耿少波, 葛培杰, 劉亞玲, 李 洪

(1.中北大學(xué) 土木工程學(xué)科部，太原 030051；2. 長(zhǎng)安大學(xué) 橋梁結(jié)構(gòu)安全技術(shù)國(guó)家工程實(shí)驗(yàn)室，西安 710064;3.大連理工大學(xué) 水利工程學(xué)院，大連 116024)

重要建筑物及防護(hù)結(jié)構(gòu)一般需進(jìn)行抗爆設(shè)計(jì)，爆炸荷載作為一種偶然作用，通常由核爆和化學(xué)爆炸兩種類型組成。核爆概率低，其沖擊波正超壓作用時(shí)間長(zhǎng)，常大于建筑結(jié)構(gòu)塑性最大變形時(shí)間；化學(xué)爆炸概率較高，沖擊波正超壓衰減快、爆炸作用影響區(qū)域較小，正超壓作用結(jié)束后結(jié)構(gòu)再完成最大塑性變形。本文以化學(xué)爆炸產(chǎn)生的正超壓沖擊波為考慮荷載類型，允許建筑結(jié)構(gòu)在爆炸荷載作用下進(jìn)入彈塑性狀態(tài)，研究不同延性比條件下爆炸荷載等效靜載動(dòng)力系數(shù)的變化特點(diǎn)。

由于理論分析較為復(fù)雜、組織結(jié)構(gòu)抗爆試驗(yàn)難度大，大部分學(xué)者采用商業(yè)軟件分析各種類型結(jié)構(gòu)在爆炸作用下的受力及破壞特征。設(shè)計(jì)人員最熟悉的荷載類型為靜載，如果能將化學(xué)爆炸荷載簡(jiǎn)化處理為靜載類型，可明顯提高結(jié)構(gòu)抗爆設(shè)計(jì)效率[1-2]。因此，《人民防空地下室設(shè)計(jì)規(guī)范》、《平戰(zhàn)結(jié)合人民防空工程設(shè)計(jì)規(guī)范》等規(guī)范均推薦采用基于抗力動(dòng)力系數(shù)的等效靜載完成抗爆設(shè)計(jì)。

關(guān)于爆炸荷載等效靜載的計(jì)算問(wèn)題，國(guó)內(nèi)外學(xué)者開(kāi)展了一些研究。方秦等[3]分析了爆炸作用下承重柱的等效質(zhì)量、等效荷載，推導(dǎo)了彈性階段響應(yīng)解析解；穆朝民等[4]采用等效靜載方法研究了室內(nèi)爆炸流的動(dòng)載系數(shù)，并用有限元方法進(jìn)行了驗(yàn)證；任秀敏等[5]采用等效靜載法求解了天線罩的最大位移，荷載類型為線性荷載；楊科之等[6-7]深入研究了延性比及結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)動(dòng)力系數(shù)的影響規(guī)律，未對(duì)荷載正超壓作用時(shí)間與直線等效荷載等效作用時(shí)間進(jìn)行轉(zhuǎn)換研究；邊文鳳等[8]采用Cole提出的爆炸等效靜載方法對(duì)水下船體遭受爆炸沖擊波作用時(shí)進(jìn)行了計(jì)算，指出了船體的破壞模式，未對(duì)等效荷載函數(shù)模式及作用時(shí)間做進(jìn)一步分析；伍俊等[9]以一實(shí)例完成了防爆墻的等效靜載設(shè)計(jì)與有限元對(duì)比；顏海春等[10]對(duì)封堵梁進(jìn)行了化爆作用等效荷載內(nèi)力及抗力計(jì)算；楊濤春等[11]和Chen等[12]分別對(duì)混組合梁及地下拱結(jié)構(gòu)進(jìn)行爆炸作用計(jì)算，并驗(yàn)證了等效單自由體系方法簡(jiǎn)便性；陳俊杰等[13]指出了阻尼系統(tǒng)對(duì)結(jié)構(gòu)等效靜載抗爆設(shè)計(jì)的提高作用。動(dòng)力系數(shù)計(jì)算與荷載時(shí)長(zhǎng)、彈塑性階段位移響應(yīng)有關(guān)，且按等沖量等效出的線性衰減荷載作用時(shí)長(zhǎng)短于真實(shí)的爆炸荷載作用時(shí)長(zhǎng)，兩種荷載模式的動(dòng)力系數(shù)有何區(qū)別，目前鮮有研究。

