☉江蘇省海門中學(xué) 楊智慧

教師在授課中往往會(huì)著眼于矛盾的激發(fā)并借此來引導(dǎo)學(xué)生在思考與討論中進(jìn)行自主探索，因此，怎樣站在矛盾的焦點(diǎn)上引導(dǎo)學(xué)生探索成為了廣大教師共同關(guān)注的問題.筆者參加青年教師基本功比賽之后獲得了一定的感悟和思考，借助教學(xué)的某些實(shí)踐性片段與同仁們作一定的交流.

一、課堂教學(xué)片段

問題情境：取一張長(zhǎng)方形16K白紙并在距底邊一定距離處取一點(diǎn)F，現(xiàn)將白紙進(jìn)行折疊并使每次折疊時(shí)的底邊都能經(jīng)過點(diǎn)F，折疊20至30次后形成一系列折痕，如圖1所示，觀察折痕所圍輪廓，用光滑的曲線將其連起并使其與折痕均相切，形成的曲線是怎樣的呢？

圖1

圖2

追問：對(duì)折痕所圍輪廓為拋物線，可以如何進(jìn)行說明？

生1：底邊與點(diǎn)F能確定一條拋物線這是比較清晰的，因此可將其設(shè)為C，如圖2.在直線底邊上作點(diǎn)F關(guān)于折痕的對(duì)稱點(diǎn)M，并過點(diǎn)M作MP與底邊垂直，與折痕相交于點(diǎn)P，可知PF=PM，即點(diǎn)P到定底邊的距離等于點(diǎn)P到定點(diǎn)F的距離，因此，點(diǎn)P在拋物線C上.另外，取折痕上異于P的一點(diǎn)P′，過P′作NP′與底邊垂直，可知FP′≠P′N，因此點(diǎn)P′不在拋物線C上，這就意味著折痕跟拋物線之間只存在一個(gè)交點(diǎn)，由此可知折痕為拋物線的一條切線.也就是說，折紙后所得的若干條切線將該拋物線包圍了起來.

問題1：大家在生活和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中可曾關(guān)注到一些拋物線呢？

生2：噴泉.

生3：鉛球被扔出去后的軌跡.

生4：投三分球.

生5：二次函數(shù)的圖像.

……

師：生活中時(shí)時(shí)處處都有拋物線的痕跡，由此可見拋物線在我們生活中的重要性，不僅如此，拋物線在科學(xué)技術(shù)等范圍的應(yīng)用也很廣泛，那么大家知道什么叫拋物線嗎？請(qǐng)大家回憶：平面上不在直線l上的定點(diǎn)F到定直線l距離相等的點(diǎn)的軌跡即為拋物線.點(diǎn)F和直線l則被分別稱作該拋物線的焦點(diǎn)與準(zhǔn)線，通常用字母p來表示焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線l的距離，稱作拋物線的焦參數(shù).

（運(yùn)用幾何畫板進(jìn)行拋物線形成的演示）

追問：大家認(rèn)為哪個(gè)點(diǎn)在拋物線的所有點(diǎn)中是較為特殊的？為什么？

設(shè)計(jì)意圖：拋物線頂點(diǎn)建立在原點(diǎn)這一最佳建系方式是本節(jié)課接下來要探究的內(nèi)容，此處的設(shè)計(jì)是一種鋪墊.

生6：定點(diǎn)F到定直線垂線段的中點(diǎn)即為拋物線的頂點(diǎn).

問題2：有同學(xué)之前提及了二次函數(shù)的圖像也是拋物線，如y2相應(yīng)的定點(diǎn)和定直線.拋物線方程和二次函數(shù)的解析式應(yīng)該保持高度的一致性，從解析式求定點(diǎn)和定直線目前看來不可行，那是因?yàn)榻⒎匠痰倪^程在此時(shí)并不存在，因此，我們應(yīng)對(duì)這一過程進(jìn)行探索.

問題3：拋物線的方程應(yīng)該怎樣建立呢？

追問1：大家還記得怎樣建立曲線的方程嗎？

眾生：①建立直角坐標(biāo)系；②設(shè)曲線上動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)；③看幾何限制條件；④將坐標(biāo)代入幾何條件；⑤化簡(jiǎn)方程.就是之前歸納過的“建設(shè)限（現(xiàn)）代化”.

追問2：假如焦點(diǎn)F與準(zhǔn)線l之間的距離為p（p＞0），坐標(biāo)系應(yīng)如何建立呢？

學(xué)生討論后呈現(xiàn)以下建系方式，如圖3：，大家能否運(yùn)用定義對(duì)其進(jìn)行證明呢？

師：事實(shí)上，這一問題就是尋找

分別求出以下方程：

追問3：三個(gè)方程各有哪些特點(diǎn)？最簡(jiǎn)潔的是哪一個(gè)？

引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)得出：（1）、（2） 均含有常數(shù)項(xiàng)，（3）最簡(jiǎn)潔.

追問4：（3）最簡(jiǎn)潔的理由何在？

學(xué)生在片刻思索之后很快將注意力放在了沒有常數(shù)項(xiàng)上.

師：數(shù)學(xué)學(xué)科的簡(jiǎn)潔美正表現(xiàn)于此.

師：所以我們將y2=2px稱作拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離即為p.

