■浙江省杭州高級(jí)中學(xué) 葉根福

一、過(guò)程設(shè)計(jì)與意圖分析

（一）發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，提出問(wèn)題

教師：都說(shuō)“數(shù)學(xué)來(lái)源于生活又應(yīng)用于生活”，其中應(yīng)用于生活是指利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決生活中的實(shí)際問(wèn)題，也就是我這節(jié)課的主題——數(shù)學(xué)建模：體重與脈搏。

教師：醫(yī)學(xué)研究發(fā)現(xiàn)，動(dòng)物的體重與脈搏存在著一定的關(guān)系。若能明確這個(gè)關(guān)系，則有助于更方便、更有效地認(rèn)識(shí)人類(lèi)心臟病的發(fā)生、發(fā)展規(guī)律和研究預(yù)防措施，所以研究動(dòng)物的體重與脈搏的函數(shù)模型意義重大。那么如何建立兩者之間的函數(shù)模型呢？

設(shè)計(jì)意圖：給出所要研究問(wèn)題的背景，讓學(xué)生體會(huì)意識(shí)到建立體重與脈搏函數(shù)模型的必要性。

（二）選定對(duì)象，收集數(shù)據(jù)

教師：那么要建立體重與脈搏之間的函數(shù)模型，首先我們要做什么？

學(xué)生：收集一些動(dòng)物的體重與脈搏的數(shù)據(jù)，用來(lái)加以研究。

教師：很好，這是數(shù)學(xué)建模非常重要的一個(gè)環(huán)節(jié)，收集的數(shù)據(jù)準(zhǔn)確與否直接影響后面我們所建立的函數(shù)模型是否符合實(shí)際。只不過(guò)由于時(shí)間、空間與道具的限制，這一環(huán)節(jié)沒(méi)能在本節(jié)課上進(jìn)行，這是通過(guò)大量測(cè)量以及大數(shù)據(jù)分析得到的一組動(dòng)物的體重與脈搏的數(shù)據(jù)：

鼠（25，670），大鼠（200，420），豚鼠（300，300），兔（2000，205），小狗（5000，120），大狗（30000，85），羊（50000，70），馬（450000，38）。

設(shè)計(jì)意圖：雖然課堂時(shí)間有限，還是要讓學(xué)生理解數(shù)據(jù)收集這一環(huán)節(jié)的重要性，當(dāng)然，如果條件允許，提前布置學(xué)生進(jìn)行課前數(shù)據(jù)收集則效果更佳。

（三）直觀呈現(xiàn)，散點(diǎn)作圖

教師：得到這些數(shù)據(jù)后，我們要怎么處理？

學(xué)生：為了使兩組數(shù)據(jù)能更加直觀地呈現(xiàn)出來(lái)，可以在直角坐標(biāo)系中描點(diǎn)，畫(huà)出散點(diǎn)圖。

教師：很好，請(qǐng)同學(xué)們動(dòng)手試一試。

學(xué)生動(dòng)手作圖，教師巡視，從中挑選幾位學(xué)生代表進(jìn)行實(shí)物投影，并對(duì)所畫(huà)散點(diǎn)圖進(jìn)行點(diǎn)評(píng)與指導(dǎo)。（學(xué)生作圖過(guò)程中自然能體會(huì)到由于數(shù)據(jù)很大，此處作圖比較困難，前幾組數(shù)據(jù)橫坐標(biāo)的差異很難在圖中體現(xiàn)出來(lái)，只能作出簡(jiǎn)圖。）

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生經(jīng)歷散點(diǎn)作圖的過(guò)程，體會(huì)散點(diǎn)圖的作用。同時(shí)也為后面通過(guò)對(duì)數(shù)據(jù)處理簡(jiǎn)化模型做好鋪墊。

（四）回顧舊知，選擇模型

教師：根據(jù)散點(diǎn)圖的走勢(shì)，你會(huì)選擇什么函數(shù)模型？請(qǐng)列舉你熟悉的函數(shù)模型。

學(xué)生：一次函數(shù)，反比例函數(shù)，二次函數(shù)，指數(shù)函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)，冪函數(shù)等。

