劉 洋 趙 臣 王旭浩 張佳俊

天津大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，天津，300350

0 引言

旋杯的涂層累積速率模型[1](簡稱累積模型)、勻速噴涂厚度模型及涂料投射模型[2]是噴涂機(jī)器人離線編程中漆膜厚度計(jì)算與軌跡規(guī)劃環(huán)節(jié)的重要基礎(chǔ)。在計(jì)算自由曲面上某點(diǎn)漆膜厚度時(shí)，首先需要求得該點(diǎn)(某時(shí)刻)的累積速率，然后積分求得總的漆膜厚度，而該點(diǎn)(某時(shí)刻)的累積速率則需要根據(jù)基準(zhǔn)面上的累積速率模型以及涂料投射模型推導(dǎo)計(jì)算而來，因此旋杯的累積速率模型、投料投射模型是漆膜厚度計(jì)算的重要基礎(chǔ)；而在進(jìn)行軌跡規(guī)劃的時(shí)候，需要確定兩條軌跡的最優(yōu)間距，以達(dá)到噴涂均勻的目的，而最優(yōu)間距則由旋杯的(累積速率模型所對應(yīng)的)勻速噴涂厚度模型決定，因此旋杯的累積速率模型、勻速噴涂厚度模型是軌跡規(guī)劃的重要基礎(chǔ)。

旋杯的涂層累積速率模型分為非圓環(huán)形(也稱為滿月形)與圓環(huán)形?，F(xiàn)有文獻(xiàn)中關(guān)于滿月形累積模型較多，如：無限范圍的高斯分布模型[3]與柯西分布模型[4]；有限范圍的β分布模型[5]、橢圓雙β分布模型[6]、分段函數(shù)模型[7]、曲面上的3D模型[8-9]以及與噴涂工藝相結(jié)合的多變量模型[10-11]等。對于圓環(huán)形累積速率模型的研究則相對較少。COLBERT等[12]通過理論分析和實(shí)驗(yàn)研究對滿月形與圓環(huán)形累積模型的成形原理進(jìn)行了探索，但是并未提出相應(yīng)的累積模型數(shù)學(xué)表達(dá)式，趙德安等[13-14]也做過類似的工作；CONNER等[15]提出了一種較為全面的高斯偏置模型，該模型能夠表示圓環(huán)、滿月以及對稱、非對稱等模型，但是也有不足之處，一是該模型是以無限范圍的高斯模型為基礎(chǔ)，與實(shí)際的有限范圍不符；二是不能表達(dá)圓環(huán)形中的總體對稱、局部非對稱的模型。

關(guān)于旋杯(或噴槍)的涂料投射模型，現(xiàn)有文獻(xiàn)研究的主要是直線投射模型[16-17]，而旋杯中的油漆微粒受到流體動(dòng)力、空氣動(dòng)力、電場靜電等力的作用[18]，其涂料投射模型不再是直線，所以模型會(huì)有較大的誤差；或者運(yùn)用流體力學(xué)來模擬油漆微粒的軌跡模型，但該類方法建模復(fù)雜、計(jì)算量大，難以應(yīng)用在離線編程噴涂系統(tǒng)中。CONNER等[15]首次提出冪函數(shù)投射模型，但是并沒有給出一般性結(jié)論。

本文提出了一種新的累積模型——雙偏置β模型，并結(jié)合實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)構(gòu)建了基于正態(tài)分布的曲線投射模型[19]。

1 旋杯累積速率新模型

旋杯的涂層累積速率模型描述了指定的基準(zhǔn)面上某點(diǎn)的噴涂累積速率v與該點(diǎn)到噴斑中心點(diǎn)的距離r的關(guān)系，可通過測試旋杯噴涂單位時(shí)間所形成的圓形噴斑的徑向漆膜厚度分布得到。由于旋杯與噴槍的結(jié)構(gòu)不同，使得噴斑形狀不同。旋杯的結(jié)構(gòu)原理見圖1。

圖1 旋杯的結(jié)構(gòu)原理圖Fig.1 The structure of rotating cup

通過調(diào)節(jié)成形空氣壓力值的大小可以改變累積速率模型的形狀，在一定條件下，可以分別得到滿月形累積模型與圓環(huán)形累積模型，如圖2所示。

圖2 旋杯的噴涂形狀Fig.2 Two models of rotary-cup spraying

1.1 雙偏置β累積模型及其性質(zhì)

雙偏置β模型是在標(biāo)準(zhǔn)β分布函數(shù)的基礎(chǔ)上經(jīng)過兩個(gè)主要步驟變換得來的：①把標(biāo)準(zhǔn)β分布函數(shù)的相關(guān)參數(shù)進(jìn)行替換以得到適合表達(dá)旋杯模型的β函數(shù)；②對新得到的β函數(shù)進(jìn)行偏移、對稱等操作，最終得到雙偏置β模型。下面詳細(xì)探究雙偏置β模型的推導(dǎo)過程。

