廣東省廣州市增城區(qū)增城中學(511300) 鄧 城

一、問題的提出

在解析幾何問題中,經(jīng)常會出現(xiàn)方法有了,但卻難以計算下去的問題.不可否認有些解析幾何的題目計算量本身就比較大,但一般來說高考題和大部分省市的模擬題都是會控制純計算的難度的,出現(xiàn)計算不下去的原因主要是解題思路不夠合理、運算方法不夠優(yōu)化.而要提升學生的數(shù)學運算素養(yǎng)應(yīng)基于學生的基本活動經(jīng)驗,選擇有代表性的、難度適中的題目讓學生嘗試從多角度思考運算問題的優(yōu)化處理.下面筆者選取教學實踐中碰到的案例進行剖析,借此拋磚引玉.

二、案例的剖析

例1(2017年鄭州市模擬考試)已知雙曲線的左、右焦點分別為F1,F2,過F1作圓x2+y2=a2的切線分別交雙曲線的左、右兩支于點B、C,且|BC|=|CF2|,則雙曲線的漸近線方程為( )

A.y =±3x B.y =±2x

分析先來看看下面這種網(wǎng)上看到的參考解法.因為過F1作圓x2+y2=a2的切線分別交雙曲線的左、右兩支于點B、C, 且|BC|=|CF2|, 所以|BF1|=2a.設(shè)B(x,y),則利用三角形的相似可得所以所以代入雙曲線方程,整理可得所以雙曲線的漸近線方程為

這個方法看上去挺常規(guī)的,可以說前半部分求出B 點坐標的方法是非常簡捷的,而將B 點坐標帶入雙曲線方程進而確定a 與b 的關(guān)系似乎也是常見的方法.然而真正親自計算后卻發(fā)現(xiàn)非常復(fù)雜,很難算出答案來! 事實上將圓錐曲線上的點先用其它條件表示出來,然后代入曲線的方程,這種方法有時存在計算難度增加的風險,比如本題中B 點坐標已經(jīng)出現(xiàn)了較為復(fù)雜的分式形式,代入曲線方程時還要進行平方和除法等運算,導(dǎo)致出現(xiàn)高次方程,可以說是人為增加了計算難度.所以從優(yōu)化計算的角度出發(fā),應(yīng)盡量避免代入圓錐曲線方程.此時應(yīng)引導(dǎo)學生注意到: 將點代入曲線方程的本質(zhì)就是相當于使用了點在曲線上這個核心條件,那么其替代方案可以是使用圓錐曲線的第一定義或第二定義.

而應(yīng)用第一定義處理則有如下過程:

由|BF2|?|BF1|=2a 得2a=2a,化簡得4a2b2+4a4=16a2(a2+b2),4c4?8c2ab=12a2(a2+b2),或(舍去),此解法的計算量要比用第二定義的解法要大一些,但還是比原解法要靠譜些.

例2已知橢圓= 1(a > b > 0)經(jīng)過點一個焦點是F(0,?1).

(1) 求橢圓C 的方程.

(2) 設(shè)橢圓C 與y 軸的兩個交點為A1,A2(A1在A2上方),點P 在直線y=a2上,直線PA1,PA2分別與橢圓C交于M,N 兩點.試問: 當點P 在直線y=a2上運動時,直線MN 是否恒過定點Q? 證明你的結(jié)論.

分析本題的難點在于第二問.證明直線是否過定點問題屬于圓錐曲線中的經(jīng)典問題,并且往往有幾種解法,然而在不同的題目條件下,不同解法之間的難度是不一樣的,在教學中應(yīng)引導(dǎo)學生充分體會各種解法的適用性,學會根據(jù)具體條件選擇合適的解法.為了讓學生有更加深入的對比,可以先展示更為基礎(chǔ)卻又十分經(jīng)典的一道題.

題目已知拋物線C 的方程為y2=4x,過原點O 作兩條相互垂直的直線分別與拋物線C 交于A、B 兩點,試問直線AB 是否恒過一定點Q?

