浙江省臺州市白云中學(318000) 胡艷

浙江省浙江師范大學(321004) 唐恒鈞

1、引言

概念是數(shù)學知識最基本的組成元素,因此概念教學在數(shù)學教學中有不容忽視的地位.受應試教育的影響,數(shù)學概念教學在實踐中未引起充分的重視,甚至存在一些片面的理解.比如,有觀點認為一些具體的表征形式就是概念本身,故學生只需記憶概念及其實例即可.還有一些課把概念的定義當做教學的起點,忽略了概念形成的自然性和隱藏在概念背后內(nèi)在邏輯.因此很多學生會覺得數(shù)學是封閉的,呆板的,從而影響了對數(shù)學學習的熱情.問題是驅(qū)動學生思考并主動建構(gòu)新知的重要手段.但課堂上常見的是教師所提出的問題零散而缺乏關(guān)聯(lián),學生的思考也往往缺乏脈絡,這影響了知識建構(gòu)的效果.“問題鏈”可以讓學生進行系列的、連續(xù)的思維活動,使學生的思維不斷攀升到新的高度.

“問題鏈”是從學生的認知心理和認知水平出發(fā),針對學生學習過程中可能產(chǎn)生的困惑,將教材知識轉(zhuǎn)化為層次鮮明且具有系統(tǒng)性的一連串的數(shù)學問題.問題鏈教學,一方面為學生提供思考的問題,在內(nèi)容上引導學生獲得較為深入的數(shù)學;另一方面問題與問題之間的跨度為學生多樣的思維與探索提供了可能性;強調(diào)知識、方法、視角等多層面的關(guān)聯(lián)是問題鏈教學的核心.[1]在概念教學中,以“問題鏈”為載體,學生經(jīng)歷“發(fā)現(xiàn)問題、解決問題,提出問題”的循環(huán)模式,并及時反思,逐步將概念精致化.本文以人教版“立方根”為例,嘗試用類比的思想實現(xiàn)知識、方法和視角上的關(guān)聯(lián),用問題鏈驅(qū)動學生自主探究、形成概念.

2、教學案例設計

2.1 立足數(shù)學現(xiàn)實,使概念發(fā)現(xiàn)更自然

問題1關(guān)于平方根我們研究了哪些內(nèi)容? 請你多角度地談談你對平方根的認識.

生1: 按照學習的順序分別是: 平方根的定義,開平方的定義,性質(zhì),符號表示,應用.

生2: 已知一個數(shù)x 的平方等于a, 那么x 叫a 的平方根,若x2=a,則

生3: 從方程的角度看x2=a,x 是二次方程的解也叫方程的根,因此x 叫a 的二次方根或平方根.

生5: 開平方和平方互為逆運算.

……

師: 大家其實從定義,方程,運算,符號等角度對平方根進行了回顧.

教學意圖問題1 作為起點性問題,使后續(xù)探究活動具有一定指向性.數(shù)學概念的學習是一個學生主體主動建構(gòu)的過程,而且在建構(gòu)的過程中,主體已有的認知結(jié)構(gòu)發(fā)揮了特別重要的作用.在此之前,學生對平方根的研究方法和研究思路已經(jīng)有了充分的體驗,為下面新知探究提供了一個明確的研究框架.

問題2我們在學完數(shù)的平方后,還學習了立方,以及乘方,體現(xiàn)了從特殊到一般的思想方法.類似地,在學完平方根后,你認為還可以研究什么?

生: 如果一個數(shù)x 的平方等于a,即x2= a,那么x 叫a的平方根,那假如已知一個數(shù)x 的立方、(四次方及n 次方)等于a,那么x 叫a 的?

追問: 你認為這樣的x 可以叫什么?

問題3根據(jù)平方根的學習經(jīng)驗,你認為可以怎樣研究立方根?

生: 類比平方根的學習,我們需要研立方根的定義,開立方的定義,性質(zhì),符號表示,應用.

教學意圖立方根在現(xiàn)實生活中存在大量的實例,人教版課本中也是采用具體實例引入,直接抽象出立方根的概念,引出課題.但從學情考慮,學生已經(jīng)掌握了算術(shù)平方根和平方根的概念,這為立方根的概念產(chǎn)生提供了充分的認知“固著點”;從數(shù)學知識內(nèi)部的聯(lián)系看,平方與開平方是互逆的運算,類比乘方學習中特殊到一般的研究思路,立方根的概念是由數(shù)學知識的發(fā)展需要產(chǎn)生的.基于這樣的知識起點設置問題鏈,驅(qū)動學生深層次地思考數(shù)學知識內(nèi)部的聯(lián)系,在舊知基礎(chǔ)上猜想可研究的新問題.同時類比平方根的研究過程,自然生成立方根的學習方式.在建立新舊概念之間聯(lián)系性的認識中,學生逐步積累類比的思維方法.