爆炸沖擊波荷載衰減函數(shù)可用多項(xiàng)式為基底的級(jí)數(shù)擬合[14-15]，為此，本文首先確定線性等效荷載與多項(xiàng)式曲線擬合衰減荷載時(shí)長(zhǎng)關(guān)系，推導(dǎo)兩種荷載模式等效單自由度體系彈塑性階段動(dòng)力系數(shù)公式，進(jìn)而確定兩種荷載模式計(jì)算精度。

1 彈塑性體系動(dòng)力微分方程

1.1 等效單自由度微分方程

由結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)等效單自由度彈塑性理論可知，結(jié)構(gòu)等效靜載荷取決于沖擊波荷載超壓函數(shù)、超壓作用時(shí)間和結(jié)構(gòu)自振頻率。化學(xué)爆炸荷載正超壓作用時(shí)長(zhǎng)及等效時(shí)長(zhǎng)很小，在此時(shí)間區(qū)間內(nèi)結(jié)構(gòu)來(lái)不及完成最大位移響應(yīng)[16]。根據(jù)達(dá)朗貝爾原理，彈性階段爆炸荷載等效動(dòng)力體系微分方程

(1)

式中：kM-L為彈性階段等效質(zhì)量-荷載比值；m為每延米質(zhì)量；l為長(zhǎng)度；W(t)為動(dòng)位移；K為等效剛度系數(shù)；Δp(t)為爆炸荷載正超壓函數(shù)。

結(jié)構(gòu)在tT時(shí)刻進(jìn)入塑性階段，此后結(jié)構(gòu)動(dòng)力微分方程為

(2)

式中：km-l為塑性階段等效質(zhì)量-荷載比值；qm為塑性階段構(gòu)件最大抗力。

等沖量線性衰減荷載的函數(shù)表達(dá)式為

(3)

多項(xiàng)式擬合曲線衰減荷載函數(shù)表達(dá)式為

(4)

式中：Δpm為正超壓峰值；f(t)為歸一化時(shí)程函數(shù)；ti為等效作用時(shí)長(zhǎng)；t+為真實(shí)作用時(shí)長(zhǎng)。如圖1所示。

圖1 化爆荷載類型對(duì)比圖Fig.1 Chemical explosion comparison diagram

根據(jù)Duhamel積分原理，由式(1)可得

(5)

(6)

彈性響應(yīng)結(jié)束即將進(jìn)入塑性時(shí)位移及速度為

(7)

(8)

由式(2)、式(7)、式(8)可得結(jié)構(gòu)振動(dòng)塑性位移及速度為

(9)

W(t)=wT+vT(t-tT)+

(10)

結(jié)構(gòu)彈塑性階段等效靜載抗力動(dòng)力系數(shù)為

(11)

1.2 等效時(shí)長(zhǎng)與作用時(shí)長(zhǎng)關(guān)系

由真實(shí)作用時(shí)長(zhǎng)t+、超壓峰值Δpm及形狀調(diào)整參數(shù)a，且化學(xué)爆炸可取1.27

(12)

則線性等效荷載的等效時(shí)間為

(13)

對(duì)于多項(xiàng)式擬合曲線衰減荷載，不存在等效時(shí)長(zhǎng)，據(jù)a的范圍確定其曲線的調(diào)整幅度，有沖量定義及式(4)、式(12)可知

(14)

由a的不同取值，可確定t+及相應(yīng)的b0，b1取值，為便于后續(xù)分析，典型數(shù)值取值見(jiàn)表1。

表1 等效時(shí)長(zhǎng)及相關(guān)參數(shù)表

2 彈塑性階段動(dòng)力系數(shù)推導(dǎo)

結(jié)構(gòu)在爆炸荷載作用下進(jìn)入塑性階段完成設(shè)計(jì)要求的延性比，受結(jié)構(gòu)自身特性與爆炸荷載時(shí)長(zhǎng)限制，分為兩種類型：①承受爆炸荷載的建筑結(jié)構(gòu)剛度較低，由于正超壓作用時(shí)間較短，爆炸沖擊波正超壓結(jié)束時(shí)，結(jié)構(gòu)尚未完成彈性變形，在后續(xù)結(jié)構(gòu)自由振動(dòng)期間逐步完成結(jié)構(gòu)塑性變形，達(dá)到設(shè)計(jì)所需的延性比，對(duì)應(yīng)的時(shí)間關(guān)系為ti

2.1 較晚進(jìn)入塑性階段

令ξT=ωtT,ξi=ωti,ξ+=ωt+,由式(7)可知線性等效荷載動(dòng)力系數(shù)為

(15)

