李 斌 馬小瑞

（1.甘肅省工業(yè)和信息化廳信息中心，甘肅 蘭州 730000；2.甘肅省知識(shí)產(chǎn)權(quán)事務(wù)中心，甘肅 蘭州 730000）

0 引言

隨著機(jī)械、自動(dòng)控制、計(jì)算機(jī)、人工智能和傳感器等技術(shù)的飛速發(fā)展，機(jī)器人已進(jìn)入人們的現(xiàn)實(shí)生活。目前，工業(yè)機(jī)器人已成為現(xiàn)代制造系統(tǒng)中不可或缺的一種自動(dòng)化裝備，被廣泛地應(yīng)用在汽車(chē)、飛機(jī)、電子產(chǎn)品等行業(yè)的制造中，機(jī)器人不僅被應(yīng)用在軍事、航天等尖端領(lǐng)域，而且正逐步走向社會(huì)、家庭領(lǐng)域，服務(wù)機(jī)器人已經(jīng)進(jìn)入人們的生活中。機(jī)器人技術(shù)已成為衡量一個(gè)國(guó)家綜合技術(shù)水平的標(biāo)志之一。該文以雙臂機(jī)械手為例，首先確定機(jī)械手的動(dòng)力學(xué)模型，根據(jù)已確定的被控對(duì)象進(jìn)行控制方法的選擇和控制器的設(shè)計(jì)。由于機(jī)器人是高度非線性的不確定模型，因此采用李亞普諾夫穩(wěn)定性理論進(jìn)行穩(wěn)定性分析和控制器設(shè)計(jì)。建立Lyapunov函數(shù)V，根據(jù)已經(jīng)提出的控制器結(jié)合被控對(duì)象模型證明V＞0，V˙≤0，充分說(shuō)明控制系統(tǒng)是全部或者局部漸進(jìn)穩(wěn)定的；最后，利用S-函數(shù)，在MATLAB的Simulink中設(shè)計(jì)控制系統(tǒng)主程序框圖，并且調(diào)用S-函數(shù)進(jìn)行系統(tǒng)仿真或者利用純M文件編寫(xiě)控制器和被控對(duì)象的命令函數(shù)。針對(duì)不同的控制方法構(gòu)建主程序，并結(jié)合輸出圖形進(jìn)行穩(wěn)定性分析和控制性能比較。確定一個(gè)相同的雙臂機(jī)械手作為被控對(duì)象，利用不同的控制方法進(jìn)行仿真比較，通過(guò)仿真結(jié)果比較得出各種控制方法的利弊。

1 機(jī)器人PID控制

1.1 S-函數(shù)與方程

S-函數(shù)模塊是整個(gè)Simulink動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的核心。Simulink在每個(gè)仿真階段都會(huì)對(duì)S-Function進(jìn)行調(diào)用，不同的flag值調(diào)用不同的功能子函數(shù)，參數(shù)flag與S-函數(shù)回調(diào)函數(shù)的關(guān)系見(jiàn)表1。

1.2 機(jī)器人動(dòng)力學(xué)模型及其結(jié)構(gòu)特性

一個(gè)N關(guān)節(jié)機(jī)器人，其動(dòng)態(tài)性能可由二階非線性微分方程描述：

公式（1）中，q∈Rn*n為關(guān)節(jié)角位移量；M（q）∈Rn*n為機(jī)器人的慣性矩陣；∈Rn表示離心力和哥氏力；G（q）∈Rn是重力項(xiàng)；∈Rn表示摩擦力矩；τ∈Rn為控制力矩；τd∈Rn為外加擾動(dòng)。

1.3 雙臂機(jī)械手的運(yùn)動(dòng)方程

當(dāng)忽略重力和外力干擾時(shí)，采用獨(dú)立的PD控制，能滿足機(jī)器人定點(diǎn)控制的要求。

設(shè)雙臂機(jī)械手方程為：

2 機(jī)器人神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)自適應(yīng)控制

主要對(duì)RBF網(wǎng)絡(luò)的基本原理、高斯基函數(shù)、網(wǎng)絡(luò)參數(shù)對(duì)逼近效果的影響以及基于RBF網(wǎng)絡(luò)逼近的Simulink連續(xù)系統(tǒng)仿真和M語(yǔ)言離散數(shù)字化仿真方法。

2.1 RBF網(wǎng)絡(luò)

2.1.1 RBF網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)

在RBF網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)中，X=[x1，x2，…xn]T為網(wǎng)絡(luò)的輸入向量。設(shè)RBF網(wǎng)絡(luò)的徑向基向量H=[h1，h2，…h(huán)m]T，其中hj為高斯基函數(shù)：