2.2 從過程到對象,使概念精致化

問題4由立方根的定義,你能做什么?

生1: 求一個數(shù)的立方根,比如2 的立方等于8,那么8的立方根就是2,比如3 的立方等于27,那么27 的立方根就是3.

追問: 生活中有立方根的例子嗎?

生2: 比如一個正方體形狀的水池體積為125cm3,水池的邊長是多少?

……

問題5同學們其實都是將定義中的x 和a 賦予了具體的數(shù)? 你們都舉了些正整數(shù),那這里的x 和a 能表示什么數(shù)?為什么?

生: x 能表示任何有理數(shù),a 也能表示任何有理數(shù),比如23=8,(-2)3=-8,03=0.

生: 類比平方根,也將數(shù)按符號分成正數(shù),0 和負數(shù)分別考慮.發(fā)現(xiàn)正數(shù)的立方根是正數(shù),負數(shù)的立方根是負數(shù),0 的立方根是0.

追問: 立方根和平方根的性質(zhì)一樣嗎? 是什么導致了它們(不)一樣?

生: 不一樣,平方有非負性,但立方的結(jié)果可以是任何數(shù).

問題623= 8,(-2)3= -8,03= 0,從左邊到右邊是什么運算? 那( )3=8,( )3 =27,從右邊到左邊又是什么運算? 這兩種運算有著什么樣的關(guān)系?

問題7立方根是對一個數(shù)進行開立方的結(jié)果,我們知道8 的立方根是2,那2 的立方根該如何表示呢? 你是怎么想到的?

生: 類比平方根,用符號表示.

3.2 會陰評估 目前，大多數(shù)文獻［9-12］在會陰評估方面均是進行經(jīng)驗總結(jié)，缺乏明確的評估體系，只是對臨床助產(chǎn)提出可行會陰保護方式，這將導致助產(chǎn)士無證可循，只能繼續(xù)憑借自己的工作經(jīng)驗采取相應會陰保護措施。確立分娩時產(chǎn)婦綜合評估指標及內(nèi)容，建立統(tǒng)一的評估體系不僅使得助產(chǎn)士有證可循，有據(jù)可依，也為正確地應用保護方式，合理地使用會陰切開術(shù)提供了依據(jù)，避免會陰嚴重撕裂的發(fā)生，且能夠促進助產(chǎn)士不斷地提高助產(chǎn)技術(shù)，提高產(chǎn)科質(zhì)量。

教學意圖數(shù)學概念具有過程與對象的兩重性,概念的過程和對象這兩個側(cè)面有著緊密的依賴關(guān)系,形成一個概念往往要經(jīng)歷由過程開始,然后轉(zhuǎn)變?yōu)閷ο蟮恼J知過程[2].本節(jié)課從數(shù)學現(xiàn)實出發(fā)得到立方根的概念.立方根的概念描述了一個動態(tài)的計算過程,通過問題驅(qū)動學生自己舉例,充分體驗由x3= a 來求立方根的程序性算法,也為自然地引出開立方定義做鋪墊.問題4 讓學生自己列舉立方根具體的數(shù)學例子和生活實例,實現(xiàn)概念的具體化、生活化.在問題7中,由于2 的立方根無法用已有的數(shù)表示,產(chǎn)生認知沖突,引出立方根符號.學生只有掌握了實物、文字、數(shù)學符號等多種表征方式來理解立方根,才算把新概念與已有認知結(jié)構(gòu)中的知識建立起實質(zhì)性聯(lián)系.比如立方根概念中, 能明白“已知x3=a,求x 的值”,“求a 的立方根”,和“已知一個正方體的包裝盒體積是a,求正方體的邊長”這些問題之間的關(guān)聯(lián),這種關(guān)聯(lián)就是實質(zhì)性關(guān)聯(lián),從而使概念理解逐步精細、豐滿.

問題8請你類比平方根的符號,思考下列式子的意義并寫出結(jié)果,并說一說這里的作用:

生: 可以,只不過這個結(jié)果沒有化簡而已.

教學意圖這一符號具有雙重作用,既可以表示運算,又可以表示結(jié)果(數(shù)).而學生更習慣于它的“操作性”,總希望通過運算得到一個“確定”的結(jié)果,比如的結(jié)果2這個數(shù)對他們來說更熟悉,更確定.因此對于這一符號的理解困難主要是沒有實施相關(guān)運算的情況下,將看成一個結(jié)果或者說是一個真正的數(shù).由于這一性質(zhì)的抽象性,教師設計了三個層層遞進的問題,引導學生思考和中符號的區(qū)別和聯(lián)系,體悟這一符號的雙重作用.只有習慣將立方根看成相對獨立的數(shù)學對象,我們才能對概念的應用才從知覺水平逐步提升到思維水平.