(1)標(biāo)準(zhǔn)β分布[20]表達(dá)式為

式中，B(a,b)為與形狀參數(shù)a、b有關(guān)的定值。

(2)β函數(shù)。β函數(shù)是在標(biāo)準(zhǔn)β分布的基礎(chǔ)上結(jié)合實(shí)際需求對某些參數(shù)進(jìn)行替換所得的，函數(shù)圖像見圖3，其表達(dá)式如下：

(1)

圖3 β函數(shù)示意圖Fig.3 The schematic diagram of β function

(3)雙偏置β模型。雙偏置β模型是在β函數(shù)的基礎(chǔ)上進(jìn)行偏移、對稱(關(guān)于x軸)得來的，其圖像見圖4，表達(dá)式如下：

v(r)=G(r-D)+G(-r-D)=

F(r+D0-D)+F(-r+D0-D)

(2)

其中，v(r)表示以噴斑中心為圓心、半徑為r的圓形上的所有點(diǎn)的累積速率(只要與噴斑中心的距離r相同，則旋杯的累積速率模型相同)；G(r)由上文β函數(shù)向左偏移D0得到；G(r-D)為右偏置模型，由G(r)向右偏移D得到；G(-r-D)是左偏置模型，是G(r-D)關(guān)于x軸對稱后得到的函數(shù)。左右偏置模型相加最終得到雙偏置β模型。

圖4 雙偏置β累積模型示意圖Fig.4 Sketch map of multivariate double biasβ cumulative rate model

1.1.1雙偏置β模型表示非圓環(huán)形模型

非圓環(huán)形模型的特點(diǎn)是峰值在零點(diǎn)處取得且函數(shù)值由中心向兩邊遞減，如圖5所示。

圖5 一般滿月形累積速率模型Fig.5 General unimodal cumulative rate model

當(dāng)用雙偏置β模型表示非圓環(huán)模型時(shí)，需要偏距D=0且形狀參數(shù)a=b=β，此時(shí)d=2D0，化簡式(2)得

(3)

式(3)就是經(jīng)典的β分布模型，所以經(jīng)典β分布模型是雙偏置β模型的一種特殊情況。經(jīng)典的β分布模型流量qV表達(dá)式[21]如下：

1.1.2雙偏置β模型表示圓環(huán)形模型

且當(dāng)a、b均為正整數(shù)的時(shí)候，qV表達(dá)式為

圖6 局部對稱圓環(huán)形累積速率模型Fig.6 Locally symmetric annular cumulative rate model

圖7 局部非對稱圓環(huán)形累積速率模型Fig.7 Local asymmetric annular cumulative rate model

1.1.3雙偏置β模型表示特殊累積模型

本文的特殊累積模型是指累積速率可能在中間某區(qū)域近似為常值，而在兩端逐漸降低的模型，如圖8所示。對于這類累積模型，現(xiàn)有理論一般用分段函數(shù)表示，然而分段函數(shù)表達(dá)較復(fù)雜，用雙偏置β模型可以很好地解決這個(gè)問題。

圖8 特殊滿月形累積速率模型Fig.8 Special full moon cumulative rate model

經(jīng)計(jì)算證明，當(dāng)偏距D滿足下式時(shí)，能夠疊加為中間較為平緩的累積模型：

(4)

其流量qV的表達(dá)式如下：

1.2 雙偏置β模型的勻速噴涂厚度模型

旋杯沿著某條直線以速度vs進(jìn)行勻速噴涂，如圖9所示，假設(shè)運(yùn)動(dòng)的距離足夠長，則與該直線距離X的平行線上所有點(diǎn)的厚度T都相同，T與X的關(guān)系即勻速噴涂厚度模型，可以用T-X圖表示。研究旋杯的勻速噴涂厚度模型有助于研究噴涂的最佳間距，最終為軌跡規(guī)劃做準(zhǔn)備。

圖9 旋杯勻速噴涂示意圖Fig.9 Schematic diagram of uniform spraying

噴涂剖面厚度T與累積模型偏距D以及考察直線與噴涂中心線距離X的關(guān)系為

當(dāng)流量為qV、形狀參數(shù)a=b且恒定時(shí)，不同的偏距D對應(yīng)不同的累積速率模型，通過MATLAB可以把T與X、D的關(guān)系用三維圖表示出來，如圖10所示。

圖10 不同偏距下流量恒定的勻速噴涂厚度模型Fig.10 Different offset under the constant flow ofuniform spraying thickness model

特別地，若累積模型的偏距為0，即模型為β分布模型，且β為正整數(shù)，那么其勻速噴涂厚度模型同樣滿足β分布。用MATLAB搭建的漆膜厚度仿真系統(tǒng)可以仿真出其漆膜厚度分布云圖(圖11)，證明如下：