思路1先表達出A、B 兩點的坐標, 再表達出直線AB 的方程, 然后通過方程判斷直線AB 是否經(jīng)過一個定點.解答如下: 由題意可知直線OA、OB 的斜率存在, 設(shè)直線OA 的斜率為k, 則OB 的斜率為=kx,聯(lián)立解得同法解得B(4k2,?4k), 所以故可得直線AB 的方程為整理可得所以直線AB 恒經(jīng)過點Q(4,0).

思路2同上法解得同法解得B(4k2,?4k),接下來先縮小點Q 的范圍, 考慮到當k=1 時, A(4,4),B(4,?4), 直線AB 的方程為x=4, 若直線AB 恒過一定點Q, 則Q 點坐標可設(shè)為(4,m), 且kQA=kQB, 即得解得m=0,所以直線AB 恒經(jīng)過點Q(4,0).

思路3先表達出直線AB 的方程為x=my+c,然后利用已知條件尋找直線方程中參數(shù)的關(guān)系,從而證明AB 恒過一定點Q.設(shè)直線AB 的方程為x=my+c, A(x1,y1),B(x2,y2),聯(lián)立得y2?4my?4c=0,所以y1y2=?4c,x1x2=因為直線OA 與直線OB 相互垂直, 所以即有x1x2+y1y2=0,整理得c2?4c=0, 所以c=4, 所以直線AB 恒經(jīng)過點Q(4,0).

從上述三種思路的計算量來看, 思路3 的計算量最小,思路1 和思路2 的計算量稍微大些,但由于本題中涉及的圓錐曲線是方程形式比較簡單的拋物線, 而且條件OA⊥OB也比較簡單,所以在本題中這三種思路沒有難度上的本質(zhì)區(qū)別,只要能熟練應(yīng)用都可以.

回到例2,如果先表達直線MN 的方程為y=kx+n,由于尋找直線參數(shù)k 與n 的關(guān)系要借助聯(lián)立直線與橢圓后使用韋達定理,而x1x2與x1+x2的關(guān)系在本題中是不容易找到的,不妨讓學生先試下,然后再展示完整的解答過程:

圖1

解法1

(2) lMA1:因為P 在lMA1上,所以

lNA2:因為P 在lNA2上,所以

不難發(fā)現(xiàn),此法能夠做出來靠的是巧妙的變形技巧,對于大部分基礎(chǔ)一般的學生來說難以領(lǐng)悟和應(yīng)用,所以碰到難以直接找到x1、x2關(guān)系的題目不適宜選擇先表達目標直線方程再找參數(shù)關(guān)系的方法.

下面再展示網(wǎng)上提供的一種解法:

解法2直線MN 恒經(jīng)過定點Q(0,1).證明如下:

當直線MN 斜率不存在時,直線MN 即y 軸,通過點Q(0,1).當點P 不在y 軸上時,設(shè)M(x1,y1)、N(x2,y2),則直線PA1方程:直線PA2方程:聯(lián)立得(3+t2)x2+6tx=0,解得所以聯(lián)立得(27+t2)x2?18tx=0,解得所以所 以所以直線MN 恒經(jīng)過定點Q(0,1).

這種解法目標清晰,并且計算量較少,然而對于學生來說一定有個疑問: 怎么一開始就知道點Q 的坐標是(0,1)呢? 事實上這是本解法的關(guān)鍵之處,作為答案不給出來Q 點坐標的來由并沒有什么問題,因為后面確實證明了直線MN恒經(jīng)過這個Q 點,但在解題教學中,學生有了疑問就有了真正學習的可能,教師不應(yīng)急著展示自己的“厲害”,而應(yīng)設(shè)計好問題,讓學生自己先嘗試分析和討論.

師: 如果直線MN 恒經(jīng)過這個Q 點,能否縮小Q 點的范圍?

學生通過類比前面問題所涉及到的縮小點范圍的技巧, 不難發(fā)現(xiàn)當點P 移動到y(tǒng) 軸上時, 直線MN 即y 軸, 所以所過定點Q 必在y 軸上.不妨設(shè)Q(0,m), 同解法2 得由kQM=kQN得化簡得(36+4t2)(m?1)=0, 所以m=1, 所以直線MN 恒經(jīng)過定點Q(0,1).

