杜仁杰，蘇 中，劉 寧，李 羚

(北京信息科技大學(xué),高動態(tài)導(dǎo)航技術(shù)北京市重點實驗室，北京 100101)

0 引言

在導(dǎo)航、制導(dǎo)與控制領(lǐng)域中，MEMS陀螺的固態(tài)設(shè)計使其更適用于高過載、高轉(zhuǎn)速環(huán)境下的角速率測量。在通常的使用場合下，MEMS陀螺的量程一般為每秒幾百度左右。但在短時多變速的高過載環(huán)境下，需要MEMS陀螺敏感角速率的能力最高達到每秒幾千度左右。在該大量程角速率范圍內(nèi)，大量實測數(shù)據(jù)表明MEMS陀螺標(biāo)度因數(shù)的線性度明顯變差[1-3]，這將不能保證陀螺在相當(dāng)大的動態(tài)范圍內(nèi)具有較高的輸出精度。

傳統(tǒng)非線性誤差補償方法通常針對低轉(zhuǎn)速范圍內(nèi)MEMS陀螺的輸出，對其線性區(qū)間內(nèi)的數(shù)據(jù)進行低次擬合[4-5]，忽略了在大量程轉(zhuǎn)速范圍內(nèi)的非線性問題。本文針對MEMS陀螺在短時多變速環(huán)境下的輸出(角速率≤3 600°/s)呈現(xiàn)嚴(yán)重的非線性狀態(tài)的現(xiàn)象，建立了回歸方程，提出啟發(fā)式分段回歸擬合的補償方法，對全量程下測量的角速率數(shù)據(jù)進行非線性回歸擬合處理，有效提高了其非線性誤差補償精度，滿足短時多變轉(zhuǎn)速等高動態(tài)測量環(huán)境中對MEMS陀螺的高精度輸出要求。

1 標(biāo)度因數(shù)非線性誤差模型

標(biāo)度因數(shù)非線性誤差是衡量MEMS陀螺產(chǎn)品精度和穩(wěn)定性的重要指標(biāo)之一。其含義是指在輸入角速度范圍內(nèi)，陀螺輸出量相對于最小二乘法擬合直線的最大偏差值與最大輸出量之比。

MEMS陀螺輸入輸出關(guān)系典型模型表示為

Fi=KΩj+F0+vj

(1)

式中：Fj為第j個輸入角速度Ωj時陀螺儀輸出值，V；K為標(biāo)度因數(shù)，V·(°)-1·s-1；Ωj為輸入角速度，(°)/s；vj為擬合誤差；F0為擬合零位。

用最小二乘法可求出K、F0：

(2)

(3)

得到K、F0后可構(gòu)建由擬合直線表示的陀螺輸入輸出關(guān)系：

(4)

可分別按式(5)、式(6)計算輸出特性的逐點非線性偏差、標(biāo)度因數(shù)非線性誤差來衡量所建模型的質(zhì)量。

(5)

式中：αj為第j個輸入角速度Ωj時，輸出值的非線性偏差，%或ppm；Fm為陀螺儀輸出的單邊幅值。

Kn=max|αj|

(6)

式中Kn為標(biāo)度因數(shù)非線性誤差，%或ppm。

2 多模型標(biāo)度因數(shù)的建模與補償

標(biāo)度因數(shù)補償是用軟件方法對陀螺標(biāo)度因數(shù)產(chǎn)生的誤差進行修正，補償因標(biāo)度因數(shù)非線性引起的不理想輸出值。因此必須建立相關(guān)的大量程下轉(zhuǎn)速擬合模型，對MEMS陀螺的測量數(shù)據(jù)進行曲線擬合。

2.1 傳統(tǒng)多項式的補償方法

多項式擬合是最常用的曲線擬合與回歸方法之一。擬合曲線公式如式(7)所示：

Y(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn

(7)

