趙海濱， 于清文， 劉 沖， 陸志國， 顏世玉

(東北大學(xué) 機(jī)械工程與自動(dòng)化學(xué)院， 沈陽 110819)

0 引 言

混沌是非線性動(dòng)力系統(tǒng)的固有特性，是非線性系統(tǒng)普遍存在的現(xiàn)象，廣泛存在于自然界和人類社會(huì)中[1]?；煦缈刂圃诠こ碳夹g(shù)上具有重大的研究價(jià)值和誘人的應(yīng)用前景，成為非線性科學(xué)研究的熱點(diǎn)之一，引起了廣泛的關(guān)注?；煦缤綉?yīng)用于保密通信[2-3]具有保密程度好，信息量大等優(yōu)點(diǎn)，是目前研究的熱點(diǎn)。

越來越多的院校將蔡氏混沌電路[4-7]用于模擬混沌效應(yīng)，取得了一定的效果，但是存在實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)復(fù)雜，結(jié)果不夠形象和直觀，教學(xué)內(nèi)容呆板等問題。采用Matlab/Simulink軟件進(jìn)行混沌系統(tǒng)的建模和同步控制能夠克服這些缺點(diǎn)，為混沌理論的教學(xué)和科研提供了一個(gè)新的輔助手段。

本文采用Matlab/Simulink軟件對(duì)Lorenz混沌系統(tǒng)進(jìn)行建模和同步控制。根據(jù)Lorenz混沌系統(tǒng)的微分方程，給出了4種建模方法進(jìn)行建模，并對(duì)這些方法進(jìn)行了分析。通過狀態(tài)線性反饋方法進(jìn)行了Lorenz混沌系統(tǒng)的同步控制。利用Matlab/Simulink軟件進(jìn)行混沌系統(tǒng)的建模和同步仿真實(shí)驗(yàn)，彌補(bǔ)了傳統(tǒng)物理實(shí)驗(yàn)和混沌電路的不足，把抽象的混沌問題進(jìn)行簡明、直觀的展示，可以加深學(xué)生對(duì)混沌現(xiàn)象本質(zhì)的認(rèn)識(shí)，了解混沌的同步控制方法，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，為混沌理論和實(shí)驗(yàn)教學(xué)提供了新途徑。

1 Matlab/Simulink軟件

隨著科學(xué)技術(shù)、仿真理論及計(jì)算機(jī)的不斷發(fā)展，仿真技術(shù)不斷提高，已經(jīng)成為現(xiàn)在科學(xué)研究不可缺少的手段。將仿真技術(shù)應(yīng)用于科學(xué)研究中，不僅能夠提高科學(xué)研究的水平，還能縮短科學(xué)研究的周期，最主要的是能降低科學(xué)研究的成本及風(fēng)險(xiǎn)。Matlab軟件功能強(qiáng)大、使用簡單方便，并且對(duì)問題的描述和求解符合人們的思維習(xí)慣和數(shù)學(xué)表達(dá)習(xí)慣，已經(jīng)廣泛應(yīng)用于動(dòng)態(tài)系統(tǒng)仿真[8-9]。Matlab軟件不僅可以用于連續(xù)系統(tǒng)和離散系統(tǒng)，還可以用于線性系統(tǒng)和非線性系統(tǒng)。Simulink是Matlab軟件最重要的組件之一，能夠進(jìn)行系統(tǒng)建模、仿真和綜合分析等[10]，通過和外界硬件的接口還可以建立半實(shí)物仿真和實(shí)時(shí)控制實(shí)驗(yàn)。利用Matlab軟件進(jìn)行混沌系統(tǒng)的仿真實(shí)驗(yàn)具有良好的可控性、重復(fù)性、易觀察和經(jīng)濟(jì)性等優(yōu)點(diǎn)，有望為科研和教學(xué)工作提供新的輔助手段。Matlab/Simulink軟件非常適合進(jìn)行混沌系統(tǒng)的建模和仿真[11-13]，因此本文采用Matlab/Simulink軟件建立混沌同步控制實(shí)驗(yàn)。

