葉先玖 尤桂林

從小學(xué)到高中，數(shù)學(xué)教材中的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)活動(dòng)、素材、案例一直都有，教師也可以自己發(fā)掘和設(shè)計(jì)有趣的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，幫助學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)。

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)給學(xué)生提供了動(dòng)手操作的機(jī)會(huì)。在實(shí)驗(yàn)中，學(xué)生會(huì)經(jīng)歷觀察猜想、情感經(jīng)歷、經(jīng)驗(yàn)積累到建模驗(yàn)證等過(guò)程，并在這一過(guò)程中獲取基本的數(shù)學(xué)知識(shí)，形成基本技能，積累基本數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，感悟基本數(shù)學(xué)思想方法。在主動(dòng)獲取數(shù)學(xué)知識(shí)中，學(xué)生走向數(shù)學(xué)知識(shí)、方法、技能、經(jīng)驗(yàn)、數(shù)學(xué)思想等的自覺(jué)內(nèi)化，學(xué)會(huì)思考數(shù)學(xué)，拓展數(shù)學(xué)眼光。

本期，我們一同思考怎樣用好數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)來(lái)教學(xué)。

《一元二次方程求根公式》被安排在人教版九年級(jí)上冊(cè)，教材是利用配方法推導(dǎo)出[ax2+bx+c=0（a≠0）]的求根公式的，即由得[ax2+bx+c=0（a≠0）]得[（x+b2a）2=b2-4ac4a2]，從而得到[x=-b±b2-4ac2a]。教材這樣處理，意圖是讓學(xué)生通過(guò)活動(dòng)理解并掌握公式，感悟配方法。筆者在多年教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，如果單純地這樣去處理，部分學(xué)生感覺(jué)抽象、枯燥，對(duì)求根公式和配方法僅停留于套公式、套步驟、套方法的層次，不能真正理解這部分內(nèi)容。于是，筆者立足教材，對(duì)這部分內(nèi)容作了如下調(diào)整。

環(huán)節(jié)一 拼圖喚醒，回顧完全平方公式

出示圖1：如圖1分別是邊長(zhǎng)為[a]，[b]的兩個(gè)大小一樣的長(zhǎng)方形和邊長(zhǎng)分別為[a]，[b]的兩個(gè)正方形。

問(wèn)題1：你可以用上述四個(gè)圖形，拼圖驗(yàn)證完全平方公式嗎？說(shuō)說(shuō)你的操作過(guò)程與方法。

學(xué)生先用紙版拼圖，然后交流展示。在學(xué)生表述結(jié)論后，教師用計(jì)算機(jī)動(dòng)畫(huà)展示拼圖過(guò)程，得到圖2。

在學(xué)生解決好上述問(wèn)題后，教師用計(jì)算機(jī)展示古代尼羅河因?yàn)楹铀ㄆ跐q水，土地測(cè)量人員不得不多次丈量土地，久而久之，形成了利用“出入相補(bǔ)”原理推導(dǎo)一元二次方程求根公式，為學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)作好思維啟迪和鋪墊。

環(huán)節(jié)二 拼圖探索x（x+b）=c的求根公式

出示問(wèn)題2：一個(gè)邊長(zhǎng)為x的正方形與另一個(gè)以此正方形的邊為長(zhǎng)的長(zhǎng)方形（寬為b）的面積之和為c，求此正方形的邊長(zhǎng)。

學(xué)生得出方程[x]（[x]+[b]）=[c]后，追問(wèn)：你能構(gòu)圖直觀表示出這個(gè)方程代表的意思嗎？

如圖3，將長(zhǎng)方形分割為兩個(gè)相等的小長(zhǎng)方形，把其中一個(gè)小長(zhǎng)方形放到正方形的底端，然后在右下角補(bǔ)上一個(gè)邊長(zhǎng)為[b2]的小正方形，可得到一個(gè)邊長(zhǎng)為[x]+[b2]的大正方形，如圖4，其面積為[（x+b2）2=c+b24]，由此求出[x]=[c+（b2）2±b2]。

把圖3變形為圖4的方式，可以得到[（x+b2）2=c+b24]，從而得到[x]=[c+（b2）2±b2]。（因?yàn)槊娣e為邊長(zhǎng)都為正數(shù)，所以開(kāi)平方時(shí)負(fù)值舍去）。

問(wèn)題3：若把上述問(wèn)題看作一個(gè)代數(shù)問(wèn)題，應(yīng)當(dāng)怎樣表示，從這個(gè)實(shí)驗(yàn)過(guò)程中你會(huì)得到什么結(jié)論？

結(jié)論：方程[x]（[x+b]）=[c]，即[x2+bx=c]解為[x]=[±c+（b2）2][±][b2]。

問(wèn)題4：你會(huì)拼圖求解[x2+bx=c]嗎？它與問(wèn)題3是否相同？學(xué)生容易得到[x2+bx=c]即為[x]（[x+b]）=[c]。

環(huán)節(jié)三 借圖推理[ax2+bx=c（a≠0）]的求根公式

問(wèn)題5：你會(huì)在問(wèn)題2和問(wèn)題4的基礎(chǔ)上，直接說(shuō)出[ax2+bx=c（a≠0）]的解嗎？

在學(xué)生充分思考交流的基礎(chǔ)上，教師和學(xué)生一起把問(wèn)題5轉(zhuǎn)化到問(wèn)題2即問(wèn)題4并推導(dǎo)：若將等式兩邊同除以[a]，得[x2+bax=ca]，這就得到了形如[ax2+bx=c（a≠0）]的方程，即變形為[x]（[x+b]）=[c]的形式了。同樣可利用上面的公式求解，即把原公式中的b換成[ba]，c換成[ca]，則得的解為[x]=[±ca+（b2a）2]-[b2a]。

