安徽省樅陽(yáng)縣宏實(shí)中學(xué)(246700) 江保兵

在中學(xué)數(shù)學(xué)期刊雜志中如《數(shù)學(xué)通報(bào)》、《數(shù)學(xué)通訊》、《數(shù)學(xué)教學(xué)》等等每期都推出幾道的不等式試題, 不等式問(wèn)題專家安振平先生每天在新浪博客中都推出幾道新穎的不等式試題,這些精美的不等式,往往使人絞盡腦汁,但又讓人愛不釋手.在敬佩、感嘆之余,人們心中往往產(chǎn)生一個(gè)疑惑: 這些不等式是怎么想到的? 可有什么命制試題的方法?筆者發(fā)現(xiàn),無(wú)論是期刊上的征解試題,還是安振平先生博客中的不等式試題,有幾個(gè)重要的不等式在試題命制時(shí)使用的頻率較高,因此我們非常有必要對(duì)這些不等式有所了解.

1.琴生不等式

琴生不等式是丹麥數(shù)學(xué)家琴生在1905年至1906年間所建立的,具體內(nèi)容如下:

若函數(shù)f(x) 為區(qū)間I 上的凸函數(shù), 則對(duì)任意xi∈I,λi>0(i=1,2,··· ,n),且λ1+λ2+···+λn=1,則有:

若函數(shù)f(x)為區(qū)間I 上的凹函數(shù),上述不等式反向.

例1(《數(shù)學(xué)通訊》2018年第七期問(wèn)題征解361題) 已知正實(shí)數(shù)x,y,z 滿足x+y+z=1, 若不等式恒成立,求M 的最小值.

解構(gòu)造函數(shù):即為定義域上的凹函數(shù),由琴生不等式:

所以M 的最小值為1.

例2(《數(shù)學(xué)通訊》2018年第七期問(wèn)題征解364 題)已知正數(shù)ai(i=1,2,··· ,n,2n ∈N?)滿足a1a2···an=1,求證:

證明不妨設(shè)a1a2···an,則:由排序原理:

其中最后一步應(yīng)用了均值不等式:

下面不等式的命制方法也是根據(jù)琴生不等式來(lái)命制的,讀者不妨體會(huì)一下.

(1) (安振平新浪博客不等式問(wèn)題4499 題) 設(shè)a,b,c ∈R+且a+b+c=1,求證:

2.嵌入不等式

首先介紹一下嵌入不等式: 設(shè)A,B,C 為任意三角形的三個(gè)內(nèi)角, x,y,z 為任意實(shí)數(shù).則有: x2+y2+z22xy cos C+2yz cos A+2zx cos B.

簡(jiǎn)證x2+y2+z2?(2xy cos C+2yz cos A+2zx cos B)=(x?y cos C?z cos B)2+(y sin C?z sin B)20.

例3( 2018年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽安徽省初賽第11題)(1) 求證: 對(duì)于任意實(shí)數(shù)x,y,z,都有: x2+2y2 +3z2

簡(jiǎn)析從試題的結(jié)構(gòu),我們一眼就能看出來(lái),這道試題是利用嵌入不等式來(lái)命制的.解題時(shí)先從第二問(wèn)入手,即解決問(wèn)題的一般情形: 即是否存在實(shí)數(shù)使得對(duì)于任意實(shí)數(shù)x,y,z,x2+2y2+3z2k(xy+yz+zx)恒成立? 結(jié)合嵌入不等式:

其中A,B,C 為任意三角形的三個(gè)內(nèi)角.所以有:

又由三角形恒等式:得: k3+6k2?24=0 且由得k2?8 < 0.構(gòu)造存在實(shí)數(shù)使得k2?8<0,k3+6k2?24=0,從而結(jié)論成立.即存在實(shí)數(shù)使得對(duì)任意實(shí)數(shù)x,y,z,x2+2y2+3z2k(xy+yz+zx)恒成立.

例4(安振平不等式問(wèn)題4528), 設(shè)正實(shí)數(shù)x,y,z 滿足: xy+yz+zx+xyz=4, a,b,c 為任意實(shí)數(shù), 求證:a2x+b2y+c2zabxy+bcyz+cazx.

證明由條件得:

結(jié)合三角形恒等式:

故可設(shè):

其中A,B,C 為銳角三角形的三個(gè)內(nèi)角, 解得: x =

要證:

即證:

由嵌入不等式, 上式成立.所以: a2x+b2y+c2zabxy+bcyz+cazx.

下面不等式的命制方法也是根據(jù)嵌入不等式來(lái)命制的,讀者不妨體會(huì)一下.

(2) (安振平不等式問(wèn)題4529) 設(shè)正實(shí)數(shù)a,b,c 滿足: a2+b2+c2+abc=4, x,y,z 為任意實(shí)數(shù), 求證:ayz+bzx+cxyx2+y2+z2.

(3) (安振平不等式問(wèn)題4527)設(shè)a,b,c > 0,x,y,z > 0,a2yz+b2zx+c2xy+abcxyz4,求證:

3.舒爾不等式

這就是著名的舒爾不等式, 我們經(jīng)常所看到的是它的特殊形式, 即r=1 時(shí)的情形: x,y,z0, 則x(x?y)(x?z)+y(y?x)(y?z)+z(z?x)(z?y)0.

簡(jiǎn)證不妨設(shè)xyz.

舒爾不等式還有幾種常見的變式,證明的過(guò)程交給讀者.

變式一x3+y3+z3+3xyzx2(y+z)+y2(x+z)+z2(x+y).

變式二xyz(x+y?z)(x+z?y)(z+y?x).

變式三(x+y+z)3+9xyz4(xy+yz+zx)(x+y+z).

變式四?(x2+y2+z2).

變式五

例5(《數(shù)學(xué)通訊》2013年第1-2 期問(wèn)題征解124 題)設(shè)a,b,c > 0, abc=a+b+c+2, 求證: a+b+c

證明

由舒爾不等式: (a+b+c)3+9abc4(ab+bc+ca)(a+b+c),只需證: (a+b+c)2abc(a+b+c)3+9abc, 由abc =a+b+c+2,所以原不等式等價(jià)于:

例6(《數(shù)學(xué)通訊》2018年第7 期問(wèn)題征解354 題)已知a,b,c 為非負(fù)實(shí)數(shù),且ab+bc+ca=a+b+c>0,求證:

證明?a+b+c+5abc由舒爾不等式:

變形:

所以

下面不等式的命制方法也是根據(jù)舒爾不等式來(lái)命制的,讀者不妨體會(huì)一下.

(4) (安振平不等式問(wèn)題4477)已知a,b,c>0,求證: