浙江省金華市第八中學(xué) (321017)

應(yīng)海波

湖北省陽新縣高級中學(xué) (435200)

鄒生書

一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系是初高中數(shù)學(xué)銜接的重要內(nèi)容之一，應(yīng)用非常廣泛.有這樣一類二次方程根的分布問題：已知一元二次方程的兩根的分布情況，求含有多個(gè)系數(shù)的式子的取值范圍或最值.這類試題特別在浙江省近幾年的高考、高考模擬和數(shù)學(xué)競賽中頻頻亮相，成為一道獨(dú)特的風(fēng)景.這類題目，我們可先設(shè)出方程的兩個(gè)根，然后借助根與系數(shù)的關(guān)系用根表示系數(shù)，繼而將所求含有多系數(shù)的式子用兩根表示出來，最后運(yùn)用不等式或函數(shù)的有關(guān)知識求最值或取值范圍，下面舉例說明供讀者參考.

1.兩根都有限制條件的系數(shù)式的取值范圍問題

例1 (2017年浙江省數(shù)學(xué)競賽第3題)已知函數(shù)f(x)=x2+ax+b(其中a,b∈R)在(0,1)內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn)，則a2-2b的取值范圍是.

例2 (2017年高考浙江卷第17題)已知函數(shù)f(x)=x2+ax+b(其中a,b∈R)在(0,1)內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn)，則3a+b的取值范圍是.

解:設(shè)函數(shù)f(x)在(0,1)內(nèi)的兩個(gè)零點(diǎn)分別x1,x2，則x1,x2是方程x2+ax+b=0的兩個(gè)根，由根與系數(shù)關(guān)系得x1+x2=-a,x1x2=b，于是3a+b=x1x2-3(x1+x2)=(3-x1)(3-x2)-9.由x1,x2∈(0,1)，得2<3-x1<3,2<3-x2<3，所以4<(3-x1)(3-x2)<9，從而-5<3a+b<0，故3a+b的取值范圍是(-5,0).

評注:上述三例解法先由根與系數(shù)關(guān)系將方程系數(shù)用方程的根來表示，繼而將所求系數(shù)的式子用方程的兩根表示，接著通過因式分解等變形最后用不等式性質(zhì)求出范圍，從而使問題輕松獲得解答.用方程的根表示系數(shù)切入求解，解法直接干凈利落.

評注:例4先由根與系數(shù)關(guān)系用根表示系數(shù)，繼而表示所求式子，最后用均值不等式使問題獲得解決.

下面這道競賽題與例4如出一轍.

(2014年浙江省數(shù)學(xué)競賽預(yù)賽題)已知a,b∈R，二次函數(shù)f(x)=x2+bx+c的圖像在(0,1)上與x軸有兩個(gè)不同交點(diǎn)，求c2+(1+b)c的取值范圍.

例5 (湖北省武漢市2014屆高三下學(xué)期四月調(diào)研考試數(shù)學(xué)理科第10題)設(shè)函數(shù)f(x)=x3+3bx2+3cx有兩個(gè)極值點(diǎn)x1,x2，且x1∈[-1,0],x2∈[1,2]，則( ).

評注:本題以三次函數(shù)的極值點(diǎn)與導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)的關(guān)系為依托，綜合考查化歸轉(zhuǎn)化的能力以及分析問題和解決問題的能力.解法從根與系數(shù)關(guān)系切入，將系數(shù)用根表示，最后用不等式性質(zhì)求出f(x1)的取值范圍.

2.一個(gè)根有限制條件另一個(gè)根取任意實(shí)數(shù)的系數(shù)式的取值范圍問題

注意這種類型與前一類型的區(qū)別.前一類型是一元二次方程的兩個(gè)根都有限制條件，而現(xiàn)在討論的這種情形是一元二次方程的一個(gè)根有限制條件而另一個(gè)根可取任意實(shí)數(shù).而在具體的題目中并不是說得這么清楚明白，比如“方程在某個(gè)區(qū)間內(nèi)有實(shí)根”，正確理解這句話的含義至關(guān)重要.你如果認(rèn)為兩個(gè)根都在這個(gè)區(qū)間內(nèi)那就錯(cuò)了，它還包括一個(gè)根在這個(gè)區(qū)間內(nèi)另一個(gè)根不在這個(gè)區(qū)間內(nèi)這一情形.方程在某一區(qū)間內(nèi)有實(shí)根求系數(shù)的取值范圍問題，關(guān)鍵是解決“有”的問題，適合解題的理解是讓一個(gè)根在這個(gè)區(qū)間內(nèi)而讓另一個(gè)根可取任意實(shí)數(shù).

例6 (2017年福建省高中數(shù)學(xué)競賽第8題)若關(guān)于x的方程x2+ax+b-3=0(a,b∈R)在[1,2]內(nèi)有實(shí)根，則a2+(b-4)2的最小值為.

例8 (2015年浙江高考文科第20題第2小題)設(shè)f(x)=x2+ax+b且0≤b-2a≤1，若f(x)在[-1,1]上存在零點(diǎn)，求b的取值范圍.

評注:本題解法較多，本解法游刃于函數(shù)與方程之間，最大亮點(diǎn)是巧設(shè)方程的兩根，并確保其一根n在區(qū)間[-1,1]上，然后由根與系數(shù)關(guān)系用根表示系數(shù)，這種先求生存再謀發(fā)展的思想耐人尋味.本解法綜合性強(qiáng)，用到了一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系、解不等式、分離參數(shù)法、導(dǎo)數(shù)和函數(shù)單調(diào)性和最值性等知識，用到了函數(shù)方程思想和分類討論思想.