何 苗， 孫蓓蓓

(東南大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，南京 211189)

深孔鏜削加工時(shí)鏜桿的懸伸量較大，鏜桿長(zhǎng)徑比越大剛度越低，越容易產(chǎn)生切削顫振，所以深孔加工一直是機(jī)械加工的難題，也是國(guó)內(nèi)外學(xué)者研究的熱點(diǎn)。動(dòng)力減振鏜桿是在鏜桿內(nèi)部空腔放置一個(gè)有阻尼動(dòng)力吸振器，可以有效地減少切削顫振，提高加工精度。為了設(shè)計(jì)減振鏜桿，必須建立其動(dòng)力學(xué)模型，需要識(shí)別出等效質(zhì)量和等效剛度，從而把連續(xù)體實(shí)際結(jié)構(gòu)等效為理想的集中參數(shù)模型。所以鏜桿主系統(tǒng)的等效參數(shù)準(zhǔn)確與否，直接關(guān)系到鏜桿內(nèi)部的動(dòng)力吸振器的動(dòng)力參數(shù)設(shè)計(jì)。

目前，動(dòng)力減振鏜桿的研究大多集中于吸振器參數(shù)優(yōu)化設(shè)計(jì)[1-5]、顫振抑制機(jī)理[6]、吸振器工程實(shí)現(xiàn)[7]、動(dòng)力學(xué)特性[8-10]等。Sims針對(duì)切削顫振提出一種吸振器的解析調(diào)優(yōu)策略，Miguelez等基于Sims調(diào)優(yōu)策略，給出了鏜削過(guò)程中最佳調(diào)諧頻率的新解析表達(dá)式，并提出了吸振器頻率比和阻尼比的經(jīng)驗(yàn)擬合表達(dá)式，羅紅波等利用幅頻響應(yīng)曲線面積最小法來(lái)修正全局尋優(yōu)搜索法求得的設(shè)計(jì)參數(shù)值從而得到一組最優(yōu)參數(shù)值。Henrik等研究了夾緊性能對(duì)鏜桿動(dòng)態(tài)特性的影響，Sortin等提出一種基于有限元梁和經(jīng)驗(yàn)的鏜刀系統(tǒng)混合動(dòng)力模型，Moetakef-Imani等給出了鏜削過(guò)程的動(dòng)力學(xué)仿真方法。

識(shí)別動(dòng)力學(xué)模型的等效參數(shù)研究不多，大多將等效參數(shù)作為已知條件， Miguelez、Rubio等和Houck III等將鏜桿模型作為等截面梁進(jìn)行研究。實(shí)際減振鏜桿結(jié)構(gòu)(見(jiàn)圖1)內(nèi)部有一長(zhǎng)段空腔用于安裝動(dòng)力吸振器，鏜桿主系統(tǒng)橫截面是不等的。何山等[11]提出的基于正交多項(xiàng)式法的動(dòng)力吸振器安裝點(diǎn)的等效質(zhì)量識(shí)別方法，需要測(cè)得動(dòng)力吸振器安裝點(diǎn)的原點(diǎn)頻響函數(shù)，并用正交多項(xiàng)式進(jìn)行擬合，對(duì)于減振鏜桿這類(lèi)結(jié)構(gòu)較簡(jiǎn)單的主系統(tǒng)，識(shí)別過(guò)程較復(fù)雜?？傊壳皠?dòng)力減振鏜桿等效模型的等效參數(shù)識(shí)別都是通過(guò)實(shí)驗(yàn)和仿真的方法，效率低，傳統(tǒng)質(zhì)量感應(yīng)法識(shí)別過(guò)程復(fù)雜，識(shí)別精度低。特別是當(dāng)鏜桿的尺寸、結(jié)構(gòu)、材料等發(fā)生改變時(shí)，必須重新建模仿真或?qū)嶒?yàn)，費(fèi)時(shí)費(fèi)力，本文提出一種新的識(shí)別動(dòng)力減振鏜桿主系統(tǒng)等效參數(shù)的計(jì)算方法，可以快速計(jì)算出鏜桿主系統(tǒng)參數(shù)，其計(jì)算結(jié)果比等截面鏜桿計(jì)算結(jié)果更準(zhǔn)確，效率和精度相比傳統(tǒng)方法提高。

