蘇 玖

真題展現(xiàn)

（2018全國卷Ⅰ第6題）在△ABC中，AD為BC邊上的中線，E為AD的中點，則=（ ）

圖1

思維延伸

本題主要是兩次使用三角形中線對應的向量，其實就是兩個向量的加法運算的幾何意義．如果點E不是中點，而是三等分點、四等分點等等，可以改編為：

圖2

拓展：在△ABC中，E為BC邊上中線AD上的點，求x+y的值．

如果把“BE”改為“過E點任作直線”，就改編為：

圖3

如果改變圖形的形狀，由“三角形”改編為“平行四邊形”“梯形”等等，如：

圖4

當然也可以在三角形的一條邊上插多個等分點，研究一系列的向量之和與數(shù)量積，于是有：

圖5

如果三角形與圓整合，又可以有：

如果點O不是三角形外接圓的圓心，而是三角形內任意一點，于是又可以為：

點撥解析

原題解析：抓住D為BC邊上的中點，E為中線AD的中點，于是有故選A．

改編1解析：因為所以，

拓展解析：因為所 以，所以所以x+y=．

改編2解析：由改編1拓展知，所 以，+．

改編3解析：因為+，

改編4解析：（1）證明：因為點P1，P2，P3，…，Pn是邊AB上的n個等分點，所以，

改編5解析：【解法一】取AB中點D，所以，所以．又因為2x+y=1，所以O，D，C三點共線．

圖6

因為點O為△ABC的外心，所以OD⊥AB，所以CD⊥AB．

【解法二】cos∠DAO=2=，

又因為2x+y=1，所以y=1-2x，②

改編6解析：因為·所以取BC中點D，

圖7

回顧悟道

從上述各題的改編過程中可以看出，抓住平面向量的線性運算的幾何意義，進行改編高考題或教材上的題目，是命題者常用的方法．改編途徑：一是改編一個點的位置比例；二是定點改為動點，常數(shù)改為字母參數(shù)；三是改變平面圖形的形狀和特征，如三角形改為平行四邊形、矩形、梯形、菱形等；四是三角形與外接圓或內切圓組合等等．

小試牛刀

題目：已知A，B，C為圓O上的三點，若則的夾角為____________．

提示1：將三角形特殊化，改為正三角形，則有：

（改編1）____________________________

提示2：將三角形改為等腰梯形，則有：

（改編2）____________________________

答案與解析

（改編1）△ABC是邊長為2的等邊三角形，已知向量a，b滿足，