白晟州， 王慧疆， 韓潮， 張斯航

(北京航空航天大學(xué)宇航學(xué)院， 北京 100083)

隨著空間領(lǐng)域的研究、開發(fā)以及應(yīng)用的不斷提高，航天器功能與結(jié)構(gòu)日趨復(fù)雜，航天器在軌服務(wù)技術(shù)可以有效地保證航天器在復(fù)雜的空間環(huán)境中持久、穩(wěn)定、高質(zhì)量地在軌運行，因而成為當(dāng)前空間技術(shù)研究的熱門[1-6]。航天器在軌服務(wù)技術(shù)主要包含在軌檢查、交會對接和編隊飛行等，其中涉及的一個核心問題是航天器的繞飛問題，即通過對任務(wù)航天器施加脈沖或推力，使其繞目標(biāo)航天器作近距離周期運動。根據(jù)任務(wù)航天器繞目標(biāo)航天器運動的周期與目標(biāo)航天器本身運動的周期的比值，可以將繞飛分為“快速繞飛”與“慢速繞飛”。從更廣的意義上說，通過對任務(wù)航天器施加脈沖或推力，使其與目標(biāo)航天器距離始終保持在一定范圍內(nèi)，也可以稱作繞飛。

作為經(jīng)典相對運動方程，C-W(Clohessy-Wiltshire)方程得到了廣泛的關(guān)注與應(yīng)用。趙書閣和張景瑞[7]基于C-W方程研究了航天器共面圓型快速繞飛問題并相應(yīng)分析了2種典型方法；林來興[8]研究了繞飛軌道動力學(xué)和穩(wěn)定性；師鵬等[9]基于線性動力學(xué)模型，分析了有限推力下的航天器繞飛性質(zhì)；潘屹[10]對C-W方程的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣進(jìn)行了推導(dǎo)，給出了選擇懸停軌道的方法。這些理論進(jìn)一步完善和發(fā)展了C-W方程理論，但工程應(yīng)用價值有待提高。為了實現(xiàn)任務(wù)航天器對目標(biāo)航天器的懸?；蚶@飛，設(shè)計基于脈沖控制和小推力控制的繞飛構(gòu)型策略成為熱門研究。Straight等[11]提出了以圓形軌道參考衛(wèi)星為中心的特定環(huán)形區(qū)域內(nèi)的特定點的脈沖制導(dǎo)方案； Hope和Trask[12]提出一種脈沖控制下的水滴懸停構(gòu)型；Lovell和Tollefson[13]進(jìn)一步給出了水滴懸停構(gòu)型的參數(shù)表示方法；饒殷睿等[14]基于相對軌道要素描述了水滴懸停構(gòu)型；王功波等[15]在圓參考軌道和連續(xù)小推力條件下，推導(dǎo)了快速繞飛策略；羅建軍等[16]分析了快速受控繞飛；朱小龍等[17]提出了一種參數(shù)延拓方法，實現(xiàn)了有限推力bang-bang控制下的繞飛軌跡優(yōu)化問題；張冉等[18]推導(dǎo)了4種受迫繞飛構(gòu)型的解析表達(dá)式和脈沖控制策略，完善了受迫繞飛構(gòu)型設(shè)計理論。

上述方法均可實現(xiàn)懸?；蚴芷壤@飛，但模型構(gòu)建存在一定的局限性。大部分研究都是基于圓軌道假設(shè)，即參考軌道是圓軌道，無法有效地解決非圓參考軌道下的受迫繞飛問題；對于懸停構(gòu)型，大多采用脈沖推力或連續(xù)小推力實現(xiàn)構(gòu)型的保持，工程應(yīng)用難度較大。針對上述情況，本文提出了多段常值推力控制實現(xiàn)水滴懸停構(gòu)型的打靶方程，分析了近距離相對運動條件下兩段常值推力控制的可行性，數(shù)值仿真顯示分段常值小推力可以實現(xiàn)水滴懸停相對運動，與脈沖推力或連續(xù)小推力控制相比，更加符合工程實際。

1 水滴懸停構(gòu)型

水滴懸停構(gòu)型是航天器懸停構(gòu)型中一種典型構(gòu)型[19]，可同時滿足懸停和高精度要求。將構(gòu)型建立在質(zhì)心非慣性坐標(biāo)系中，如圖1所示。

圖1 水滴懸停構(gòu)型三維示意圖Fig.1 Schematic diagram of 3D teardrop hovering configuration

1.1 水滴懸停打靶方程

給出經(jīng)典軌道攝動方程：

(1)

根據(jù)水滴懸停構(gòu)型，可以得到施加脈沖前后任意時刻對應(yīng)的軌道要素，不妨設(shè)施加脈沖前某時刻為t0，施加脈沖后的某時刻為tf，則對應(yīng)的軌道要素分別為為X(t0)和X(tf)，若在X(t0)處施加多段常值推力，使其在tf時刻軌道要素剛好為X(tf)，則實現(xiàn)了用多段常值推力代替脈沖實現(xiàn)水滴懸停構(gòu)型。