問題4：大家能否將橢圓、雙曲線的兩種形式的方程進(jìn)行類比并得到其他拋物線方程呢？

學(xué)生完成表1：

表1

問題5：上述四個(gè)標(biāo)準(zhǔn)方程的共同特點(diǎn)是什么？怎樣記憶？

學(xué)生在思考、討論和總結(jié)后獲得“一次定焦點(diǎn)、正負(fù)定方向”的口訣.

師：大家回頭再看問題2，拋物線y=x2的焦點(diǎn)F、準(zhǔn)線l分別是什么呢？

大家不約而同地感受到了初中所學(xué)的二次函數(shù)圖像是不同建系下的拋物線.

課堂小結(jié)（.略）

二、教學(xué)設(shè)計(jì)的反思

1.小結(jié)

（1）引導(dǎo)學(xué)生在折紙活動(dòng)中發(fā)現(xiàn)本課的研究對(duì)象并建立初步的體驗(yàn)與感知，折紙活動(dòng)雖然在教材上也有所編排，但難度相對(duì)較大，經(jīng)過改編后的折紙活動(dòng)簡(jiǎn)單且易操作，筆者在通過幾何畫板演示動(dòng)態(tài)的過程中花了較多的時(shí)間，學(xué)生在這一演示過程中的收獲與課堂反饋令筆者感到欣慰，這是筆者的嘗試與改編.

（2）從學(xué)生熟悉的二次函數(shù)入手說明二次函數(shù)的圖像為拋物線是學(xué)生易于接受的，但證明學(xué)生不會(huì)，學(xué)生在“憤、悱”中頓時(shí)燃起興趣的火苗，符合學(xué)生最近發(fā)展區(qū)的設(shè)計(jì)令學(xué)生對(duì)問題展開了積極的探索，學(xué)生在初中已有知識(shí)的基礎(chǔ)上順利構(gòu)建起了新的知識(shí)體系.

（3）筆者在教學(xué)設(shè)計(jì)中比較注重學(xué)生的自主發(fā)現(xiàn)，將教學(xué)內(nèi)容、數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法融合在一起，并引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行探索，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)研究世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系進(jìn)行深入的思考與探究，學(xué)生在領(lǐng)略數(shù)學(xué)刻畫問題的過程中更好地感受到了數(shù)學(xué)概念及研究對(duì)象的發(fā)生、發(fā)展過程，學(xué)生在參與數(shù)學(xué)結(jié)論的發(fā)現(xiàn)過程與數(shù)學(xué)概念系統(tǒng)的創(chuàng)建過程中往往會(huì)獲得更多的體驗(yàn)與感悟.

（4）筆者對(duì)于其他開口方向的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的探究設(shè)計(jì)是引導(dǎo)學(xué)生對(duì)橢圓、雙曲線方程進(jìn)行類比而獲得的，學(xué)生在焦點(diǎn)不同、圖形旋轉(zhuǎn)中進(jìn)行了大膽的猜測(cè)、推理與論證，這些方法上的類比很好地促進(jìn)了學(xué)生能力的遷移.

（5）筆者在此課的設(shè)計(jì)中始終沒有忽略“育人”的教學(xué)立足點(diǎn)，且在具體教學(xué)中盡量將教學(xué)提升至文化育人的高度.本課開始時(shí)設(shè)計(jì)了學(xué)生齊聲朗讀M·克萊因名言的環(huán)節(jié)，問題3的探究過程中引導(dǎo)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔美進(jìn)行了比較和感受，前面推導(dǎo)橢圓方程時(shí)引進(jìn)b2=a2-c2、推導(dǎo)雙曲線方程時(shí)引進(jìn)b2=c2-a2的方法也是細(xì)微之處見精神.

2.不足

（1）提“問題”、提“好問題”是具體教學(xué)中的一項(xiàng)重要任務(wù)，教師可以將自己教學(xué)中想說的或者想告訴學(xué)生的都設(shè)計(jì)成問題，并令學(xué)生在問題的思考中獲得答案是至關(guān)重要的.教師在學(xué)生遭遇困難時(shí)適時(shí)介入的“啟”和“發(fā)”給予學(xué)生的不僅僅是茅塞頓開，更多的是思維上的拓展.筆者在處理問題的環(huán)節(jié)中投入了較多的時(shí)間，導(dǎo)致學(xué)生進(jìn)行鞏固練習(xí)的時(shí)間明顯不夠，在問題5上的討論上給予學(xué)生的時(shí)間也明顯不足，學(xué)生的討論倉促而不夠充分，筆者也因此過早地進(jìn)行了歸納記憶與課堂小結(jié).

（2）課堂小結(jié)也因?yàn)闀r(shí)間的倉促而過于簡(jiǎn)單，學(xué)生自主參與小結(jié)的過程太過簡(jiǎn)單，由此看來，有必要適當(dāng)縮減之前的教學(xué)時(shí)間并為學(xué)生的小結(jié)反思預(yù)留更多的時(shí)間.

（3）課后的探究問題沒有來得及布置.學(xué)生的課后思考是課堂教學(xué)的延伸，是學(xué)生對(duì)上節(jié)課所學(xué)內(nèi)容的反思、體驗(yàn)、鞏固與拓展，也是后續(xù)學(xué)習(xí)必要的鋪墊，但也因?yàn)闀r(shí)間的不夠而沒有得到落實(shí).

3.改進(jìn)

教師可以運(yùn)用視頻展示折紙的步驟以節(jié)約時(shí)間，學(xué)生也能在直觀中獲得清晰的感知并順利折出拋物線，對(duì)研究對(duì)象形成清晰感知的同時(shí)，更加容易獲得成功的體驗(yàn).W