(5)

當(dāng)累積模型為圓環(huán)形模型，雖然在r=0處的

圖11 經(jīng)典β模型的勻速噴涂厚度模型Fig.11 Uniform spraying thickness model of β model

噴涂速度為0，但是在勻速噴涂模型中，X=0處的厚度卻不為0，如圖12所示。由圖10可以看出，選取合適的偏距D可以使勻速噴涂厚度模型的中間段較為平緩。這從理論上說明，在實(shí)際應(yīng)用中能夠找到合適的旋杯偏距D，使得旋杯在勻速直線噴涂后所得涂層的中間段厚度較為均勻，具有重要的應(yīng)用價(jià)值。

圖12 圓環(huán)形累積模型的勻速噴涂厚度模型Fig.12 Uniform spray thickness model of circularand annular cumulative rate model

2 涂料投射模型

旋杯的涂料投射模型是油漆微粒在噴涂過程中的空間軌跡模型，即旋杯涂層累積速率中的半徑r與被噴涂面與旋杯中心距離Z的關(guān)系，可以用Z-r圖表示(圖13)。

圖13 涂料投射模型Fig.13 Paint projection model

2.1 一般涂料投射模型

現(xiàn)有投射模型大部分是簡單的直線投射模型，如圖14a所示；旋杯中的微粒由于受到各種力的作用，投射形狀不是直線而是較為復(fù)雜的曲線函數(shù)模型，如圖14b所示，這個(gè)模型會(huì)對非基準(zhǔn)面的厚度以及工件曲面的交點(diǎn)產(chǎn)生影響。

圖14 旋杯的兩種投射模型Fig.14 Two projection models of the rotary-cup

曲面上任意一點(diǎn)的累積速率與其在基準(zhǔn)面上對應(yīng)點(diǎn)累積速率的關(guān)系如圖15所示。給定基準(zhǔn)面上的某點(diǎn)q及其在工件曲面上對應(yīng)的點(diǎn)s，點(diǎn)q及點(diǎn)s對應(yīng)的累積速率分別為vq與vs，其附近的區(qū)域?yàn)镽q與Rs，兩區(qū)域的面積是ARq與ARs。因?yàn)閮蓞^(qū)域的對應(yīng)的流量相同，分別為qVRq與qVRs，其中qVRq=ARqvq，qVRs=ARsvs，所以ARqvq=ARsvs，即

(6)

式中,AM為面積放大系數(shù)。

以下推導(dǎo)AM的表達(dá)式[22]。大量的油漆微粒從O點(diǎn)發(fā)射出來，不同的微粒噴射路徑不同，假設(shè)這些路徑的形狀相似，不同的只是各自的系數(shù)，那么這一系列的路徑可以用函數(shù)Z=f(kr)表達(dá)，其中k表示不同路徑。對于噴涂區(qū)域內(nèi)的某點(diǎn)，其三維坐標(biāo)如下：

(x，y，z)=(rcosθ，rsinθ，f(kr))

(7)

θ=arctan2(y,x)

根據(jù)f(kr)的具體表達(dá)式和s點(diǎn)坐標(biāo)求點(diǎn)q坐標(biāo)，為計(jì)算出Vq作準(zhǔn)備：

(xq,yq,zq)=φ(xs,ys,zs)=

(8)

其中,Ω為點(diǎn)s所在平面與中心點(diǎn)O的距離；函數(shù)g為f的反函數(shù)，即g(z)=f-1(z)。如果用γ(u,w)表示點(diǎn)s的切平面，則γ(u,w)=s+uE1+vE2。用Ψ(u,w)表示把切平面γ映射到基準(zhǔn)平面，表示如下：

Ψ(u,w)=(φ°γ)(u,w)=(X(u,w)，Y(u,w)，Ω)=

E1×E2=nE1=(E11，E12，E13)

E2=(E21,E22,E23)

當(dāng)u、w較小的時(shí)候，γ(u,w)表示區(qū)域Rs，Ψ(u,w)表示區(qū)域Rq，放大系數(shù)AM為兩區(qū)域面積之比極限[22]，其結(jié)果如式(9)所示：

(9)

Vs(r)=Vs(xs,ys,zs)=AMVq(φ(xs,ys,zs))=

(10)

式(10)稱為任意投射模型下的累積模型平面轉(zhuǎn)換公式。由式(10)可以看出，噴涂平面s上的累積模型相當(dāng)于把基準(zhǔn)面上的累積模型在橫軸與縱軸上分別作了一次伸縮變換。