多項(xiàng)式曲線擬合衰減荷載的動(dòng)力系數(shù)為

(16)

若定義

則由式(15)可得

(17)

定義

用A*，B*替換式(17)中A，B，即為得多項(xiàng)式曲線擬合衰減荷載cosξT公式，且

(18)

由式(8)可得彈性階段結(jié)束時(shí)，線性等效荷載下速度及比值

vT=Wcm[cosξT-cos(ξT-ξi)+ξisinξT]/ti

(19)

(20)

同理，可得多項(xiàng)式曲線擬合衰減荷載下比值

(21)

由式(9)及v(tm)為0可推導(dǎo)

(22)

由式(10)及v(tm)為0可推導(dǎo)得出

(23)

將式(22)代入式(23)，即

(24)

由于

(25)

將式(22)、式(23)、式(20)代入式(24)可得線性等效荷載的延性比表達(dá)式(26)，同理可得多項(xiàng)式曲線擬合衰減荷載的延性比表達(dá)式延性比式(27)

(26)

(27)

上述表達(dá)式為同一結(jié)構(gòu)基于不同延性比β、結(jié)構(gòu)荷載參數(shù)ωti(ωt+)的關(guān)于線性等效荷載與多項(xiàng)式曲線擬合衰減荷載的動(dòng)力系數(shù)。

2.2 較早進(jìn)入塑性階段

令ξm=ωtm，可知ξT<ξi<ξm或ξT<ξ+<ξm，線性等效荷載的動(dòng)力系數(shù)可推導(dǎo)出

(28)

多項(xiàng)式曲線擬合衰減荷載的動(dòng)力系數(shù)為

(29)

由式(8)線性等效荷載函數(shù)即將進(jìn)入塑性階段的速度及比值

vT=Wcm(-1+cosξT+ξisinξT)/ti

(30)

(31)

多項(xiàng)式曲線擬合衰減荷載函數(shù)相應(yīng)數(shù)值

(32)

由式(9)及v(tm)為0可知線性等效荷載

(33)

多項(xiàng)式曲線擬合衰減荷載積分后其數(shù)值為

(34)

由式(31)、式(33)線性等效荷載參數(shù)

(35)

由式(32)、式(34)多項(xiàng)式曲線擬合衰減荷載參數(shù)

(36)

由式(10)分別可得線性等效荷載的延性比式(37)及多項(xiàng)式曲線擬合衰減荷載函數(shù)的延性比式(38)

(37)

(38)

3 抗力動(dòng)力系數(shù)計(jì)算算例

3.1 各工況動(dòng)力系數(shù)計(jì)算

Kh為隱式表達(dá)式，求解時(shí)可先確定延性比，再根據(jù)不同的時(shí)間參數(shù)求出。

按表1所示三種工況參數(shù)分別進(jìn)行計(jì)算動(dòng)力系數(shù)計(jì)算，ωti范圍為0.2～2.8，結(jié)構(gòu)設(shè)延性比范圍為1～5。令δ=t+/ti，工況1的詳細(xì)結(jié)果匯總為表2，所有工況結(jié)果如圖2和圖3所示。

表2中采用灰度區(qū)分的為多項(xiàng)式曲線擬合衰減荷載模式計(jì)算結(jié)果，其中彈性設(shè)計(jì)狀態(tài)的底紋采用灰度5%的淺灰，較晚進(jìn)入塑性狀態(tài)的底紋采用灰度15%的中灰，較早進(jìn)入塑性狀態(tài)的底紋采用灰度25%的深灰。

為便于對(duì)比，線性等效荷載模式計(jì)算結(jié)果以相對(duì)誤差，標(biāo)注在按多項(xiàng)式曲線擬合衰減荷載模式計(jì)算結(jié)果括號(hào)內(nèi)側(cè)，未標(biāo)注代表無(wú)解。

3.2 結(jié)果定性分析

結(jié)合表2、圖2、圖3可知，兩種荷載模式均在各自兩種塑性階段分界線處都能光滑過(guò)渡，線性等效荷載模式ωti計(jì)算范圍2.2小于多項(xiàng)式曲線擬合衰減荷載模式ωt+計(jì)算范圍2.8δ。

