龐志峰, 張慧麗, 史寶麗

(河南大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院, 開封 475004)

圖像在形成和傳輸過程中由于受到噪聲的干擾導(dǎo)致質(zhì)量下降, 擾亂人類感知事物的能力, 從而對(duì)圖像的后期處理(如邊緣檢測、特征提取等)造成影響, 因此對(duì)退化圖像進(jìn)行有效的去噪具有重要的研究價(jià)值。圖像去噪實(shí)質(zhì)就是提取有用信息, 抑制無用的噪聲信息。在去噪過程中, 噪聲與邊緣均呈現(xiàn)高頻性質(zhì), 因此如何有效地保護(hù)圖像的邊緣輪廓等重要的幾何特征已成為圖像去噪領(lǐng)域內(nèi)的重要研究課題。

在眾多的去噪模型中, 基于能量泛函的模型由于具有有效刻畫圖像結(jié)構(gòu)特征的數(shù)學(xué)性質(zhì), 在近十年來成為國內(nèi)外研究的熱點(diǎn)[1]。其中, Rudin等[2]于1992年提出的全變分(TV)去噪模型(ROF模型)具有開創(chuàng)性, 其是以梯度信息作為圖像平滑性的度量來實(shí)現(xiàn)圖像去噪與修復(fù)。由于該模型中的正則項(xiàng)所在的函數(shù)空間在廣義若當(dāng)測度意義下, 并不要求函數(shù)具有連續(xù)性, 因此能有效地保持圖像中不具有連續(xù)性的邊緣結(jié)構(gòu)特征, 從而在圖像復(fù)原領(lǐng)域內(nèi)得到了廣泛的應(yīng)用[3], 并推動(dòng)了基于能量泛函的圖像復(fù)原模型的發(fā)展。然而, ROF模型所依賴的梯度范數(shù)在模型中懲罰較小的躍遷信息時(shí), 經(jīng)常導(dǎo)致圖像的光滑漸變區(qū)域出現(xiàn)階梯現(xiàn)象。為此, 近年來基于ROF模型提出了眾多的改進(jìn)模型，如高階全變分去噪模型[4]、廣義全變分去噪模型[5]、加權(quán)全變分去噪模型[6]、方向全變分(DTV)去噪模型[7]、邊緣自適應(yīng)DTV去噪模型[8]、分?jǐn)?shù)階全變分去噪模型[9-10]、零化多項(xiàng)式去噪模型[11]等。上述模型雖然在一定程度上能反映圖像的結(jié)構(gòu)特征, 但是由于模型的固有屬性導(dǎo)致在數(shù)值計(jì)算過程中存在下述問題:①x與y方向的微分算子權(quán)重是對(duì)等的, 并沒有考慮圖像中結(jié)構(gòu)特征的差異性; ②對(duì)于具有方向性的圖像, 在數(shù)值計(jì)算時(shí)僅僅利用水平和豎直方向的差分并不能有效刻畫圖像的方向特征。

為了有效克服上述缺陷, 文獻(xiàn)[7]通過耦合旋轉(zhuǎn)算子、各向異性加權(quán)算子與差分算子等3類算子提出了DTV去噪模型。隨后, 文獻(xiàn)[8]提出了具有邊緣自適應(yīng)性的DTV去噪模型。上述2類模型在微分格式上具有方向性和加權(quán)性, 因此在去噪過程中能很好地保持圖像的方向特征。但是, 這些模型并未考慮圖像中的結(jié)構(gòu)性特征, 而這些結(jié)構(gòu)性特征在梯度意義下表現(xiàn)為稀疏性或者躍遷性, 因此對(duì)全變分算子進(jìn)行有效的約束至關(guān)重要。為此, 本文提出了一種具有魯棒性的基于p的DTV去噪模型。在該模型中, 為了刻畫圖像中的不同結(jié)構(gòu)特征, 正則項(xiàng)的指數(shù)p由圖像的結(jié)構(gòu)來確定在(0,2)中自適應(yīng)選取。同時(shí), 根據(jù)圖像中局部紋理的方向信息, 構(gòu)造旋轉(zhuǎn)算子和各向異性加權(quán)算子從而使得模型刻畫圖像的結(jié)構(gòu)更具有魯棒性。由于本文模型是具有可分性的非光滑優(yōu)化問題,提出了用交替方向乘子法(Alternating Direction Method of Multipliers, ADMM)[12-13]有效求解,可以保證算法的收斂性。通過對(duì)比實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn), 相比于ROF模型與 DTV去噪模型, 本文模型在有效去除噪聲的同時(shí)能更好地保留圖像的細(xì)節(jié)信息, 并能處理具有多個(gè)主方向的紋理圖片。