2 Lorenz系統(tǒng)的建模

Lorenz系統(tǒng)作為第一個(gè)混沌的物理和數(shù)學(xué)模型，極大地激勵(lì)和推動(dòng)了混沌學(xué)的理論發(fā)展和后來混沌在許多工科學(xué)科中的應(yīng)用。Lorenz系統(tǒng)作為混沌的一個(gè)數(shù)學(xué)抽象，說明了一個(gè)確定性的系統(tǒng)能夠以最簡單的方式展現(xiàn)出非常復(fù)雜的形態(tài)。Lorenz系統(tǒng)的方程為：

(1)

式中：x、y和z為系統(tǒng)的狀態(tài)變量；a、b和c為固定值。當(dāng)a=10，b=8/3，c=28時(shí)，Lorenz系統(tǒng)進(jìn)入混沌狀態(tài)。下面通過4種方法進(jìn)行Lorenz混沌系統(tǒng)的建模和仿真。

2.1 方法1

在Matlab軟件中，函數(shù)ode 45( )表示采用4-5階Runge-Kutta算法進(jìn)行常微分方程的數(shù)值求解。本文首先采用函數(shù)ode 45( )進(jìn)行Lorenz系統(tǒng)的建模，腳本程序?yàn)椋?/p>

clear; close all;

a=10; b=8/3; c=28;

Lorenz=@(t, x) ([a*(x(2)-x(1)); …

c*x(1)-x(1)*x(3)-x(2); x(1)*x(2)-

b*x(3)]);

op=odeset(’RelTol’, 1e-5);

[t, xyz]=ode45(Lorenz,[0 50],[2,-2,2],op);

figure; plot3(xyz(:, 3), xyz(:, 2), xyz(:, 1));

xlabel(’z’); ylabel(’y’); zlabel(’x’);

figure; plot(xyz(:, 1), xyz(:, 2));

xlabel(’x’); ylabel(’y’);

figure; plot(t, xyz(:, 1));

xlabel(’t /s’); ylabel(’x’);

在程序中用匿名函數(shù)來描述混沌系統(tǒng)的微分方程，然后采用函數(shù)ode 45( )對(duì)微分方程進(jìn)行數(shù)值求解。系統(tǒng)的仿真的時(shí)間為50 s， Lorenz系統(tǒng)的初始值為x(0)=2，y(0)=-2，z(0)=2。Lorenz混沌系統(tǒng)中，3個(gè)狀態(tài)變量的三維相空間曲線，如圖1所示；狀態(tài)變量x和y的二維相空間曲線，如圖2所示；狀態(tài)變量x隨時(shí)間t的變化曲線，如圖3所示。

圖1 Lorenz系統(tǒng)的三維相空間曲線

圖2 x和y的二維相空間曲線

圖3 x隨時(shí)間t的變化曲線

2.2 方法2

在Simulink中，采用基本的模塊進(jìn)行Lorenz系統(tǒng)的建模，如圖4所示。微分方程中的每一個(gè)微分量對(duì)應(yīng)一個(gè)積分模塊，并對(duì)積分模塊的初始值進(jìn)行設(shè)置。在圖4中，利用Simulink中的Scope模塊顯示各個(gè)狀態(tài)變量的響應(yīng)。系統(tǒng)的狀態(tài)變量保存到Matlab軟件的工作空間中，然后可以采用繪圖函數(shù)繪制相空間曲線。

圖4 采用基本模塊進(jìn)行Lorenz系統(tǒng)建模

2.3 方法3

在Simulink中很多模塊都支持向量化輸入，可以把多路信號(hào)用Mux模塊變?yōu)橐宦沸盘?hào)，然后采用Simulink模塊庫中的Fcn模塊進(jìn)行建模。利用Fcn模塊和積分模塊對(duì)Lorenz系統(tǒng)進(jìn)行建模，如圖5所示，和圖4的模型相比更加的簡潔，而且不容易出錯(cuò)，易于修改。

圖5 采用Fcn模塊進(jìn)行Lorenz系統(tǒng)建模

2.4 方法4

對(duì)于復(fù)雜的系統(tǒng)，還可以采用Simulink中用戶自定義函數(shù)中的Matlab Function模塊。Matlab Function模塊簡稱M函數(shù)模塊，可以直接采用Matlab語言直接描述微分方程，更加的方便和簡潔。利用M函數(shù)模塊和積分模塊進(jìn)行Lorenz系統(tǒng)建模，如圖6所示。