表1 參數(shù)flag與S-函數(shù)回調(diào)函數(shù)的關(guān)系

其中，網(wǎng)絡(luò)第 j個(gè)節(jié)點(diǎn)的中心矢量為cj=[cj1，…，cjn]。

設(shè)網(wǎng)絡(luò)的基寬向量為：

其中，bj為節(jié)點(diǎn)j的基寬度參數(shù)，且為大于零的數(shù)。網(wǎng)絡(luò)的權(quán)向量為：

RBF網(wǎng)絡(luò)的輸出為：

因此，任意連續(xù)函數(shù)都能利用RBF網(wǎng)絡(luò)來(lái)逼近。

2.1.2 RBF網(wǎng)絡(luò)逼近模型不確定部分

RBF網(wǎng)絡(luò)算法為：

其中，x 為網(wǎng)絡(luò)的輸入信號(hào)；φ=[φ1，φ2，…，φn]為高斯基函數(shù)的輸出；θ為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)權(quán)值。

假設(shè)：

其中，θ*為n×n階矩陣，表示對(duì)f（x）最佳辨識(shí)的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)權(quán)值。

2.2 基于模型不確定補(bǔ)償?shù)腞BF網(wǎng)絡(luò)機(jī)器人自適應(yīng)控制

2.2.1 基于不確定補(bǔ)償?shù)臋C(jī)器人建模

在實(shí)際中，對(duì)公式（2）所示對(duì)象很難建立具體模型，只能建立理想的名義模型。分別用D0（q），，G0（q）來(lái)表示機(jī)器人的名義模型。

根據(jù)模型精確建模時(shí)設(shè)計(jì)的控制律，針對(duì)名義模型，控制律設(shè)計(jì)為：

將控制律公式（3）帶入公式（2）中，得：

取ΔD=D-D，ΔC=C-C，ΔG=G-G則：

由公式（5）可知，由于模型建模不精確會(huì)導(dǎo)致控制性能的下降。因此，需要對(duì)模型不精確的部分進(jìn)行辨識(shí)。

則得到在控制律公式（5）下的誤差方程為：

其中

假設(shè)模型不確定項(xiàng)f已知，則修正的控制律為：

將控制律公式（7）帶入公式（2）中，得到穩(wěn)定的閉環(huán)系統(tǒng)：

2.2.2 控制器的設(shè)計(jì)

控制器設(shè)計(jì)為：

其中，

取Lyapunov函數(shù)為：

可以采用2種自適應(yīng)律設(shè)計(jì)方法。

2.2.2.1 自適應(yīng)律之一

取自適應(yīng)律為：

則

2.2.2.2 自適應(yīng)律之二

取自適應(yīng)律為：

則

這種方法可以保證權(quán)值的有界性。

2.2.3 仿真實(shí)例

以雙力臂機(jī)械手控制為例進(jìn)行控制器的仿真和結(jié)果比較。

對(duì)于雙關(guān)節(jié)機(jī)器人系統(tǒng)(忽略摩擦力)，其動(dòng)力學(xué)模型為：

其中，

其中，v=13.33；q01=8.98；q02=8.75；g=9.8。

擾動(dòng)誤差、位置指令和系統(tǒng)的初始狀態(tài)分別為：

位置指令為：

控制參數(shù)取：

運(yùn)行Simulink仿真主程序圖如圖1所示。

仿真結(jié)果如圖2所示。

圖1 基于模型不確定補(bǔ)償?shù)腞BF網(wǎng)絡(luò)機(jī)器人自適應(yīng)控制主程序圖

由仿真結(jié)果可知，采用此控制律可以保證權(quán)值的有界性，解決神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)權(quán)值的UUB（Unknown Upper Bound）問(wèn)題，同時(shí)對(duì)機(jī)器人的不確定部分進(jìn)行了補(bǔ)償。通過(guò)改變一些控制參數(shù)的特征值大小，象Q的特征值越大，P的特征值越小，并且減小神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)建模誤差η的上界，就可以使x的收斂半徑變小，從而達(dá)到改善跟蹤效果的目的。

2.3 基于模型分塊逼近的機(jī)器人RBF網(wǎng)絡(luò)自適應(yīng)控制

2.3.1 基于分塊逼近的機(jī)器人建模

其中，ED、EC和EG分別為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)D（q）、和G（q）的建模誤差。

2.3.2 控制律的設(shè)計(jì)

定義

其中，qd（t）為理想的位置指令；q（t）為實(shí)際的位置。

定義

則

其中，Λ＞0。

設(shè)對(duì)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)建模項(xiàng)DSNN（q）、CDNN、GSNN（q）的估計(jì)值為：

控制律設(shè)計(jì)為：

其中，Kp＞0 ；Ki＞0。

自適應(yīng)律設(shè)計(jì)為：

2.3.3 穩(wěn)定性分析

取Lyapunov函數(shù)為：

圖2 基于模型不確定補(bǔ)償?shù)腞BF網(wǎng)絡(luò)機(jī)器人自適應(yīng)控制

其中，ΓDk，ΓCk，ΓGk為對(duì)稱(chēng)正定矩陣；，

則

經(jīng)分析得到：

2.3.4 仿真實(shí)例

以雙力臂機(jī)械手控制為例進(jìn)行仿真和比較。選二關(guān)節(jié)機(jī)器人系統(tǒng)（不考慮摩擦力和干擾），其動(dòng)力學(xué)模型為：