本文將大長(zhǎng)徑比的鏜桿看做懸臂梁，由于橫截面不等，目前廣泛應(yīng)用的均質(zhì)梁的求解公式不再適用，而且等截面懸臂梁的等效質(zhì)量計(jì)算公式也不適用于非自由端等效點(diǎn)的等效質(zhì)量計(jì)算。所以本文根據(jù)減振鏜桿橫截面明顯的分段特點(diǎn)，提出了基于歐拉—伯努利梁理論和分段連續(xù)條件的方法求解主系統(tǒng)的固有頻率和固有振型函數(shù)，再根據(jù)最大動(dòng)能不變?cè)瓌t，推導(dǎo)出了主系統(tǒng)等效質(zhì)量的求解公式，由此可求解出鏜桿主系統(tǒng)所有等效參數(shù)。數(shù)值仿真結(jié)果表明，此計(jì)算方法比將鏜桿作為等截面梁計(jì)算更為準(zhǔn)確，可準(zhǔn)確地計(jì)算出動(dòng)力減振鏜桿的主系統(tǒng)參數(shù)，從而提高動(dòng)力減振鏜桿設(shè)計(jì)效率，同時(shí)適用于其他不等截面梁等效參數(shù)的求解。

1 動(dòng)力減振鏜桿模型

動(dòng)力減振鏜桿的結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖如圖1所示。從圖1中可以看出，鏜刀桿體、車(chē)刀轉(zhuǎn)接頭和車(chē)刀構(gòu)成主系統(tǒng)，鏜桿內(nèi)部的振芯、橡膠圈和阻尼油構(gòu)成了動(dòng)力吸振器的質(zhì)量m、剛度k和阻尼c系統(tǒng)，為了設(shè)計(jì)動(dòng)力吸振器系統(tǒng)，需要根據(jù)吸振器的安裝位置對(duì)主系統(tǒng)進(jìn)行動(dòng)力學(xué)等效，從而得到主系統(tǒng)的等效參數(shù)。忽略主系統(tǒng)阻尼，動(dòng)力減振鏜桿的等效模型如圖2所示。其中，M和K即為主系統(tǒng)的等效質(zhì)量和等效剛度，m，k和c是吸振器的設(shè)計(jì)參數(shù)。

圖1 減振鏜桿結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖Fig.1 Dynamic damping boring bar

2Euler-Bernoulli經(jīng)典梁理論求解鏜桿彎曲模態(tài)

動(dòng)力減振鏜桿在實(shí)際加工中為橫向振動(dòng)，由于其長(zhǎng)徑比大，所以可以使用Euler-Bernoulli經(jīng)典梁理論進(jìn)行計(jì)算。根據(jù)Euler-Bernoulli梁理論，等截面梁自由振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程為

圖2 動(dòng)力減振鏜桿等效模型Fig.2 Dynamic damping boring bar equivalent model

(1)

求解運(yùn)動(dòng)方程式(1)，利用分離變量法，即令y(x,t)=Y(x)T(t)

可得等截面懸臂梁的固有振型函數(shù)為

Y(x)=Acos(βx)+Bsin(βx)+
Ccosh(βx)+Dsinh(βx)

(2)

由圖1可以看出，鏜桿作為非等截面懸臂梁進(jìn)行計(jì)算時(shí)，可以根據(jù)其橫截面不同，分為三段，每段長(zhǎng)度用li表示，彎曲剛度和線密度用EIi和ρAi表示(i=1,2,3)。在刀具裝夾端建立坐標(biāo)系，如圖3所示，xE為振芯質(zhì)心位置即吸振器安裝位置，也是鏜桿主系統(tǒng)的等效點(diǎn)位置。每段連接處的連續(xù)條件為位移、轉(zhuǎn)角、彎矩和剪力連續(xù)。

圖3 刀桿分段坐標(biāo)系Fig.3 Boring bar segmented coordinate system

根據(jù)Euler-Bernoulli梁理論，減振鏜桿主系統(tǒng)的振型函數(shù)Y(x)可以分段表示為

(3)

其中，

(4)

將待定系數(shù)用矩陣形式表示，即C(i)=[AiBiCiDi]T(i=1,2,3)，則振型函數(shù)可以用矩陣形式表示為

Yi(x)=[cos(βiXi) sin(βiXi) cosh(βiXi) sinh(βiXi)]

(5)

根據(jù)分段連續(xù)條件，即第i段與第i+1段在連接點(diǎn)xi處位移、轉(zhuǎn)角、彎矩和剪力均連續(xù)，可得

Yi(xi)=Yi+1(xi)

(6a)

(6b)

(6c)

EIiY?i(xi)=EIi+1Y?i+1(xi)

(6d)

將振型函數(shù)表達(dá)式(5)代入連續(xù)條件中(式6(a)～式6(d))，整理可得振型函數(shù)的待定常數(shù)遞推公式為

(7)

其中，矩陣A(i)和Q(i+1)為

(8)

(9)

所以，引入遞推系數(shù)矩陣Z(i)，可得遞推公式為C(i+1)=Z(i)C(i)

(10)