1 圖像去噪模型

令u為初始清晰圖像,f為被噪聲污染的圖像,n為干擾噪聲, 則退化圖像模型可以表示為

f=u+n

圖像去噪問題的目的是從退化圖像f中有效地復(fù)原初始圖像u。然而，在此過程中由于部分先驗(yàn)缺信息缺失，直接求解將導(dǎo)致經(jīng)典的病態(tài)問題。有效克服該問題的方法是正則化方法, 下面介紹幾類與本文有關(guān)的全變分正則化模型。

1.1 ROF模型

為了克服早期模型不能有效保持圖像邊緣的問題, Rudin等[2]于1992年提出了基于全變分的正則化去噪模型ROF。

(1)

式中：ξ=(ξ1,ξ2)T。顯然, 定義中不要求u具有連續(xù)性, 因此在去噪過程中能有效保持圖像邊緣。事實(shí)上, 該模型的最優(yōu)性條件[14]含有曲率項(xiàng)，該項(xiàng)本質(zhì)上對(duì)應(yīng)求解各向異性擴(kuò)散方程, 擴(kuò)散過程主要是沿著切線方向, 因此可以保持圖像中大的躍遷結(jié)構(gòu)。然而, 在求解過程中, 該模型的差分格式僅僅考慮水平和豎直2個(gè)方向, 并不能有效刻畫圖像中具有方向特征和像素值振蕩的情況。

1.2 DTV去噪模型

為了克服ROF模型不能有效描述圖像中帶有方向性結(jié)構(gòu)特征的缺陷, 文獻(xiàn)[7]提出了DTV去噪模型。

(2)

式中：Rθ為旋轉(zhuǎn)矩陣, 用來刻畫圖像中特征結(jié)構(gòu)方向性，θ為噪聲圖像f的旋轉(zhuǎn)角度；Λα為尺度矩陣, 用來耦合圖像在坐標(biāo)方向的權(quán)重。

1.3 改進(jìn)的圖像去噪模型

由于圖像中含有大量的冗余信息, 在一定的算子變換意義下表現(xiàn)為稀疏性, 因此近年來基于p擬模(0

(3)

式中：p∈(0,2)。當(dāng)0

2 數(shù)值方法

本節(jié)考慮模型式(3)的求解方法, 其對(duì)應(yīng)的離散形式為

(4)

其中：q=(q1,q2)。

上述差分格式可表示為如下五點(diǎn)差分格式，如圖1所示。

圖1 五點(diǎn)差分格式Fig.1 Five-point difference format

(5)

圖2 兩個(gè)差分方向取相同權(quán)重時(shí)的旋轉(zhuǎn)變換Fig.2 Rotation transformation when two differential directions take the same weight

圖3 兩個(gè)差分方向取不同權(quán)重時(shí)的旋轉(zhuǎn)變換Fig.3 Rotational transformation when two differential directions take different weights

利用增廣拉格朗日方法, 問題式(5)可轉(zhuǎn)化為極大極小值問題。

(6)

式中：β=(β1,β2)T,δ=(δ1,δ2)T,w=(w1,w2)T,β、δ為拉格朗日乘子；γ1、γ2>0為懲罰參數(shù)。顯然,鞍點(diǎn)問題式(6)為多變量優(yōu)化問題, 因此可以利用ADMM求解：

