富 娜，楊 墨

(西南交通大學 數學學院，四川 成都 610031)

0 引 言

設Ω是R3上帶有光滑邊界Γ的有界區(qū)域,我們考慮帶有可加白噪聲的Boussinesq方程：

(0.1)

其邊界條件

u|Γ=Δu|Γ=0

(0.2)

給定初值條件

u(0)=u0,ut(0)=u1,

(0.3)

其中，隨機函數W(t)是定義在概率空間(Ω,F,P)上的一維雙邊維納過程,q(x)描述了一個可加白噪聲.

假設(0.1)中非線性函數f(u)滿足下面的條件

f∈C2(R,R),f(0)=0

(0.4)

|f″(s)|≤C(1+|s|p-2), 2≤p≤5

(0.5)

(0.6)

其中p>0,c>0是給定的常數,λ1是第一特征值.

自1872 年J.Boussinesq[3]推導出描述在淺水中小振幅長波傳播的 Boussinesq方程以來 ,各種類型的Boussinesq方程就成為眾多學者研究的對象.古典Boussinesq方程可描述為

utt-uxx-αuxxxx=β(u2)xx.

(0.7)

這里u(x,t)為流體自由表面的運動,常數α>0、β>0依賴于流體的深度和長波的特征速度. 當α<0時,方程(0.7)被稱為“好”的Boussinesq 方程.Bona和Sachs[4]研究了“好”的Boussinesq方程的初值問題的局部解的適定性.Sachs[5]研究了方程(0.7) 的初值問題整體解的不存在性.當α>0時, 方程(0.7)被稱為“壞”的Boussinesq 方程. 1982年, Deift等[6]將反散射理論應用于“壞”的Boussinesq方程的研究, 首次證明在初始函數呈負指數階一致衰減的條件下,下面的Boussinesq方程的初值問題是可解的.

utt-uxx-3uxxxx=-12(u2)xx.

(0.8)

1985年Levine和Sleeman[7]進一步指出，在一定條件下,方程(0.8)的初邊值問題不可能存在整體解.1996年陳國旺和楊志堅[8]用不同的方法討論了更一般的“壞”的Boussinesq 方程的初邊值問題解的“Blow up”問題.2008年,宋長明等[9]證明了一維情況下具強阻尼“壞”的Boussinesq 方程存在整體光滑解.2008年,楊志堅和郭柏靈[10]證明了多維Boussinesq 方程初值問題整體弱解的存在性. Lai等[11]研究了更一般的具阻尼Boussinesq 方程的Cauchy問題的整體適定性,并給出一個長時間的漸近解.

整體吸引子是研究具有耗散項非線性發(fā)展方程的長時間行為的一個基本概念,現(xiàn)已有很多研究[12-13]. Boussinesq方程的整體吸引子問題受到廣泛關注[14-17].

2012年,楊志堅[18]研究了具阻尼項的Boussinesq方程

utt-Δut+Δ2u-Δf(u)=g(x)

解的長時間行為,在f(u)非超臨界情況下得到方程對應解算子半群整體吸引子及指數吸引子的存在性. 現(xiàn)在我們有必要給上面的方程增添一個隨機部分——加性白噪聲, 來研究隨機的情形, 它的整體吸引子是否仍然存在?

本文的安排如下:第一部分引言; 第二部分討論了方程(0.1)初邊值問題解的存在惟一性以及方程的解可以確定一個隨機動力系統(tǒng); 第三部分得到方程解的有界性; 第四部分證明隨機吸引子的存在性.

1 解方程并產生相應的隨機動力系統(tǒng)

為了本文證明方便,將空間L2(Ω)中的內積和范數記為(·，·)0和‖·‖0,并將其定義為

引入內積空間E=H×L2(Ω),將空間E中的內積和范數記為(·，·)E和‖·‖E,并將其定義為

其中u=(u1,u2)T,v=(v1，v2)T.

為了證明解的存在性,設v=ut,則方程(0.1)的初邊值問題與下面的一階發(fā)展方程問題等價

定義線性算子L∶D(L)?E→E,其中L的定義域為集合

令

則方程(1.1)與下面的系統(tǒng)等價

(1.2)

令?=(u,z)T=(u,ut-qω)T，則通過保測度變換,可得出系統(tǒng)(1.2)的等價系統(tǒng)

(1.3)

為得到方程(1.2)的解的存在性,下面研究算子L的性質：

引理1.1 算子滿足

(i) 對任意的?∈D(L),有(L(?),?)E≥0.