其中，

取控制器參數(shù)為

仿真結(jié)果如圖4所示。

由仿真結(jié)果可知：各關(guān)節(jié)的位置均能跟蹤系統(tǒng)所給的理想軌跡。控制律能夠在一定的范圍內(nèi)有規(guī)律的變化。可以實(shí)現(xiàn)對(duì)實(shí)際模型中未知部分D（q）、和G（q）的高效逼近。因此，基于模型分塊逼近的RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)自適應(yīng)控制性能較好。

3 基于RBF網(wǎng)絡(luò)的雙機(jī)械力臂自適應(yīng)數(shù)字控制

選擇雙力臂機(jī)械手作為被控對(duì)象。在不考慮摩擦力和外界干擾的情況下，其動(dòng)力學(xué)模型為：

仿真中采用了MATLAB函數(shù)“ode45”積分求解。采樣時(shí)間取ts=0.001，將控制律公式（13）和自適應(yīng)律公式（14）（15）（16）離散化，取，。取控制律參數(shù)為

位置指令為qd1=qd2=0.5si（n2πk·ts）。自適應(yīng)中，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)權(quán)值調(diào)節(jié)矩陣ΓDk，ΓCk和ΓGk中的元素值分別取5、10、10。RBF網(wǎng)絡(luò)的隱含層節(jié)點(diǎn)數(shù)取5，用于逼近的，，的高斯基參數(shù)見(jiàn)控制器子程序。仿真結(jié)果分別如圖5和圖6所示。

由仿真結(jié)果可知：該例中RBF網(wǎng)絡(luò)隱含層節(jié)點(diǎn)采用了node=5，從t=1.25之后各關(guān)節(jié)的位置基本可以跟蹤理想軌跡；改變隱含層節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)，當(dāng)node=2時(shí)，關(guān)節(jié)1和關(guān)節(jié)2均不能完全跟蹤理想軌跡；當(dāng)node=3時(shí)，從t=1.5之后各關(guān)節(jié)的位置可以完全跟蹤理想軌跡；當(dāng)node=10時(shí)，從t=0.75之后各關(guān)節(jié)的位置可以完全跟蹤理想軌跡。因此，基于RBF網(wǎng)絡(luò)的雙機(jī)械力臂自適應(yīng)數(shù)字控制可以通過(guò)增加神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)隱含層節(jié)點(diǎn)的個(gè)數(shù)，達(dá)到更迅速更逼近的控制效果。同樣，隱含層節(jié)點(diǎn)的個(gè)數(shù)太多會(huì)增加網(wǎng)絡(luò)運(yùn)算的復(fù)雜性。

圖3 基于模型分塊逼近的機(jī)器人RBF網(wǎng)絡(luò)自適應(yīng)控制

圖4 基于模型分塊逼近的機(jī)器人RBF網(wǎng)絡(luò)自適應(yīng)控制

4 結(jié)論

該文在分析機(jī)器人雙臂機(jī)械手控制的基礎(chǔ)上，提出了機(jī)器人雙臂機(jī)械手的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制算法。在被控對(duì)象為非線性模型的情況下，利用RBF網(wǎng)絡(luò)自適應(yīng)方法設(shè)計(jì)控制器。通過(guò)編寫(xiě)控制器和被控對(duì)象的S-函數(shù)或M文件，運(yùn)用仿真知識(shí)并對(duì)運(yùn)行結(jié)果進(jìn)行比較和穩(wěn)定性分析。

通過(guò)Lyapunov穩(wěn)定性理論得到的控制器可使系統(tǒng)要么達(dá)到局部漸進(jìn)穩(wěn)定，要么達(dá)到全局漸進(jìn)穩(wěn)定。采用RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制可以實(shí)現(xiàn)對(duì)機(jī)器人動(dòng)力學(xué)方程中未知部分的在線精確逼近，從而可通過(guò)在線建模和前饋補(bǔ)償?shù)姆绞?，?shí)現(xiàn)機(jī)器人的高精度跟蹤，其結(jié)果與被控對(duì)象已知時(shí)基本一致，控制性能良好。雙臂機(jī)械手是在單臂機(jī)械手的基礎(chǔ)上又增加了一維標(biāo)量，它的控制方法與單臂類(lèi)似。以此類(lèi)推，以后多關(guān)節(jié)機(jī)械手的控制器設(shè)計(jì)，也可以認(rèn)為是多個(gè)單臂的綜合，只是設(shè)計(jì)問(wèn)題會(huì)隨著關(guān)節(jié)數(shù)的增多而變得更復(fù)雜、更困難。該文提出的RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法對(duì)機(jī)器人雙臂控制的仿真結(jié)果可以看出，該算法可以提升各關(guān)節(jié)的控制性能，使其更好地完成控制需求。

圖5 各關(guān)節(jié)的位置跟蹤

圖6 各關(guān)節(jié)的控制輸入