式中：x為轉(zhuǎn)臺理想輸入速率yi下相應(yīng)的陀螺輸出角速率；Y為擬合角速率；a0，a1，…，an為所建模型的參數(shù)。

其偏差為

(8)

I最小時的Y(x)即為所求的回歸方程。令偏導(dǎo)數(shù)等于零：

(9)

可得到關(guān)于a0，a1，…，an的線性方程組，從中解算出ak(k=0,1,…,n)，從而可獲得對應(yīng)階數(shù)為n的回歸方程。

2.2 啟發(fā)式分段多項式的補償方法

傳統(tǒng)多項式的補償方法是對全量程下測量的角速率數(shù)據(jù)進行統(tǒng)一的非線性擬合處理。啟發(fā)式分段回歸擬合的補償方法，分析了高轉(zhuǎn)速全量程數(shù)據(jù)非線性特點的差異，得出分段點，確定MEMS陀螺的線性區(qū)與非線性區(qū)；最后針對不同區(qū)域數(shù)據(jù)特點建立相關(guān)的大量程下的分段轉(zhuǎn)速回歸模型，并對其模型進行連續(xù)性處理。

2.2.1 分段點確立方法

第一步：從零開始正向、反向逐漸擴大轉(zhuǎn)速區(qū)間，根據(jù)陀螺理想輸出值和實際測量數(shù)據(jù)，計算各轉(zhuǎn)速區(qū)間下的非線性誤差。

第二步：在逐漸擴大范圍的轉(zhuǎn)速區(qū)間下，計算相鄰區(qū)間非線性誤差差值的絕對值，記作|差|，再次做差，判斷相鄰|差|的差的符號，若為正則計數(shù)器增1。當(dāng)連續(xù)計數(shù)不小于3時，則從第1個點處進行分段；否則不進行分段，計數(shù)清零。

第三步：根據(jù)分段結(jié)果分析各區(qū)間數(shù)據(jù)特點，確定其回歸模型。

分段擬合流程圖如圖1所示。

圖1 分段擬合流程圖

該分段補償模型為：

(10)

2.2.2 分段擬合曲線的連續(xù)性分析

為了進一步減小分段點附近的擬合誤差，保證分段擬合曲線的連續(xù)性。使用Hermite插值法[7]對其進行連續(xù)性處理，從而減少擬合曲線在分段點附近的偏移量，具體步驟為：

第一步：根據(jù)分段結(jié)果取第一段擬合數(shù)據(jù)為(xi,y)，i=1,2,3，…，q,用相應(yīng)的回歸模型階數(shù)對其進行擬合，得到擬合曲線f1(x)。將擬合后的數(shù)據(jù)離散，得到離散點(xd,yd),d=1,2,3，…，n。

第二步：針對(xi,yi)及(xd,yd)，d=n-4,n-3，…，n,i=q,q+1,…，2q,對(xn-4,yn-4)進行加權(quán)并對加權(quán)之后的數(shù)據(jù)再次擬合，得到擬合曲線f2(x)。針對擬合曲線f2(x)，從點[xn-4,f2(xn-4)]開始離散處理，得到離散點(xd1,yd1),d1=1,2,3，…，n1。

第三步：針對(xd,yd),d=n-4,n-3，…，n及(xd1,yd1),d1=1,2,3，…，n1為兩段擬合的重合部分，用插值曲線對其進行表示，實現(xiàn)其連續(xù)。以(xn-3,yn-3)及(x4,y4)為端點，確定插值曲線形式為：F=a1x3+a2x2+a3x+a4，其滿足端點條件如下：

H(xj)=yj,H′(xj)=mj(j=0,1)

(11)

其中插值曲線系數(shù)a1、a2、a3、a4可以通過約束條件[7]求得。插值曲線在端點處一階連續(xù)，所以保證實現(xiàn)曲線分段處的連續(xù)性。對分段數(shù)據(jù)依次進行處理，可得到一條連續(xù)的分段回歸曲線。