從特殊情況縮小定點的可能位置,進而減少未知量,達到簡化運算的效果,這是教學中需要重點強調(diào)的思路和方法,應(yīng)盡量讓學生感悟這種基本活動經(jīng)驗.

另外,如果學生的學習基礎(chǔ)較好,還可以從更深層次的極點極線知識的角度讓學生嘗試探究下Q 點位置,激發(fā)學生對圓錐曲線規(guī)律性質(zhì)的好奇心和學習興趣.

例3已知橢圓A、B 是橢圓上的兩個點,且直線PA,PB 的斜率之積為求證:直線AB 恒過定點,并求出該定點的坐標.

圖2

分析此題雖然也是恒過定點問題,但認真分析條件卻可以發(fā)現(xiàn)有幾個不同,解題教學中應(yīng)充分讓學生對比發(fā)現(xiàn)差異所在.

師: 能否先縮小直線AB 恒過定點的位置范圍?

生: 由于P 的位置較為一般,且直線PA,PB 的斜率之積為也是一般性條件,難以通過特殊化方法縮小定點的位置范圍.

師: 先利用已知條件先把A、B 兩點的坐標表示出來如何?

生: 由于P 的坐標不夠特殊,通過聯(lián)立直線PA 的方程和橢圓方程求解A 點坐標的計算過程非常繁瑣(求B 的坐標同樣如此).

可見,此題不宜像例2 的解法2 一樣處理,注意到題目中的“直線PA,PB 的斜率之積為這個條件,可考慮采用例2 中解法1 的思路,將直線AB 的方程用y=kx+m表示出來,再借助斜率之積的條件尋找參數(shù)k 與m 的關(guān)系,進而確定直線所過定點.

解法1設(shè)直線AB 的方程為y=kx+m,代入橢圓方程,得(4k2+1)x2+8kmx+4m2?16=0,x1+x2=整理得(2k2+化簡得4k2?8km+3m2?配方得所以當時,直線AB 的方程y =kx+m 可化為直線AB 恒過定點當時,直線AB 的方程y =kx+m可化為直線AB 恒過定點此即為P 點,這種情況不合題意.綜上所述,直線AB 恒過定點

上述的解法目的明確,思路清晰,雖然計算量略大,但也在高考計算量范圍之內(nèi),那么能否進一步優(yōu)化計算方法? 事實上,在學生的接受能力許可的條件下,可以考慮提供齊次化處理方法:

設(shè)直線AB 的方程為

利用 ②式將 ①式齊次化,得

同除x′2得,

此時

三、案例的總結(jié)

從上面的幾個案例不難發(fā)現(xiàn),解析幾何中的運算問題不是純粹的代數(shù)運算問題,而是涉及到如何利用圓錐曲線中的幾何條件進行合理的轉(zhuǎn)化和表達的問題.例1 表明在利用點在圓錐曲線上這個條件時,不一定將點的坐標直接代入曲線的方程,而應(yīng)該評估下點的坐標的復(fù)雜程度,如果點的坐標已經(jīng)比較復(fù)雜時代入曲線的方程會導(dǎo)致運算更加復(fù)雜繁瑣,此時可以借助圓錐曲線的第一定義或第二定義.例2 和例3則表明優(yōu)化動直線過定點問題的運算應(yīng)從實際條件出發(fā),如果能夠?qū)⒑诵臈l件轉(zhuǎn)化為兩根之和和兩根之積的條件,則可以先設(shè)出動直線的方程y =kx+m(或者是x=ky+m)再尋找k 與m 的關(guān)系,進而求出動直線所過的定點坐標.否則應(yīng)考慮將動直線與圓錐曲線的兩個交點表達出來,接著通過動直線的動態(tài)變化規(guī)律縮小定點的范圍,然后再利用三點共線的條件求出定點的具體坐標.