在圖6中，Matlab Function模塊內(nèi)的程序代碼為：

function dxyz = fcn(xyz)

x=xyz(1); y=xyz(2); z=xyz(3);

a=10; b=8/3; c=28;

dx=a*(y-x);

dy=c*x-x*z-y;

dz=x*y-b*z;

dxyz=[dx; dy; dz];

圖6 采用M函數(shù)模塊進(jìn)行Lorenz系統(tǒng)建模

3 同步控制實(shí)驗(yàn)

本文的同步控制實(shí)驗(yàn)，采用狀態(tài)線性反饋方法。該方法是通過反饋差信號(hào)的調(diào)節(jié)作用，使響應(yīng)系統(tǒng)的演化軌道逐漸靠近驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的目標(biāo)軌道，直到兩者重合[14]。假設(shè)驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)，分別用(x1,x2,x3)和(y1,y2,y3)表示其狀態(tài)向量。驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的狀態(tài)方程表示為：

(2)

響應(yīng)系統(tǒng)的狀態(tài)方程表示為：

(3)

式中：u1、u2和u3為控制輸入。當(dāng)u1=u2=u3=0時(shí)，由于混沌系統(tǒng)對(duì)初值的敏感性，當(dāng)初值不同時(shí)驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)不能實(shí)現(xiàn)同步。

定義同步誤差為e1=y1-x1；e2=y2-x2；e3=y3-x3。當(dāng)u1=-k1e1；u2=-k2e2；u3=-k3e3時(shí)，基于狀態(tài)線性反饋的響應(yīng)系統(tǒng)為：

(4)

采用M函數(shù)模塊和積分模塊等建立混沌同步控制實(shí)驗(yàn)，如圖7所示。在圖7中，驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的初始狀態(tài)為x1(0)=2，x2(0)=-2，x3(0)=2，響應(yīng)系統(tǒng)的初始狀態(tài)為y1(0)=5，y2(0)=5，y3(0)=5。

圖7 混沌同步控制實(shí)驗(yàn)

在仿真過程中，采用變步長的ode 45算法，最大步長為1 ms，仿真時(shí)間為50 s?；煦缤娇刂茖?shí)驗(yàn)運(yùn)行后，混沌同步控制曲線如圖8所示(只顯示了前30 s)，很快就實(shí)現(xiàn)了響應(yīng)系統(tǒng)和驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的同步，并具有很好的穩(wěn)定性。

(a) x1和y1的同步曲線

(b) x2和y2的同步曲線

(c) x3和y3的同步曲線

混沌同步控制實(shí)驗(yàn)運(yùn)行后，狀態(tài)變量的同步誤差如圖9所示(只顯示了前8 s)。

圖9 同步控制誤差

采用狀態(tài)線性反饋進(jìn)行兩個(gè)Lorenz混沌系統(tǒng)的同步控制，在0.8 s就實(shí)現(xiàn)了驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)的同步，同步速度非?？?。

4 結(jié) 語

本文采用Matlab/Simulink軟件對(duì)Lorenz混沌系統(tǒng)進(jìn)行建模和同步控制。根據(jù)Lorenz系統(tǒng)的微分方程，給出了4種建模方法進(jìn)行Lorenz系統(tǒng)的建模，并對(duì)這些建模方法進(jìn)行了分析。通過狀態(tài)線性反饋方法進(jìn)行了Lorenz混沌系統(tǒng)的同步控制。通過利用Matlab/Simulink軟件進(jìn)行混沌系統(tǒng)的建模和同步仿真實(shí)驗(yàn)，彌補(bǔ)了傳統(tǒng)物理實(shí)驗(yàn)的不足，把抽象的混沌問題進(jìn)行簡明、直觀的展示，可以加深學(xué)生對(duì)混沌現(xiàn)象本質(zhì)的認(rèn)識(shí)，了解混沌的同步控制方法，為混沌理論和實(shí)驗(yàn)教學(xué)提供了新途徑。