(ii)I+L的值域為E,其中I為恒等算子.

(iii)-L的預解集包含R+=[0，+∞).

對λ≥0以及?=(u,v)T∈D(L),有

因此可知，‖(λI+L)?‖E≥λ‖?‖E，故可驗證算子L滿足性質(iv).

對于性質(ii)可參考文獻[19-21].

定理1.2 假設(0.4)～(0.6)成立,對任意?0∈E,存在惟一的弱解?∈C0([0，∞);E)滿足

且對任意固定t≥0,映射

S(t)∶?0=(u0,u1)T→?(t)=(u(t),ut(t))T,E→E.

2 吸收集

這一部分將證明半群S(t)在E上存在有界吸收集,為了得到這一結論,將方程(0.1)的初邊值問題轉化為一階方程.

設

則問題(2.1)等價于

(2.2)

由方程(2.2)可知,其解可以定義一個連續(xù)的算子半群

且滿足S(t)=RεSε(t),其中(u,ut)→(u,ut+εu)是E上的一個同構,所以Sε(t)是S(t)的一個同構.同時由于(1.2)與(1.3)的等價關系,我們只需要研究(1.2)的等價系統(tǒng)(2.2)的隨機動力系統(tǒng)Sε(t).

下面介紹一個輔助引理,它是證明半群的吸引子的存在性的核心工具.

證明在E中

(2.3)

由Green第二公式以及零邊界條件可得

(2.4)

由式(2.3),式(2.4) 可得

因此有

所以上式大于等于0,即引理2.1成立. 證畢.

為得到系統(tǒng)(2.2)的解的有界性,有:

引理2.2 若對E中任意一個有界集B,都存在一個緩增的隨機變量C1(ω)>0和T0(ω)=T0(B,ω)∈B，對t≥T0(w)以及φ(0)∈B有‖Sε(t)φ(0)‖≤C1(ω).

(2.5)

整理可得

利用Green第二公式可得

因此有

由式(0.5)和Holder不等式以及Young不等式可知,

其中K為(0，λ1)之間的常數.

因此有

≤+C1(ε,k)(Φ+O(|g|)+H(|w|))P,

其中O(|g|),H(|W|)是關于|g|、|W|的正定函數.

令Ψ=Φ+O(|g|)+H(|W|)，則可得

(f′(u)u,u)0≥-k‖

由一般Gronwall公式[12]以及Sobolev嵌入定理有

3 漸近緊性

為了得到系統(tǒng)(0.1)的初邊值問題，在E中存在吸引子,我們下面證明Sε(t)的漸近緊性.換而言之，Sε(t)具有緊的吸收集,因此需要將式(0.1)的初邊值問題的解分為兩部分.

設u=w+v,其中w,v分別是下面問題的解,則式(0.1)可分解為

和

設

于是式(3.1)可以轉化為下面的方程

(3.3)

引理3.1 對E中的任意有界集B,有

證明對等式(3.3)兩邊與φb在E中作內積,有

(3.4)

而

因為

所以

(3.5)

于是，由式(3.4)可得

由Gronwall引理可得

證畢.

設

于是式(3.2)可寫作如下形式

(3.6)

引理3.2 設B0是空間E中的任意一個吸收集,存在一個正常數C2,使得

其中σ∈(0,1].

證明用Aσφα對式(3.6)兩邊在E中作內積,得

(3.7)

用類似于引理2.1的方法計算可得

于是，有

根據Cauchy-Schwartz不等式,

(3.8)

(3.9)

(3.10)

(3.11)

下面首先說明引理證明過程中用到的Sobolev嵌入定理.

其中v∈[1,2].

本文討論n=3時的情況.當n=3時,有H2(Ω)?L∞(Ω),L4(Ω)?H1(Ω),取v=σ+1,所以有

以及

由Sobolev嵌入定理可得

≤M1.

再利用Gronwall不等式,計算可得

定理3.3 隨機動力系統(tǒng)Sε(t)在E中有一個緊的隨機吸引子A,其中A是B0的ω-極限集.

證明由于隨機動力系統(tǒng)S(t)與隨機動力系統(tǒng)Sε(t)是等價的,則隨機動力系統(tǒng)Sε(t)存在一個緊的隨機吸引子Aε.