δk+1=δk+γ2(wk+1-ΛαR-θvk+1) (7e)

下面考慮式(7)中各個(gè)子問題的具體求解過程。

1) 求解子問題式(7a)

基于引理1, 子問題式(7a)可轉(zhuǎn)化為

(8)

進(jìn)一步便有

式中：γ和η如引理1所述。顯然該問題為光滑優(yōu)化問題, 故可交替求解。

算法1ADM求解w子問題。

初始化：γ2>0，選擇w0和ε0初始值。

步驟1執(zhí)行下述循環(huán)：

式中：ρ∈(0,1)為約束常數(shù)。

步驟2直到滿足終止條件，輸出w:=wk+1。

2) 求解子問題式(7b)

子問題式(7b)為光滑凸優(yōu)化問題, 其最優(yōu)化條件滿足:

γ2RθΛα(ΛαR-θv-wk+1)=0

(9)

顯然, 該問題對(duì)應(yīng)二元線性方程組, 其解可表示為

vk+1=(γ1I+γ2RθΛαΛαR-θ)-1·

(10)

式中：I為單位矩陣。

3) 求解子問題式(7c)

子問題式(7c)依舊為光滑凸優(yōu)化問題, 其對(duì)應(yīng)的最優(yōu)性條件為

(11)

由于本文假設(shè)的差分離散格式是循環(huán)邊界條件, 故用快速傅里葉變換求解：

(12)

式中：F與F-1分別表示傅里葉變換與傅里葉逆變換；Δ為拉普拉斯算子。

綜上, 求解問題式(4)的數(shù)值算法如下。

算法2求解問題式(4)。

輸入：初始變量v0、β0、δ0和參數(shù)λ、α、θ、γ1、γ2，以及最大迭代步數(shù)Maxiter和相對(duì)誤差Rerr。

步驟1利用算法1及式(10)、式(12)、式(7d)、式(7e)求解 (wk+1,vk+1,uk+1,βk+1,δk+1)。

步驟2若滿足終止條件, 算法終止, 輸出復(fù)原圖像u:=uk+1,否則令k=k+1, 返回步驟1。

3 數(shù)值實(shí)驗(yàn)

由于本文主要考慮方向性圖像, 故選取圖4所示4幅圖像作為測試圖像, 其中圖4(a)、(b)具有單一的方向特征, 圖4(c)、(d)具有多結(jié)構(gòu)的方向特征。

實(shí)驗(yàn)中基于MATLAB2017(b)進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn), 并采用信噪比SNR與結(jié)構(gòu)相似度SSIM來衡量圖像去噪的有效性。另外,若最大迭代次數(shù)達(dá)到500次或相對(duì)誤差滿足下述條件：

