.若選擇不好,不但不能從投資中獲得收益,還可能加快公司破產(chǎn)的步伐.關(guān)于保險(xiǎn)公司如何選擇投資策略的問題,文獻(xiàn)[8]研究了最優(yōu)比例再保險(xiǎn)問題;文獻(xiàn)[9]研究了當(dāng)索賠遵循布朗運(yùn)動(dòng)時(shí)的最小破產(chǎn)概率;文獻(xiàn)[10]研究了擴(kuò)散逼近模型下絕對(duì)破產(chǎn)概率最小化的投資與再保險(xiǎn)問題;文獻(xiàn)[11]研究了相依雙險(xiǎn)種模型的擴(kuò)散逼近及其最優(yōu)再保險(xiǎn)問題.最近,文獻(xiàn)[12]又研究了相依多險(xiǎn)種模型的擴(kuò)散逼近與最優(yōu)投資.

基于上述背景,但不同的是本文針對(duì)延遲索賠風(fēng)險(xiǎn)模型,討論了最小化破產(chǎn)概率下的最優(yōu)投資策略,這一結(jié)果豐富了延遲索賠風(fēng)險(xiǎn)模型的研究并對(duì)保險(xiǎn)公司的風(fēng)險(xiǎn)管理控制有重要的參考價(jià)值.

本文結(jié)構(gòu)如下:第二部分介紹模型及其擴(kuò)散逼近結(jié)果;第三部分運(yùn)用隨機(jī)控制理論,通過求解相應(yīng)的HJB方程得到了最優(yōu)投資策略的顯式表達(dá)式.

2 模型分析與擴(kuò)散逼近

假定保險(xiǎn)公司的初始資金為u(u≥0),單位時(shí)間收取的保費(fèi)為c(c>0);第i次主索賠的時(shí)刻為Si且主索賠額{Xi,i=1,2,···}獨(dú)立同分布于X,它們的共同分布為F,其一階矩和二階矩存在,分別記為和;延遲索賠額{Yi,i=1,2,···}獨(dú)立同分布于Y,它們的共同分布為G,其一階矩和二階矩存在,分別記為和;延遲賠付間隔 {Ti,i=1,2,···}獨(dú)立同分布于T,它們的共同分布為H.

延遲索賠計(jì)數(shù)過程與主索賠計(jì)數(shù)過程遵循相依結(jié)構(gòu)

于是累積索賠額為

設(shè)主索賠計(jì)數(shù)過程N(yùn)1(t)是強(qiáng)度為λ的齊次Poisson過程,索賠額X和Y相互獨(dú)立,并獨(dú)立于索賠計(jì)數(shù)過程.據(jù)此定義保險(xiǎn)公司的盈余過程為

由假設(shè)EN1(t)=λt,根據(jù)齊次Poisson過程的性質(zhì),可得λtp(t),其中p(t)=p{U+T≤t},U為(0,1)上的均勻分布.

下面進(jìn)一步討論兩種索賠過程及索賠額之間的關(guān)系,為擴(kuò)散逼近結(jié)果做準(zhǔn)備.

進(jìn)而計(jì)算得到索賠計(jì)數(shù)過程N(yùn)1(t)與N2(t)的相關(guān)系數(shù)為

又有

從而主索賠額與延遲索賠額過程的相關(guān)系數(shù)為

首先給出延遲索賠風(fēng)險(xiǎn)模型的擴(kuò)散逼近結(jié)果.

定理2.1延遲索賠風(fēng)險(xiǎn)模型Ut可逼近為擴(kuò)散過程

其中Bt表示標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng).

下面的引理對(duì)證明上述擴(kuò)散逼近結(jié)果是必要的.

引理 2.2[11](鞅中心極限定理)對(duì)n=1,2,···,記R表示實(shí)數(shù)集,為濾子空間,DRm[0,∞)為賦予了Skorohod拓?fù)溆疫B左極函數(shù)空間.令Rn(t)為樣本軌道在DRm[0,∞)上的-局部鞅,滿足Rn(0)=0,E[Rn(t)]=0,An=(())為m×m的對(duì)稱矩陣值過程,且 An(t)?An(s)對(duì) t>s≥ 0非負(fù)定.假定對(duì)任意的 i,j=1,2,···,m,有,且對(duì)每個(gè)T>0有.如果n→ ∞ 時(shí),對(duì)每個(gè) t>0和 i,j=1,2,···,m, 有(t)依概率收斂到σij(t),則Rn弱收斂到R,其中R為M-維布朗運(yùn)動(dòng),漂移向量為 (0,0,···,0)1×m,協(xié)方差陣為 (σij(t))m×m.

其中

證 對(duì)n=1,2,···,下面構(gòu)造隨機(jī)過程序列

即An(t)?An(s)非負(fù)定.

對(duì)任意的M>0,由λt連續(xù),則有

和

根據(jù)上面的引理,給出定理2.1的證明.

證 由引理2.2知,Ut可逼近為

再根據(jù)引理2.3知

代入上式即知定理2.1成立.