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生回顧熟悉的函數(shù)模型，利于模型選擇。

（五）利用數(shù)據(jù)，求解模型

教師：初步觀察散點(diǎn)圖的走勢(shì)，你會(huì)選擇什么函數(shù)模型？

教師：好，根據(jù)你選擇的函數(shù)模型與測(cè)量數(shù)據(jù)，請(qǐng)同學(xué)們求出函數(shù)模型（每四人一個(gè)小組合作完成）。

……

（六）結(jié)合實(shí)際，檢驗(yàn)?zāi)Ｐ?/h3>

教師：如何檢驗(yàn)?zāi)闼蟪龅暮瘮?shù)是否符合實(shí)際呢？

教師：統(tǒng)計(jì)學(xué)中有多種方法刻畫(huà)，其中使我們高中生比較容易理解的是用該函數(shù)模型的殘差平方和大小來(lái)刻畫(huà)。設(shè)測(cè)量數(shù)據(jù)為（xi，yi）擬合函數(shù)為y=f(x)，殘差平方和

教師利用幾何畫(huà)板軟件給出新概念殘差平方和的幾何解釋即圖中的n條線段的平方和，并通過(guò)動(dòng)畫(huà)引導(dǎo)學(xué)生得出殘差平方和（SSE）越小，函數(shù)模型擬合程度越好。

教師：請(qǐng)同學(xué)們計(jì)算你們小組得到的函數(shù)模型的殘差平方和，并判斷所得模型是否符合實(shí)際。

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)計(jì)算殘差平方和，讓學(xué)生學(xué)會(huì)如何整體檢驗(yàn)一個(gè)函數(shù)模型是否符合實(shí)際。

（七）深入探究，合理優(yōu)化

教師：數(shù)學(xué)建模過(guò)程中，得到不符合實(shí)際的函數(shù)模型是很正常的，需要我們不斷的嘗試。那如何重新選擇函數(shù)模型呢？

教師：好，請(qǐng)同學(xué)們利用數(shù)據(jù)再次合作求出函數(shù)模型。（學(xué)生合作計(jì)算，教師巡視）

學(xué)生（部分過(guò)程教師引導(dǎo)）：我們組選擇點(diǎn)（25，670），（450000，38），把點(diǎn)代入得兩式相除得故從而得到不難計(jì)算該模型的殘差平方和SSE= 4513.7。

教師：很好，這個(gè)模型的擬合程度比前面得到的模型好了很多，下面我們通過(guò)圖像再次對(duì)比(此處圖略)。

教師：如果利用微積分的知識(shí)，我們可以求出最佳的a和k，使得殘差平方和SSE最?。醋钚《朔ǎ?。

設(shè)計(jì)意圖：得到不符合實(shí)際的函數(shù)模型后，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)對(duì)解析式的結(jié)構(gòu)分析，重新選擇函數(shù)模型。

（八）利用模型，解決問(wèn)題

教師：如何利用函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題呢？

學(xué)生：根據(jù)動(dòng)物體重可以估計(jì)該動(dòng)物的脈搏。

教師：老師的體重為72 千克，則可估計(jì)老師的脈搏為多少？

教師：進(jìn)一步地通過(guò)對(duì)此問(wèn)題的優(yōu)化分析，可以將體重與脈搏的比例關(guān)系應(yīng)用于現(xiàn)代醫(yī)學(xué)，進(jìn)而達(dá)到預(yù)防疾病的目的。

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)實(shí)際問(wèn)題的解決，使學(xué)生切身感受數(shù)學(xué)建模的意義。

（九）數(shù)據(jù)分析，簡(jiǎn)化模型

教師：剛才我們?cè)诋?huà)散點(diǎn)圖的時(shí)候，因?yàn)閿?shù)據(jù)很大，所以畫(huà)起來(lái)很困難，那么我們是否可以對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，達(dá)到大數(shù)化小數(shù)的目的呢？

教師引導(dǎo)學(xué)生分析如10，102，103，104……等數(shù)只要確定它的指數(shù)即可得到原數(shù)，從而自然地引出取對(duì)數(shù)的思想。

教師：通過(guò)對(duì)體重與脈搏兩組數(shù)據(jù)，我們可以得到兩組新的數(shù)據(jù)，類(lèi)似的，我們不難得到新的散點(diǎn)圖。