根據(jù)懸臂梁固定端和自由端的邊界條件，即固定端位移和轉(zhuǎn)角為0，自由端彎矩和剪力為0，可得

(11a)

(11b)

將振型函數(shù)表達(dá)式(5)代入邊界條件中(式(11a)和式(11b)，計(jì)算可得

則可得

PC(1)=0

(12a)

QC(3)=0

(12b)

由式(10)的待定系數(shù)遞推公式可得，C(3)=Z(2)Z(1)C(1)，代入式(12b)，可得

QZ(2)Z(1)C(1)=0

(13)

(14)

欲使式(14)有非零解，則其系數(shù)矩陣Γ的行列式必等于零，由此可得刀桿橫向振動(dòng)的特征方程為

det(Γ)=0

(15)

特征方程式(15)只有一個(gè)未知量，即ω，求解此方程可得ωn(n=1,2,3,…)，對(duì)應(yīng)鏜桿主系統(tǒng)的第n階固有頻率。

將所求的固有頻率ωn代入線性方程組式(14)中，可求出該階模態(tài)的振型函數(shù)待定系數(shù)A1，B1，C1，D1，再代入式(10)，得到第二段和第三段的待定系數(shù)，從而得到整個(gè)刀桿的振型函數(shù)。

3 鏜桿主系統(tǒng)等效質(zhì)量和等效剛度的計(jì)算

在上一節(jié)中，由經(jīng)典梁理論分段連續(xù)原理，已經(jīng)求出了鏜桿橫向振動(dòng)的固有頻率和振型函數(shù)，根據(jù)最大動(dòng)能等效原則，可計(jì)算出鏜桿主系統(tǒng)的等效質(zhì)量。

等效前鏜桿最大動(dòng)能為

(16)

代入上節(jié)所求的鏜桿的分段連續(xù)振型函數(shù)，可得

(17)

等效后，鏜桿單自由度系統(tǒng)的最大動(dòng)能為

(18)

式中：xE為吸振器安裝位置，即等效點(diǎn)位置。對(duì)比等效前后的最大動(dòng)能表達(dá)式(17)和式(18)，等效前后的最大動(dòng)能保持不變，所以等效后的等效質(zhì)量為

(19)

等效剛度可由等效質(zhì)量與固有頻率推算得出，所以鏜桿主系統(tǒng)的等效剛度為

K=Mω2

(20)

4 減振鏜桿等效參數(shù)計(jì)算實(shí)例與結(jié)果驗(yàn)證

為驗(yàn)證本文提出的計(jì)算方法，以直徑32 mm長(zhǎng)徑比為10的動(dòng)力減振鏜桿為例，該減振鏜桿的基本材料參數(shù)、結(jié)構(gòu)尺寸參數(shù)，如表1所示，其中分段位置和內(nèi)徑參數(shù)均參考圖3所示的分段坐標(biāo)系。

表1 動(dòng)力減振鏜桿參數(shù)

在該鏜桿的刀頭處施加掃頻激勵(lì)，測(cè)得鏜桿的頻率響應(yīng)曲線，如圖4所示，由響應(yīng)曲線可看出，減振鏜桿在第一階頻率處振動(dòng)幅值最大，所以減振考慮鏜桿的第一階模態(tài)，即以下計(jì)算結(jié)果對(duì)應(yīng)鏜桿的第一階模態(tài)。

將上節(jié)所推導(dǎo)的計(jì)算公式，通過(guò)MATLAB編程進(jìn)行計(jì)算，計(jì)算流程如圖5所示。只要輸入減振鏜桿的基本結(jié)構(gòu)參數(shù)，即可計(jì)算出該減振鏜桿主系統(tǒng)的固有頻率、等效質(zhì)量和等效剛度。輸入表1中的鏜桿參數(shù)，計(jì)算結(jié)果如表2所示。

根據(jù)圖4所示的鏜桿頻率響應(yīng)曲線可得，掃頻實(shí)驗(yàn)方法所測(cè)得的鏜桿固有頻率為266.67 Hz，而本文提

出的數(shù)學(xué)方法計(jì)算所得固有頻率為268.62 Hz，相比掃頻實(shí)驗(yàn)結(jié)果，相差0.73%，說(shuō)明本文提出的數(shù)學(xué)計(jì)算方法是準(zhǔn)確的。

圖4 鏜桿頻率響應(yīng)曲線Fig.4 Frequency response of boring bar

圖5 MATLAB計(jì)算流程Fig.5 Calculation scheme of MATLAB

數(shù)學(xué)方法計(jì)算結(jié)果仿真方法計(jì)算結(jié)果結(jié)果相差率固有頻率/Hz268.62268.760.05等效質(zhì)量/kg0.876 40.881 40.57等效剛度/(N·mm-1)2 496.62 513.40.67