則算法終止。

圖4 仿真實(shí)驗(yàn)的原始圖像Fig.4 Original image of simulation experiment

3.1 參數(shù)選取

模型式(4)和算法2中主要存在尺度參數(shù)α、 旋轉(zhuǎn)角度參數(shù)θ、 正則化參數(shù)λ、 指數(shù)參數(shù)p與罰參數(shù)γ1、γ2。在這些參數(shù)中,λ為主參數(shù),其取值嚴(yán)重影響數(shù)值結(jié)果， 若太小,則圖像過度平滑導(dǎo)致邊緣模糊;若太大,則復(fù)原圖像趨向于噪聲圖像, 達(dá)不到去噪的目的。有效選取該參數(shù)的方法有L曲線方法或廣義交叉方法等。然而, 由于本文主要考慮模型的有效性, 因此主要采用經(jīng)驗(yàn)選取的方法, 即在較大的范圍[a,b]中選取一個(gè)小區(qū)間[c,d]使得圖像在區(qū)間中取得較好的復(fù)原結(jié)果。然后令λ=(c+d)/2為最優(yōu)參數(shù)值。針對(duì)方向參數(shù)θ與尺度參數(shù)α,根據(jù)圖像特征經(jīng)驗(yàn)性選取。模型中指數(shù)參數(shù)p的取值在影響模型凸性的同時(shí)也能判斷是否懲罰圖像結(jié)構(gòu)特征的稀疏性， 若p≥1, 則模型為凸性, 算法2可收斂到初始問題式(4)的全局最優(yōu)解， 尤其是若p接近2, 則有效保持圖像的光滑區(qū)域， 若p接近1, 則有效保持圖像的邊界區(qū)域， 反之, 若p∈[0,1), 則此時(shí)模型是非凸的, 由于其中的梯度算子為差分形式, 因此利用壓縮感知理論, 可知此時(shí)保持圖像的近似常數(shù)區(qū)域。實(shí)驗(yàn)中主要利用圖像的結(jié)構(gòu)特征對(duì)p進(jìn)行試探性選取。若去噪圖像具有較高的SNR時(shí), 選取p值為最優(yōu)值。如圖5所示, 在復(fù)原圖像4(a)和(b)時(shí)通過比較可以發(fā)現(xiàn)，選取p=0.6和p=1.8比較合適。針對(duì)罰參數(shù)γ1與γ2,實(shí)驗(yàn)中也采用經(jīng)驗(yàn)選取方法, 本文針對(duì)不同數(shù)據(jù)的實(shí)驗(yàn)在[0.03，22]之間選取。

圖5 DTVP模型去噪過程中SNR隨參數(shù)p的變化Fig.5 Variation of SNR with p during denoising by DTVP model

3.2 實(shí)驗(yàn)比較與分析

文獻(xiàn)[7]利用半隱式梯度下降法求解, 而該模型可以歸類于本文p=1的情況, 因此本文利用ADMM求解,記為ADMM-DTV, 并與ROF模型和DTV去噪模型進(jìn)行比較。

本文采用信噪比SNR和結(jié)構(gòu)相似度SSIM客觀評(píng)價(jià)質(zhì)量指標(biāo)對(duì)各種圖像處理結(jié)果進(jìn)行評(píng)價(jià)，如表1所示。評(píng)價(jià)去噪效果時(shí), SNR和SSIM的值越大, 表明去噪效果越好。本文中選取不同的圖像分別加入不同強(qiáng)度的噪聲(噪聲方差σ=0.01、0.05、0.1)進(jìn)行實(shí)驗(yàn), 表1總結(jié)了不同去噪算法對(duì)不同圖像實(shí)驗(yàn)結(jié)果的信噪比SNR和結(jié)構(gòu)相似度SSIM值的比較結(jié)果。可以看出, DTV、ADMM-DTV和DTVP去噪模型的SNR明顯高于ROF模型, 而且DTVP去噪模型比DTV和ADMM-DTV去噪模型的SNR和SSIM數(shù)值都大, 從側(cè)面反映出DTVP去噪模型的去噪效果更好, 不僅可以去除噪聲影響, 還可以重建出更多清晰的高頻段紋理, 當(dāng)圖像紋理越強(qiáng)時(shí), 去噪性能越優(yōu)。所加噪聲為σ=0.01時(shí), 對(duì)于圖4中方向單一的圖像(見圖4(a)、(b))，紋理性較弱, 圖像存在大面積平滑區(qū)域, DTV、ADMM-DTV和DTVP去噪模型去噪獲得的SNR高于ROF 模型不足1 dB,DTV、ADMM-DTV和DTVP去噪模型之間的SNR不太明顯。對(duì)于圖1中具有多結(jié)構(gòu)的方向圖像(見圖4(c)、(d)), 圖像紋理性較強(qiáng), 因此更能體現(xiàn)模型的優(yōu)越性, DTVP模型的SNR高于 ROF模型1.5 dB左右。