假定任務(wù)航天器在一個水滴周期內(nèi)通過N段常值推力維持懸停構(gòu)型，則常值小推力f可表示為

f=f(t1,t2,…,tN-1,Ft1,Fn1,Fh1,…，F(xiàn)tN,FnN,

FhN)=f(t1,t2,…,tN-1,μ1,μ2，…，μN)

(2)

根據(jù)上述分析，可建立相應(yīng)的打靶方程。

(3)

1.2 最小二乘法求解常值推力

因為攝動方程是高度非線性的微分方程組，無法直接求解常值推力解析解，同時每段推力的作用時間也未知，也是待求量，所以將原方程問題轉(zhuǎn)化為極值問題求解，考慮到構(gòu)造極值問題：

by optf,t1,t2,…,tN-1

subject to:

(4)

顯然，優(yōu)變量隨著推力段數(shù)的增加而增加，相應(yīng)的計算時間也會大量增加，計算精度不能得到保證，且推力段數(shù)過多導(dǎo)致控制復(fù)雜，不利于工程實際應(yīng)用。應(yīng)當(dāng)考慮采用盡可能少的推力段數(shù)實現(xiàn)常值推力控制。

2 單段常值推力與多段常值推力

首先分析只采用一段常值推力下的情況：

(5)

式中：ft,fn,fh為t時刻μ1在3個方向上的投影分量。將μ1看作參數(shù)，根據(jù)常微分方程解對參數(shù)的連續(xù)依賴性，X(μ1,tf)為關(guān)于μ1的可微連續(xù)函數(shù)，即X(μ1,tf)局部上是一個三維微分流形，而X(μ1,tf)的值本身是六維空間的元素。顯然，三維流形無法覆蓋六維空間，也就是說，很多情況下，不存在滿足條件的μ1，使得

X(tf)=X(μ1,tf)=X(μ1,t0)+

(6)

其次，考慮兩段常值推力，假設(shè)兩段常值推力作用時間相同，則代入最小二乘優(yōu)化函數(shù)里，優(yōu)化變量只有兩段常值推力，即六維變量。小鄰域定理保證了解的局部存在性。

小鄰域定理：近距離運動假設(shè)下，固定時間內(nèi)，對于參考軌道，存在一個小鄰域?qū)ζ渲腥我庖稽c，一定存在兩段常值推力解。

數(shù)學(xué)描述如下：

設(shè)X1(μ1,μ2,tf)是兩段常值推力軌道，在t0時刻與參考軌道X0(t0)相等，在[t0,(t0+tf)/2]內(nèi)推力為μ1；在[(t0+tf)/2,tf]內(nèi)推力為μ2；對于tf時刻參考軌道瞬時要素X(tf)，一定存在以其為圓心的一個鄰域B(X(tf),δ)(見圖2)，對其中任意一點Xtf，一定存在μ1,μ2，使得X1(μ1,μ2,tf)在tf時刻的軌道要素恰好是Xtf。

證明根據(jù)小推力線化方程[20]，有

(7)

式中：E0、Eh和Ef為參考軌道X0(t)分別在t0、(t0+tf)/2和tf時的偏近點角；A(E0,Eh)與A(Eh,Ef)均表示線化矩陣，具體表示詳見文獻(xiàn)[20]在近距離運動假設(shè)下，小推力線化方程的系數(shù)矩陣C可以近似代替雅可比陣。detC≠0，所以雅可比陣行列式不為零，根據(jù)逆映射定理，一定存在一個小鄰域滿足一一映射。

證畢

根據(jù)小鄰域定理，只要設(shè)計的推力曲線終端六要素位于以參考軌道終端時刻的六要素為圓心的小球內(nèi)，常值推力一定有解，因此，若設(shè)計的推力曲線終端六要素與參考軌道終端時刻的六要素滿足近距離相對運動假設(shè)，很大可能存在一對常值推力滿足：

圖2 小鄰域定理示意圖Fig.2 Schematic diagram of small neighborhood theorem

(8)

其中:推力f滿足：

(9)

3 修正公式

采用最小二乘法得到的雙段常值推力解往往精度較差，考慮采用迭代方法對解進(jìn)行修正，提高精度準(zhǔn)確性。

設(shè)映射函數(shù)F:Rn→Rn。

若存在根x0，使得F(x0)=0，且F(x0)的Jacobi矩陣JF(x0) 滿秩，若矩陣A≈JF(x0)。

證明對任意x,y∈B(x0,δ)，定義：

g(x)=x-A-1F(x)，g(y)=y-A-1F(y)

g(x)-g(y)=(x-y)-A-1(F(x)-F(y))=

(x-y)-A-1JF(y)(x-y)-A-1L(x-y)=

(I-A-1JF(y))(x-y)-A-1L(x-y)

這是因為當(dāng)x和y與x0接近，A-1JF(y)≈I,又有，若xk∈δ1，xk+1=xk-A-1F(xk)，則

xk+1-x0=xk-x0-A-1F(xk)-

A-1F(x0)=(I-A-1JF(x0))(xk-

x0)+m(xk-x0)xk-x0→0,m→0

由公式：

得

(10)

故xk+1∈B(x0,δ)。

證畢

(11)