3 帶延遲索賠風(fēng)險(xiǎn)投資模型的最優(yōu)投資策略

在承保風(fēng)險(xiǎn)過程中,利用擴(kuò)散逼近是為了更好的研究最優(yōu)決策問題.本文考慮最小化破產(chǎn)概率下的盈余投資策略選擇問題.保險(xiǎn)公司為了獲得更多收益,一般會(huì)將盈余投資于風(fēng)險(xiǎn)市場(chǎng)和無風(fēng)險(xiǎn)市場(chǎng).假定保險(xiǎn)人將部分盈余投資于股票市場(chǎng),它的價(jià)格過程Pt服從幾何布朗運(yùn)動(dòng)dPt=aPtdt+bPtdWt,t≥0,其中a,b∈R為常數(shù),a為股票瞬時(shí)條件期望收益率,b為股票瞬時(shí)條件標(biāo)準(zhǔn)差,Wt為標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)且獨(dú)立于Bt.

將另一部分投資于債券市場(chǎng),它的價(jià)格過程滿足微分方程dQt=rQtdt,t≥0,其中r為無風(fēng)險(xiǎn)利率.

記保險(xiǎn)人在時(shí)刻t將部分盈余πt投資到風(fēng)險(xiǎn)市場(chǎng),選定πt后的總盈余記為,則無風(fēng)險(xiǎn)投資的盈余為.則在原盈余的基礎(chǔ)上嵌入投資策略πt后的盈余過程滿足下面的隨機(jī)微分方程

其中Wt與Bt相互獨(dú)立.

現(xiàn)在的目標(biāo)是要在所有可行策略中尋找最優(yōu)策略π?使得對(duì)某個(gè)t>0|對(duì)某個(gè),即破產(chǎn)概率達(dá)到最小,記為

為解決優(yōu)化問題,采用隨機(jī)馬爾可夫控制理論和HJB方程,如果最優(yōu)值函數(shù)ψ(u)二階連續(xù)可微,則ψ(u)必然滿足下面HJB方程

下述尋求HJB方程(3.3)的二次連續(xù)可微解.根據(jù)文獻(xiàn)[14],最優(yōu)風(fēng)險(xiǎn)投資量即為最大化盈余過程漂移項(xiàng)與波動(dòng)項(xiàng)平方的商的對(duì)應(yīng)值.也就是說,只需求解π使得

達(dá)到最大.據(jù)此,令 φ0(π)=0,可得

為求解最優(yōu)值函數(shù)ψ(u),先假定ψ(u)為凸函數(shù),滿足ψ00(u)>0.由此,根據(jù)最優(yōu)解π?(u)應(yīng)滿足HJB方程(3.3)第一式且為唯一解,又得到

結(jié)合(3.4)式和(3.5)式解得

其中π?(v)由(3.4)式確定.據(jù)此,又進(jìn)一步可得

其中ψ0(0)可由邊界條件得到.

下面給出識(shí)別定理,說明由HJB方程(3.3)的二次可微解即得到優(yōu)化問題(3.2)的唯一解.

引理3.1[9]對(duì)任意的常數(shù)π∈R,定義二次可微算子Lπ如下:對(duì)任意的開集G?R+和h∈C2(G),定義函數(shù)Lπh:G→R形如

如果函數(shù)h:R+→[0,1]遞減,函數(shù)ψ:R+→R可行,且滿足

那么h即最小破產(chǎn)概率為ψ,π?即為最優(yōu)風(fēng)險(xiǎn)投資量.

定理3.2 在延遲索賠風(fēng)險(xiǎn)模型的擴(kuò)散逼近形式(2.1)下,帶投資的優(yōu)化問題(3.1)的最小破產(chǎn)概率為

最優(yōu)投資策略π?(u)為

其中

由引理3.1知,只要ψ(u)滿足(A1)–(A3)三個(gè)條件,即得ψ(u)為最小破產(chǎn)概率,π?為最優(yōu)投資策略.下面逐步進(jìn)行證明.

由初等函數(shù)h(x)關(guān)于x連續(xù),則函數(shù)g(v)關(guān)于v連續(xù),從而關(guān)于u可微.進(jìn)一步,ψ(u)關(guān)于u可微且

另外,由于函數(shù)

則函數(shù)g(v)具有連續(xù)導(dǎo)函數(shù)且

因此函數(shù)g(v)關(guān)于v單調(diào)遞減,函數(shù)ψ(u)具有二階連續(xù)導(dǎo)函數(shù)且

即ψ∈C2(R+)且為凸函數(shù).同時(shí),由函數(shù)g的單調(diào)性有g(shù)(u)≤g(0)=0,u≥0,所以

即ψ0在R上有上界.即得條件(A1)滿足.對(duì)任意的π∈R,由函數(shù)Lπ:G→R的定義知

將此式看作是π的一元二次函數(shù),利用關(guān)系式ψ00=ψ0g0,經(jīng)計(jì)算判別式為零.又因?yàn)?0,則對(duì)任意的π∈R,有Lπψ≥0,等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)

將ψ00=ψ0g0代入上式,經(jīng)過計(jì)算可得π=π?(v).因此條件(A2)成立.由ψ(u)的表達(dá)式得條件(A3)顯然成立.綜上所述,定理3.2證畢.

注 定理3.2表明,在最小化破產(chǎn)概率的優(yōu)化準(zhǔn)則下,最優(yōu)投資策略和最小破產(chǎn)概率的顯式表達(dá)式由索賠額和風(fēng)險(xiǎn)投資的參數(shù)決定.對(duì)同一模型之前只是進(jìn)行了常數(shù)比例的投資并得到了漸進(jìn)破產(chǎn)概率.而本文進(jìn)行了非常數(shù)比例的投資,然后通過隨機(jī)微分方程的求解得到最優(yōu)投資策略.這一結(jié)果豐富了延遲索賠風(fēng)險(xiǎn)模型的研究并且更符合保險(xiǎn)實(shí)際.