按多項(xiàng)式曲線擬合衰減荷載計(jì)算時(shí)，當(dāng)ωt+<1.4δ時(shí)，對(duì)同一β與ti，ω越大，結(jié)構(gòu)越較早進(jìn)入塑性階段，且Kh越大，此時(shí)若β較大，且ωti較大時(shí)，均為較早進(jìn)入塑性階段；各工況計(jì)算結(jié)果說(shuō)明在同一β及ωt+，存在按多項(xiàng)式曲線擬合衰減荷載模式為較早進(jìn)入塑性階段，而按線性等效荷載為較晚進(jìn)入塑性階段情況。

按多項(xiàng)式曲線擬合衰減荷載計(jì)算時(shí)，當(dāng)ωt+>1.4δ時(shí)，為較晚進(jìn)入塑性階段，而按線性等效荷載計(jì)算動(dòng)力系數(shù)時(shí)，為荷載較早進(jìn)入塑性階段。ωti為較大數(shù)值時(shí)，β降低的過(guò)程依次對(duì)應(yīng)較早進(jìn)入塑性到較晚進(jìn)入塑性、再到純彈性狀態(tài)(β=1)。采用線性等效荷載模式從較早進(jìn)入塑性階段跳躍到彈性狀態(tài)，這種差別在于等沖量表示爆炸荷載傳遞給結(jié)構(gòu)能量相同，但線性衰減荷載模式下等效時(shí)長(zhǎng)變小，且減小幅度很高，對(duì)于剛度較大結(jié)構(gòu)，吸收能量時(shí)間變短， 在時(shí)間上緩慢進(jìn)入塑性狀態(tài)的過(guò)程縮減，誤認(rèn)為較早便進(jìn)入塑性狀態(tài)。

表2 工況1抗力動(dòng)力系數(shù)Kh

圖2 直線型衰減荷載動(dòng)力系數(shù)Fig.2 Dynamical coefficients for linear attenuation load

圖3 多項(xiàng)式擬合衰減荷載動(dòng)力系數(shù)Fig.3 Dynamical coefficients for polynomial attenuation load

3.3 結(jié)果定量分析

由計(jì)算可知：當(dāng)β<1.6時(shí)，工況一a為1.27，抗力動(dòng)力系數(shù)按線性等效荷載計(jì)算的數(shù)值都高于按多項(xiàng)式曲線擬合衰減荷載計(jì)算數(shù)值，平均高1.8%，最大為10%；工況二對(duì)應(yīng)a為1.44時(shí)具備同樣特征，平均高2.5%，最大為11.2%；工況三對(duì)應(yīng)a為1.61具備同樣特征，平均高3.3%，最大為12.3%，說(shuō)明由線性等效荷載計(jì)算時(shí)數(shù)值偏保守，且衰減曲線越陡，差值越明顯。

當(dāng)β>1.6且ωti較大時(shí)，Kh按線性等效荷載計(jì)算小于按多項(xiàng)式曲線擬合衰減荷載計(jì)算結(jié)果，各工況最大幅度為19.1%，16.4%及18.0%，此時(shí)采用線性等效荷載偏不安全；β取5.0時(shí)會(huì)有線性等效荷載計(jì)算無(wú)解而多項(xiàng)式曲線擬合衰減荷載有解情況。

4 結(jié) 論

以化學(xué)爆炸為爆炸荷載類型，推導(dǎo)出線性等效荷載與多項(xiàng)式曲線擬合衰減荷載等效靜載抗力動(dòng)力系數(shù)表達(dá)式，結(jié)合算例得到以下認(rèn)識(shí)：

(1)兩種計(jì)算結(jié)果中較晚與較早進(jìn)入彈塑性階段動(dòng)力系數(shù)分界處均平滑過(guò)渡，在共同計(jì)算范圍內(nèi)差異較小。

(2)對(duì)同一ωt+數(shù)值，隨著β增大，Kh降低，多項(xiàng)式曲線擬合衰減荷載劃分塑性結(jié)果空間為三部分，可完整顯示出從彈性、較晚進(jìn)入塑性至較早進(jìn)入塑性狀態(tài)轉(zhuǎn)換，線性等效荷載劃分塑性結(jié)果空間為兩部分，因此彈塑性變化在部分空間不連續(xù)。

(3)β較小時(shí)，多項(xiàng)式曲線擬合衰減荷載的可求解區(qū)間不僅大于線性等效荷載函數(shù)，且在兩種荷載重疊區(qū)間內(nèi)Kh偏小。

(4)β較大時(shí)，線性等效荷載Kh可求解區(qū)間更小，且在兩種荷載重疊區(qū)間內(nèi)Kh偏小，采用此抗力系數(shù)設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)可能偏不安全。