3 實驗驗證與對比分析

測量系統(tǒng)包括：具有高精度輸出的雙軸轉(zhuǎn)臺系統(tǒng)、MEMS陀螺輸出測量及數(shù)據(jù)傳輸系統(tǒng)、以及數(shù)據(jù)采集與分析系統(tǒng)、MEMS陀螺供電系統(tǒng)等。

選取動態(tài)范圍為0～3 600°/s大量程MEMS陀螺為試驗對象，將其連同工裝水平固定在速率轉(zhuǎn)臺，X軸朝上作為標(biāo)定敏感軸。陀螺上電預(yù)熱20～30 min。然后分別給轉(zhuǎn)臺輸入3 600、3 240、2 880、2 520、2 160、1 800、1 440、1 080、720、360、0、-360、-720、-1 080、-1 440、-1 800、-2 160、-2 520、-2 880、-3 240、-3 600°/s共21個角速率。連續(xù)采集每個角速率穩(wěn)定后1～2 min陀螺輸出數(shù)據(jù)，采樣頻率200 Hz。

由實驗結(jié)果得到全量程下MEMS陀螺輸出的原始數(shù)據(jù)，結(jié)果如圖2所示。取實驗數(shù)據(jù)中速率轉(zhuǎn)臺各輸入速率下對應(yīng)的陀螺輸出數(shù)據(jù)，得到轉(zhuǎn)臺輸入角速率與陀螺輸出角速率的關(guān)系如圖3所示，其具體數(shù)值見表1。

圖2 不同轉(zhuǎn)速下MEMS陀螺輸出原始數(shù)據(jù)

圖3 轉(zhuǎn)臺輸入角速率與陀螺輸出角速率的關(guān)系

從圖3及表1的數(shù)據(jù)可分析出，介于受未知的外部環(huán)境和內(nèi)部因素影響，MEMS陀螺樣機的輸出在低轉(zhuǎn)速范圍內(nèi)具有較低的非線性誤差，然而，當(dāng)轉(zhuǎn)速輸入至高轉(zhuǎn)速時，其輸出呈現(xiàn)嚴(yán)重的非線性狀態(tài)，標(biāo)度因子非線性誤差較大。但其信號中常含有一定趨勢項，同一MEMS陀螺樣機的非線性曲線存在相似性，可以通過對非線性曲線的擬合，歸納出其中隱含的函數(shù)關(guān)系，推導(dǎo)出擬合曲線的回歸方程，對MEMS陀螺樣機的標(biāo)度因數(shù)非線性誤差進行補償。其中表1中測量值為多組測量值的平均值。

表1 陀螺理想輸出值與實際測量輸出值

通過表1分析陀螺全量程下的測量數(shù)據(jù)，可以發(fā)現(xiàn)低轉(zhuǎn)速下數(shù)據(jù)的非線性程度很小，隨著轉(zhuǎn)速升高至某個臨界點，非線性程度開始迅速增大。對于具有多個顯著局部特征的數(shù)據(jù)，使用一個擬合函數(shù)來描述難以取得較好的擬合精度。由圖3及表1所示的多組數(shù)據(jù)可通過式(5)和式(6)計算出MEMS陀螺樣機輸出數(shù)據(jù)的標(biāo)度因數(shù)非線性誤差的平均值為15.71%。分別對多組數(shù)據(jù)進行分段多項式回歸擬合、Bayes-BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)回歸擬合及二次九階多項式回歸擬合。

其中Bayes-BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[10]回歸擬合利用給定的學(xué)習(xí)集樣本對網(wǎng)絡(luò)進行訓(xùn)練，設(shè)定隱層節(jié)點個數(shù)為10。得到基于Bayes-BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的補償模型。該方法使MEMS陀螺標(biāo)度因數(shù)非線性誤差提高了2個數(shù)量級，達到0.45%，耗時37.8 ms。