學(xué)生：顯然這兩組數(shù)據(jù)之間的關(guān)系更加清楚，不難想到選擇一次函數(shù)模型。

教師再次利用spss 演示模型f(x)=kx+b的最優(yōu)解求解過(guò)程，得到最優(yōu)解f(x)= -0.298x+ 7.489，從而得到lnf= -0.298xlnw+ 7.489，然后與學(xué)生一起小結(jié)得出兩者本質(zhì)是一樣的，但通過(guò)數(shù)據(jù)處理更容易得到模型。

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)對(duì)數(shù)據(jù)取對(duì)數(shù)，達(dá)到簡(jiǎn)化模型的目的，同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)據(jù)分析的核心素養(yǎng)。

（十）課堂回眸，感悟分享

這節(jié)課我學(xué)會(huì)了……

學(xué)生：建立函數(shù)模型的基本步驟：

教師：史寧中教授曾說(shuō)：“數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的最終目標(biāo)是讓學(xué)習(xí)者會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)世界。”其中用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)世界就是我們這節(jié)課的主題——數(shù)學(xué)建模。

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)小結(jié)，使學(xué)生更加清楚建立兩個(gè)變量函數(shù)模型的方法和步驟。首尾呼應(yīng)，再次強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)建模的重要性。

（十一）課后延伸，繼續(xù)探究

1.小結(jié)整理建立函數(shù)模型的方法與步驟。

2.學(xué)習(xí)閱讀材料，結(jié)合上課內(nèi)容，寫(xiě)一篇數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)的研究報(bào)告。

二、幾點(diǎn)思考

本節(jié)課致力于發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)與數(shù)據(jù)分析核心素養(yǎng)。教師通過(guò)和學(xué)生一起經(jīng)歷體重與脈搏函數(shù)模型的建立，使學(xué)生學(xué)會(huì)建立生活中兩個(gè)相關(guān)變量間函數(shù)模型的方法和步驟；通過(guò)函數(shù)模型建立的過(guò)程中的數(shù)據(jù)處理，使學(xué)生學(xué)會(huì)處理數(shù)據(jù)的基本方法。

蘇霍姆林斯基說(shuō)過(guò)：人的心靈深處都有一種根深蒂固的需要，就是希望自己是一個(gè)發(fā)現(xiàn)者、研究者、探索者。因此教師深入地研究學(xué)生已有的基礎(chǔ)、可能存在的問(wèn)題及應(yīng)對(duì)策略至關(guān)重要，才能真正實(shí)現(xiàn)讓學(xué)生在課堂上主動(dòng)探究。

（一）要讓學(xué)生感受建模的必要性

數(shù)學(xué)是自然的，是從實(shí)際生活中來(lái)的，收集數(shù)據(jù)并建立函數(shù)模型，能架起數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活的橋梁。本節(jié)課教師要讓學(xué)生理解，建立體重與脈搏的函數(shù)模型對(duì)預(yù)防心臟疾病有重要意義，從而讓學(xué)生感受建立該模型的必要性。

（二）要讓學(xué)生經(jīng)歷建模的過(guò)程

授人以魚(yú)不如授人以漁，教師只有讓學(xué)生親身經(jīng)歷建模、檢驗(yàn)、重新選擇模型、優(yōu)化模型的過(guò)程，才能提高學(xué)生的建模素養(yǎng)與數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)。本節(jié)課中反比例函數(shù)模型的選擇與檢驗(yàn)，冪函數(shù)模型的再次選擇與檢驗(yàn)，以及對(duì)數(shù)的數(shù)據(jù)處理方法等，都是讓學(xué)生經(jīng)歷建模的過(guò)程，從而使兩大素養(yǎng)的培養(yǎng)在課堂教學(xué)中落到實(shí)處。

（三）要讓學(xué)體會(huì)模型的實(shí)用性

要想讓學(xué)生真正對(duì)數(shù)學(xué)建模產(chǎn)生濃厚興趣并不懈努力地提高自身的建模能力，教師就要讓學(xué)生體會(huì)到利用模型能有效地解決現(xiàn)實(shí)世界中的實(shí)際問(wèn)題，切身體會(huì)數(shù)學(xué)建模的重大作用。