從圖6中的實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以看出, ROF、DTV和ADMM-DTV的殘差圖像灰度值較大, 且波動(dòng)較大, 而DTVP的殘差圖像灰度值較小, 圖像偏暗, 波動(dòng)較小。殘差圖像灰度值越小，圖像去噪效果越好。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，DTVP去噪模型去噪的效果明顯優(yōu)于ROF模型和DTV去噪模型, 去噪后的圖像紋理信息得到更好地保持。仿真實(shí)驗(yàn)中所加噪聲為σ=0.05, 尺度參數(shù)α=2, 旋轉(zhuǎn)角度參數(shù)θ=0.5π, 指數(shù)參數(shù)p=0.8。

本文以圖4(b)為例對(duì)圖像去噪前后的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比, 如圖7所示。經(jīng)過ROF、DTV、ADMM-DTV和DTVP去噪實(shí)驗(yàn)結(jié)果的SNR和SSIM分別為21.350 5 dB、21.530 8 dB、21.804 4 dB、22.024 1 dB、0.652 1、0.673 2、0.682 2和0.701 4。這從定量描述中反映出DTVP算法相比ROF、DTV、ADMM-DTV算法重建效果更佳。另外可以看到DTVP的去噪效果最好, 不僅提高了圖像的清晰度, 而且保留了圖像的紋理信息。仿真實(shí)驗(yàn)中所加噪聲σ=0.01， 尺度參數(shù)α=2.3， 旋轉(zhuǎn)角度參數(shù)θ=0.75π， 指數(shù)參數(shù)p=1.89。

本文以圖4(d)為例對(duì)圖像去噪前后的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比, 如圖8所示。從處理結(jié)果可看出,噪聲基本被抑制, 并且圖像的邊緣和細(xì)節(jié)特征也得到保留?？山徊秸f明, 本文的模型有效地將噪聲圖像基本恢復(fù)到接近于原圖。

表1 不同去噪模型去噪后所得的SNR和 SSIM比較Table 1 Comparison of SNR and SSIM obtained after denoising by different denoising models

圖6 不同去噪模型去噪后的殘差圖像比較Fig.6 Compare residual image after denoising by different denoising models

圖7 不同去噪模型去噪后的復(fù)原圖像比較Fig.7 Compare restored images after denoising by different denoising models

圖8 不同去噪模型去噪后的直方圖比較Fig.8 Compare histograms after denoising by different denoising models

4 結(jié) 論

本文通過分析ROF模型和DTV去噪模型,針對(duì)其不足, 提出了正則項(xiàng)基于參數(shù)p的自適應(yīng)模型, 并通過實(shí)驗(yàn)證明：

1) 具有全變分去噪模型的優(yōu)點(diǎn), 更好地去除平滑區(qū)域的噪聲, 降低了全變分模型引入的階梯效應(yīng)。

2) 具有DTV去噪模型的優(yōu)點(diǎn), 同時(shí)可以更好地刻畫圖像的結(jié)構(gòu)信息。

仿真實(shí)驗(yàn)表明, 本文提出的正則項(xiàng)基于參數(shù)p的自適應(yīng)方法降噪效果明顯優(yōu)于ROF模型和DTV去噪模型, 在去噪的同時(shí)保留了更多的圖像細(xì)節(jié)信息, 去除噪聲更充分,獲得更高的峰值信噪比和結(jié)構(gòu)相似度。當(dāng)圖像紋理方向性越明顯時(shí), 去噪優(yōu)越性越明顯, 主觀視覺效果方面更佳。另外,實(shí)驗(yàn)表明針對(duì)方向性明顯的圖像通常取較大的權(quán)重α, 以利于模型對(duì)應(yīng)的偏微分方程沿邊界切線方向擴(kuò)散, 進(jìn)而達(dá)到保持圖像邊緣的目的, 同時(shí)針對(duì)該類圖像可以有效地判斷方向角θ。然而，對(duì)于結(jié)構(gòu)比較復(fù)雜和噪聲較大的圖像, 權(quán)參數(shù)α與方向角θ的判斷更具有挑戰(zhàn)性。因此,下一步工作將研究如何結(jié)合圖像的結(jié)構(gòu)特征建立權(quán)重α與方向角θ具有自適應(yīng)選取性質(zhì)的圖像復(fù)原模型。