二次九階多項式回歸擬合是將陀螺原始輸出進行九階多項式擬合后，將該擬合輸出再次作為輸入向陀螺理想輸出做第二次九階多項式擬合。該方法使MEMS陀螺標(biāo)度因數(shù)非線性誤差提高了2個數(shù)量級，達到0.59%，耗時0.755 ms。

在分段多項式回歸擬合方法中，通過啟發(fā)式分段方法將數(shù)據(jù)分為3個區(qū)間：負(fù)方向高速率段、低速率段、正方向高速率段，其計算過程如表2所示。

表2 分段點的實際計算過程

得到分段點-1 800°/s及1 800°/s。由于在低速率段數(shù)據(jù)具有良好的非線性誤差，標(biāo)度因數(shù)非線性誤差在10-3數(shù)量級，滿足MEMS陀螺實際的應(yīng)用需求，所以對于此段數(shù)據(jù)采用低階多項式；針對負(fù)、正方向高速率段，選用九階多項式進行回歸擬合，分段模型階數(shù)為九階-一階-九階。為進一步保證分段模型的連續(xù)性，使用Hermite插值法對其分段處進行連續(xù)性處理，效果如圖4所示。

圖4 分段擬合連續(xù)性對比

該方法使MEMS陀螺標(biāo)度因數(shù)非線性誤差提高了2個數(shù)量級，達到0.14%，耗時0.247 ms。為了更直觀地對比3種方法的補償能力，從全量程數(shù)據(jù)的補償值及誤差值兩方面進行對比，3種補償方法的結(jié)果如下。

由圖5所示，通過3種不同的補償方法，MEMS陀螺樣機的原始輸出均得到了有效的補償，趨近于-3 600°/s至3 600°/s的理想線性輸出。由圖6可以看出分段回歸擬合總體誤差最小。3種方法的非線性誤差指標(biāo)可由式(5)和式(6)計算得到，如表3所示。

圖5 MEMS陀螺樣機在滿量程下的輸出(補償前/后)

圖6 標(biāo)度因數(shù)非線性誤差分析(補償前/后)

從補償后數(shù)據(jù)分析可知，啟發(fā)式分段回歸擬合方法補償效果最佳，該方法使MEMS陀螺標(biāo)度因數(shù)非線性誤差降低了2個數(shù)量級，非線性誤差降低到0.14%。Bayes-BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)補償曲線的結(jié)果優(yōu)于多次高階回歸擬合曲線，但都遜于啟發(fā)式分段多項式回歸擬合。在處理時間上啟發(fā)式分段多項式回歸擬合方法運算速度為0.247 ms，運算速度是Bayes-BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的數(shù)十倍，是多次高階多項式的2倍多。本文提出的啟發(fā)式分段多項式回歸擬合方法在保障MEMS陀螺樣機輸出精度的同時，保證了高動態(tài)測量環(huán)境下的實時性需求。

4 結(jié)論

MEMS陀螺標(biāo)度因數(shù)隨轉(zhuǎn)速成強非線性變化，特別是在高轉(zhuǎn)速輸入?yún)^(qū)間,標(biāo)度因數(shù)誤差非線性尤其嚴(yán)重。針對此問題，本文探討了MEMS陀螺樣機的標(biāo)度因數(shù)非線性誤差的補償方法，提出了啟發(fā)式分段多項式回歸擬合方法，通過多種曲線回歸擬合補償結(jié)果的對比分析，證明了其準(zhǔn)確性和適用性。首先分析高轉(zhuǎn)速下數(shù)據(jù)的非線性特點；其次通過啟發(fā)式分段方法得出分段點，確定MEMS陀螺的線性區(qū)與非線性區(qū)；最后針對不同區(qū)域數(shù)據(jù)特點建立連續(xù)的回歸擬合模型。該方法可減小MEMS陀螺標(biāo)度因數(shù)非線性誤差，提高其動態(tài)精度，具有一定的工程應(yīng)用參考意義。