2.2 涂料投射新模型

2.1節(jié)推導(dǎo)了投射模型為任意函數(shù)時(shí)的速率轉(zhuǎn)換公式，在此基礎(chǔ)上，結(jié)合實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，提出了一種基于正態(tài)分布的曲線投射模型(即確定了投射模型的具體函數(shù)表達(dá)式，不再是抽象的表達(dá)式z=F(r))，其表達(dá)式如下：

z=F(kr)=L-Le-k2r2

(11)

式中，L為旋杯最大噴涂距離；k為方差，用于控制旋杯投射模型的形狀。

圖15 曲線投射模型示意圖Fig.15 Sketch map of curve projection model

在傳統(tǒng)的直線投射模型中，高度與半徑是正比例函數(shù)關(guān)系，即z=F(kr)=kr，假設(shè)噴涂面是平面，n=(0, 0, -1)，代入式(9)，則有

(12)

將式(12)代入式(10)，求得直線投射模型下的累積模型平面轉(zhuǎn)換公式：

對應(yīng)圖16中的“直線投射對應(yīng)V-r圖”。

若涂料投射模型為正態(tài)模型，同樣假設(shè)噴涂面為平面，把z=L-Le-k2r2代入式(9)，則有

(13)

將式(13)代入式(10)，求得正態(tài)投射模型下的累積模型平面轉(zhuǎn)換公式：

其圖像對應(yīng)圖16中的“正態(tài)投射對應(yīng)V-r圖”。

圖16 兩種投射模型的累積模型對比圖Fig.16 Comparison model of cumulative model between the two projection models

3 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

為了驗(yàn)證本文提出的旋杯累積速率模型及涂料投射模型的正確性，采用銘捷涂裝技術(shù)有限公司某型號的旋杯進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。

3.1 旋杯累積速率新模型

選擇某型號的旋杯，調(diào)節(jié)圖1所示的成形空氣的壓力值使得旋杯的模型分別是非圓環(huán)形與圓環(huán)形，且分別噴涂單位時(shí)間，得到圖17所示的噴斑圖形，然后分別測試兩噴斑的徑向漆膜厚度分布情況得到累積速率的數(shù)據(jù)點(diǎn)(需要注意的是，對某個(gè)噴斑而言，其不同徑向的漆膜厚度分布稍有不同，所以測試了4個(gè)徑向的厚度分布再取平均值)；之后用雙偏置β模型分別進(jìn)行擬合，從圖18中可以看出，雙偏置β模型可以較好地?cái)M合非圓環(huán)與圓環(huán)兩種模型。

3.2 涂料投射新模型

估算旋杯允許的噴涂距離區(qū)間，把距離區(qū)間均分為4份，保持旋杯的流量、轉(zhuǎn)速、電壓等其他參數(shù)不變，在各個(gè)高度下進(jìn)行噴涂，然后分別測試各個(gè)高度下的厚度模型數(shù)據(jù)，共得到5組數(shù)據(jù)。根據(jù)實(shí)驗(yàn)所得的數(shù)據(jù)，結(jié)合2.2節(jié)的理論推導(dǎo)，首先用雙偏置β模型擬合出最小與最大高度下的2個(gè)累積速率模型并得出5個(gè)高度下的噴涂半徑，然后分別用正態(tài)投射模型和直線投射模型擬合半徑數(shù)據(jù)，得到旋杯的新舊兩種投射模型。以最小噴涂距離下的累積速率模型為基準(zhǔn)面速率模型，結(jié)合式(12)與式(13)，分別得到基于正態(tài)投射模型與直線投射模型的某高度(如最大高度)下的累積速率模型的理論模型，把兩種理論累積模型和該高度下的實(shí)際累積模型作對比，如圖19所示。

圖17 非圓環(huán)與圓環(huán)形噴斑Fig.17 Spray patterns of single peak type and ring type

圖18 雙偏置β模型擬合兩種累積速率模型Fig.18 Double bias β model fits two cumulative rate models

從圖19中可以看出，由基于正態(tài)投射模型計(jì)算出的理論累積模型更接近于實(shí)測數(shù)據(jù)點(diǎn)。

4 結(jié)論

(1)本文提出了一種新的適用于旋杯的累積速率數(shù)學(xué)模型——雙偏置β模型，該模型不僅能表達(dá)多類型的圓環(huán)形模型，也能回歸到經(jīng)典的β模型用于表達(dá)非圓環(huán)形模型，還能用于一些特殊形狀模型的表達(dá)。

(2)推導(dǎo)了任意曲線投射模型下工件曲面上某點(diǎn)累積速率與基準(zhǔn)面上其對應(yīng)點(diǎn)累積速率的關(guān)系，在此基礎(chǔ)上，推導(dǎo)了任意投射模型下的累積模型平面轉(zhuǎn)換公式，并結(jié)合實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，構(gòu)建了基于正態(tài)分布的曲線投射模型。

(3)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了新模型的適用性與準(zhǔn)確性。