用ABAQUS軟件對(duì)減振鏜桿主系統(tǒng)進(jìn)行有限元仿真，首先由模態(tài)仿真得到主系統(tǒng)的一階彎曲模態(tài)固有頻率為268.76 Hz，結(jié)果云圖如圖6所示。

圖6 有限元仿真結(jié)果云圖Fig.6 Simulation results nephogram

根據(jù)質(zhì)量感應(yīng)法[12]，在等效位置處增加一定質(zhì)量，再根據(jù)增加質(zhì)量后固有頻率的變化，求解出鏜桿主系統(tǒng)的等效質(zhì)量。Δm為增加的附加質(zhì)量，Ω為原系統(tǒng)固有頻率，ω為增加附加質(zhì)量后系統(tǒng)固有頻率。

(21)

在鏜桿等效位置設(shè)置一個(gè)RF參考點(diǎn)，并指定附加質(zhì)量為0.2 kg，添加附加質(zhì)量后鏜桿模態(tài)發(fā)生變化，附加質(zhì)量后主系統(tǒng)的一階彎曲模態(tài)固有頻率為242.64 Hz。質(zhì)量感應(yīng)法計(jì)算結(jié)果如表2所示，由表2可以看出，仿真計(jì)算結(jié)果與本文提出的數(shù)學(xué)計(jì)算結(jié)果相比，固有頻率僅相差0.05%，等效質(zhì)量相差0.57%，等效剛度相差0.67%，說(shuō)明本文提出的數(shù)學(xué)計(jì)算方法是準(zhǔn)確的。

為了對(duì)比將減振鏜桿作為非等截面梁和等截面梁的計(jì)算精度，本文對(duì)鏜桿截面進(jìn)行以下兩種處理，并與本文提出的非等截面數(shù)學(xué)計(jì)算結(jié)果進(jìn)行比較，驗(yàn)證將鏜桿作為非等截面計(jì)算的必要性。

第一種等截面方法為將內(nèi)徑按長(zhǎng)度加權(quán)平均，即截面大小為

外徑D不變

第二種等截面方法為將截面積和慣性矩按長(zhǎng)度加權(quán)平均，即截面大小為

此動(dòng)力減振鏜桿主系統(tǒng)等效參數(shù)按照等截面計(jì)算的結(jié)果如表3所示?？梢钥闯鰧p振鏜桿作為等截面計(jì)算與非等截面計(jì)算結(jié)果相差較大，說(shuō)明將減振鏜桿作為非等截面計(jì)算十分必要。

表3 等截面方法計(jì)算對(duì)結(jié)果的影響

5 結(jié) 論

本文針對(duì)采用實(shí)驗(yàn)和仿真的傳統(tǒng)等效參數(shù)識(shí)別方法效率不高的問(wèn)題，提出了一種新的識(shí)別動(dòng)力減振鏜桿主系統(tǒng)參數(shù)的簡(jiǎn)便高效的數(shù)學(xué)計(jì)算方法，通過(guò)仿真驗(yàn)證了所提出方法的有效性。主要結(jié)論如下：

(1)新的數(shù)學(xué)計(jì)算方法在建立鏜桿固有模態(tài)數(shù)學(xué)模型的基礎(chǔ)上，通過(guò)數(shù)值方法識(shí)別出動(dòng)力減振鏜桿主系統(tǒng)的等效參數(shù)，為動(dòng)力減振鏜桿吸振器參數(shù)優(yōu)化設(shè)計(jì)奠定了基礎(chǔ)。

(2)根據(jù)新的數(shù)學(xué)計(jì)算方法編制計(jì)算機(jī)軟件，只需更改幾個(gè)簡(jiǎn)單尺寸參數(shù)，即可計(jì)算出不同型號(hào)、不同設(shè)計(jì)尺寸的減振鏜桿主系統(tǒng)的等效參數(shù)，提高了動(dòng)力減振鏜桿的設(shè)計(jì)效率。

(3)本文所提出的數(shù)學(xué)方法可直接獲得等效參數(shù)，而有限元方法還需聯(lián)合應(yīng)用質(zhì)量感應(yīng)法；而且，當(dāng)減振鏜桿尺寸型號(hào)變化后有限元法仍需重復(fù)前處理和求解計(jì)算及質(zhì)量感應(yīng)法的過(guò)程，所需時(shí)間遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于本文所提出的數(shù)學(xué)方法。

(4)將鏜桿視為非等截面梁比作為等截面梁計(jì)算更為準(zhǔn)確，而且此計(jì)算方法簡(jiǎn)單易行，也可適用于其他機(jī)械結(jié)構(gòu)不等截面梁的等效參數(shù)計(jì)算。