環(huán)節(jié)四 從拼圖實(shí)驗(yàn)感悟配方法推導(dǎo)求根公式

問(wèn)題6：相信你會(huì)在上述基礎(chǔ)上求[ax2+bx+c=0（a≠0）]的解了吧，說(shuō)說(shuō)你的思路。

把[ax2+bx+c=0（a≠0）]與[ax2+bx=c（a≠0）]進(jìn)行比較，先把[ax2+bx=c（a≠0）]寫(xiě)成[ax2+bx+c=0（a≠0）]的形式，不難發(fā)現(xiàn)，求一元二次方程[ax2+bx+c=0（a≠0）]的根，只需把[ax2+bx+c=0（a≠0）]中的c替換成[-c]，相應(yīng)地把求根公式中的[c]也替換成[-c]，即得到[x]=[±-ca+（b2a）2]-[b2a]，化簡(jiǎn)得[x]=[±][-b±b2-4ac2a]。

環(huán)節(jié)五 配方法推導(dǎo)一元二次方程求根公式

問(wèn)題7：從問(wèn)題5的推導(dǎo)過(guò)程，結(jié)合完全平方公式，你會(huì)從代數(shù)角度，進(jìn)行一元二次方程[ax2+bx+c=0（a≠0）]的求根公式嗎？學(xué)生自行推導(dǎo)，教師歸納配方法的步驟和注意要點(diǎn)。

環(huán)節(jié)六 反思與提升

問(wèn)題8：從代數(shù)推理角度，你還有其他思路嗎？

結(jié)論：利用等式基本性質(zhì)，可以對(duì)方程兩邊同時(shí)乘以4[a]，得[4a2x2+4abx+4ac=0]，兩邊加上[b2]，得[4a2x2+4abx+4ac+b2=b2]，從而有[（2ax+b）2=b2-4ac]，整理得[x]=[±-b±b2-4ac2a]

問(wèn)題9：一元二次方程[ax2+bx+c=0（a≠0）]是否一定有實(shí)數(shù)根？或者說(shuō)，以上述推導(dǎo)過(guò)程，有沒(méi)有失誤？如果有，請(qǐng)指出并說(shuō)明理由。（過(guò)程和答案略）

教學(xué)反思

“教什么？”本課數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，著眼于數(shù)學(xué)思考，從激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣入手，浸潤(rùn)獲取知識(shí)與技能的方式，積累發(fā)現(xiàn)、分析、解決問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn)。從以上實(shí)驗(yàn)教學(xué)環(huán)節(jié)可以看出，實(shí)驗(yàn)教學(xué)側(cè)重于一元二次方程求根公式的來(lái)由、過(guò)程和其蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)結(jié)合、轉(zhuǎn)化、配方、“出入相補(bǔ)”等基本的數(shù)學(xué)思想和方法，并在實(shí)驗(yàn)中經(jīng)歷情感體驗(yàn)、人文價(jià)值和數(shù)學(xué)思考。

“怎么教？”走進(jìn)數(shù)學(xué)發(fā)展歷史，觸摸學(xué)生思維心理活動(dòng)，精心設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)步驟，制作必要的演示課件，漸次呈現(xiàn)，展示思路。在選題之后，需要精心設(shè)計(jì)問(wèn)題，優(yōu)化講評(píng)方式，利用計(jì)算機(jī)動(dòng)畫(huà)漸次呈現(xiàn)的方式，把一元二次方程求根公式推導(dǎo)及配方法的思路富有啟發(fā)式地展示出來(lái)，讓學(xué)生在講評(píng)過(guò)程中懂得觀察系數(shù)的特點(diǎn)，感悟思路貫通的方式。

“教給誰(shuí)？”認(rèn)真研判所教學(xué)生的學(xué)情水平、未來(lái)發(fā)展可能。教學(xué)經(jīng)典問(wèn)題最重要的就是學(xué)情研判，針對(duì)所教學(xué)生開(kāi)展教學(xué)是教學(xué)預(yù)設(shè)最需要重視的。因?yàn)槿绻麑W(xué)生對(duì)完全平方公式還不能很好地掌握，或?qū)W生內(nèi)心根本就覺(jué)得單純的代數(shù)運(yùn)算沒(méi)有幾何拼圖那樣直觀有趣，那么他們會(huì)因?yàn)槌橄蠡蚩菰锒X(jué)無(wú)趣，他們還會(huì)主動(dòng)獲??？還會(huì)覺(jué)得非常重要？如此，配方法推導(dǎo)一元二次方程的求根公式，也將會(huì)是一個(gè)難以實(shí)現(xiàn)的教學(xué)目標(biāo)。

（作者單位：葉先玖，宜昌市秭歸縣歸州鎮(zhèn)初級(jí)中學(xué)；尤桂林，宜昌市秭歸縣水田壩鄉(xiāng)初級(jí)中學(xué)）

責(zé)任編輯 陳建軍

責(zé)任校對(duì) 張 敏