可以提高最小二乘解的精度。

4 數(shù)值仿真

設(shè)參考星K的軌道要素為X=(a,e,i,Ω,ω,M)=(7 555 000 m，0，π/4，0，0，0)，其中半長軸單位為m。任務(wù)航天器W繞K作水滴懸停運動，水滴構(gòu)型幾何參數(shù)為(xhover,yhover,zhover,du)=(1 000 m，0，2 000 m，π/3)，其中du表示水滴構(gòu)型維持一周時參考星K繞地球轉(zhuǎn)過的弧度，用以表征水滴構(gòu)型的周期。

首先，根據(jù)方程式(4)，采用最小二乘法嘗試尋找一組多段推力解(μ1,μ2,μ3,μ4,μ5)。常值推力時間Δt為參考星K繞地球轉(zhuǎn)過0.124 rad所需時間。代入方程式(4)使用最小二乘法求解，并進(jìn)行了計算機仿真，仿真結(jié)果如圖3所示。

在(x,z)=(930,275 0) m時，任務(wù)航天器開始施加常值推力，直至(x,z)=(1 100,2 750) m時停止施加推力，其中一共采用了5段常值推力，推力結(jié)束后，任務(wù)航天器進(jìn)入自由段，不再施加推力，直到下一個周期/往復(fù)循環(huán)，表明確實存在多段常值推力控制可以代替脈沖推力使目標(biāo)航天器繞參考星進(jìn)行周期性水滴懸停運動，同時也說明最小二乘法可以較好地求解多段常值推力。

設(shè)參考星K的軌道要素仍然為X=(a,e,i,Ω,ω,M)=(7 555 000 m，0，π/4，0，0，0)，半長軸單位為m，任務(wù)航天器W繞K作水滴懸停運動，水滴構(gòu)型幾何參數(shù)為(xhover,yhover,zhover,du)=(1 000 m，0，1 000 m，2π/3)。常值推力時間Δt為參考星K繞地球轉(zhuǎn)過π/9所需時間。

盡管5段常值推力實現(xiàn)了周期性水滴懸停運動，但計算時間較長，控制較復(fù)雜。為了減少求解時間，得到更簡單的推力控制策略，考慮兩段常值推力實現(xiàn)懸停構(gòu)型，即在N=2的情況下進(jìn)行了仿真，首先通過最小二乘法得到雙推力初值，得到的結(jié)果精度差于5段常值推力控制，然后使用精度法對兩段推力解進(jìn)行精度修正，修正后的解精度較好，最后仿真結(jié)果如表1和表2所示。

圖4為僅用最小二乘法得到的兩段推力解。綠色軌跡代表施加脈沖推力的仿真效果，藍(lán)色段表示為無推力段，紅色段代表施加兩段常值推力作用后的結(jié)果?？梢钥闯觯瑑啥纬Ｖ低屏緦崿F(xiàn)了水滴懸停構(gòu)型控制，但控制精度較差，與原先構(gòu)型重合度較差。

如圖5所示，綠色軌跡代表施加脈沖推力的仿真效果，藍(lán)色段表示為無推力段，紅色段代表施加兩段常值推力作用后的結(jié)果。在(x,z)=(-300,3 500) m時，任務(wù)航天器開始施加常值推力，直至(x,z)=(2 250,3 300)m時停止施加推力，推力結(jié)束后，任務(wù)航天器進(jìn)入自由段，不再施加推力，直到下一個周期往復(fù)循環(huán)?？梢钥吹剑t色段與綠色段重合度較高，說明雙段常值推力解的精度較高，可以代替脈沖推力進(jìn)行水滴懸停構(gòu)型控制。

圖3 五段常值推力下仿真結(jié)果Fig.3 Simulation results of five-segment constant thrust

推力/(m·s-2)μ1μ2ft0.006796-0.006789fn-0.018311-0.0183068fh00

表2 修正后兩段常值推力結(jié)果Table 2 Results of modified two-segmentconstant thrust

圖4 未修正的兩段常值推力解Fig.4 Solution of unmodified two-segment constant thrust

圖5 修正后的兩段常值推力解Fig.5 Solution of modified two-segment constant thrust

仿真結(jié)果表明，兩段推力也可以很好地實現(xiàn)水滴懸停控制，具有較好的穩(wěn)定性。由于待解變量較少，相比多段常值推力，計算速度更快。

5 結(jié) 論

基于脈沖控制下的水滴懸停構(gòu)型和攝動方程，進(jìn)一步研究可以得到：

1) 多段常值推力控制問題可以轉(zhuǎn)化為求解水滴懸停構(gòu)型的打靶方程，最小二乘法是一種求解此類問題的實用方法。

2) 小鄰域定理為近距離相對運動條件下兩段常值推力控制提供了可行性，懸停構(gòu)型采用兩段常值推力，一定程度上保證了解的存在性，也縮小了優(yōu)化變量的數(shù)量，提高優(yōu)化精度并減少優(yōu)化時間。

3) 若最小二乘解的精度不夠，但距離理想解不太遠(yuǎn)，那么采用迭代方法對最小二乘解進(jìn)行修正，可以提高精度，甚至收斂到理想解。