2.3 反思提升,使概念結(jié)構(gòu)化

問題9(1)請你從不同的角度談談對“立方根”的理解.(2)請你說說平方根和立方根的區(qū)別和聯(lián)系.(3)學習了平方根,立方根后,你還想研究什么? 可以怎么研究?

圖1

教學意圖三個問題,層層遞進,驅(qū)動學生思維的發(fā)散和求異,引導學生有效反思總結(jié).在知識上,學生加深了對于立方根和平方根的理解,在方法上,體會到一般化和類比的思想,在視角上,理清了這一類方根的基本研究套路,真正實現(xiàn)概念教學由知識向思維的過渡.第一個問題引導學生對本節(jié)課知識的進行回顧,類比平方根,從定義,方程,運算,符號等多角度地理解立方根的概念,將零散的知識及時整合.平方根和立方根是奇次方根和偶次方根的典型代表,通過第二問題將立方根和平方根概念進行橫向比較,一方面與已有的概念建立廣泛的聯(lián)系,擴展對新概念的理解;另一方面,學生在解決當下的問題后,還能由此提出新的問題(即第三個問題),并用類似的數(shù)學方法和活動經(jīng)驗去解決,形成自己的經(jīng)驗系統(tǒng)(如圖1),實現(xiàn)概念的擴展和應用.

3、若干反思

3.1 立足現(xiàn)實,自然引出概念

章建躍先生曾指出,對“從現(xiàn)實引入”的更全面認識,應從數(shù)學知識的發(fā)生發(fā)展過程需要來考慮,這個“現(xiàn)實”既可以是“生活的現(xiàn)實”,也可以是“數(shù)學的現(xiàn)實”.[3]生活現(xiàn)實往往從一些實際情境引入,再抽象出數(shù)學對象,而數(shù)學現(xiàn)實則是在數(shù)學知識發(fā)展過程中自然而然提出的問題.當然,我們應立足學生的最近發(fā)展區(qū)來選擇合適的方法,以便“跳一跳能摘到桃”.上述案例的引入中,我們選擇基于“數(shù)學現(xiàn)實”,將新舊概念的聯(lián)系點設計成問題鏈,引導學生建立起新舊知識間的聯(lián)系,使舊知識有延伸的活力、新知識有生長的根基[4].

3.2 類比舊知,自主建構(gòu)概念

建構(gòu)主義學習理論中的“以問題為中心”的探究性學習,就是學習者通過發(fā)現(xiàn)問題和解決問題而建構(gòu)知識的過程.而問題鏈是一連串具有脈絡的問題,學生需按照“發(fā)現(xiàn)問題—解決問題”這個模式循環(huán)往復的進行知識建構(gòu),旨在將課本上靜態(tài)的知識轉(zhuǎn)化為動態(tài)的思維活動.每個問題的設計不流于形式,而是實實在在地引發(fā)學習認知沖突、產(chǎn)生思維碰撞.立方根概念的建構(gòu)過程,主要利用類比和一般化的思想,在知識、方法和視角的關(guān)聯(lián)基礎(chǔ)上來設計問題鏈.知識上,兩者的定義,開立方和開平方的運算,符號表征等都是通過問題鏈類比得到;方法上,兩者都采用“觀察,舉例,歸納,總結(jié)”等,設置了探究型的問題鏈.如問題8,推動學生多層次的反復思考立方根符號的雙重作用.研究視角上,兩者都是按照“定義—開方運算—性質(zhì)—符號—運算”的思考框架進行,所以設置了遞進式的問題1—問題3: 先回顧平方根的研究框架,然后類比建構(gòu)立方根的研究框架.

3.3 重視反思,提升思維品質(zhì)

鄭毓信先生認為:“在課堂的各個環(huán)節(jié),不只是‘課尾’,我們都應注意引導學生不斷做出新的思考,包括對原先的問題與實際的解題過程作出必要的回顧與總結(jié),及我們又如何依據(jù)新的‘形勢’提出另外一些值得深入研究的問題.”[5]作為教師需明白的是,僅僅教給學生數(shù)學知識是不夠的.因為在有限的時間內(nèi),學生能學到的知識、解決的問題是有限的.學生在學習知識的過程中通過不斷反思,才能獲得能力的提升與思維習慣的養(yǎng)成.立方根教學中,除了課尾明顯的反思性問題外,反思活動其實貫穿于概念學習的每一個環(huán)節(jié).因為學生經(jīng)歷“發(fā)現(xiàn)問題—解決問題”的循環(huán)模式,反思是后一個環(huán)節(jié)得以產(chǎn)生并順利實施的關(guān)鍵.

本文是以問題鏈為載體開展數(shù)學概念教學的一個案例.從中可以看到問題鏈在學生概念學習中的一些價值.但這方面的研究還比較少,有待進一步深入的分析與更多的實踐探索.