徐成波

（四川旅游學(xué)院 經(jīng)濟管理學(xué)院，成都 610100）

0 引言

Gertler和Waldman（1992）[1]在考慮無法觀測到的質(zhì)量變量時，提出了模型估計的方法，這一關(guān)鍵技術(shù)解決了長期以來實證研究中無法獲得不可觀測的質(zhì)量數(shù)據(jù)的難題，在實證分析中產(chǎn)生了較大影響。Mocan（1995）[2]的模型在此基礎(chǔ)上有所變化，不僅省略了其中的許多項，而且還加入了虛擬變量。但二者的關(guān)鍵點都是采用了質(zhì)量調(diào)整成本函數(shù)，分析護理行業(yè)提高相應(yīng)的質(zhì)量水平測度成本會增加多少。

質(zhì)量調(diào)整成本函數(shù)的邏輯起點為古典經(jīng)濟學(xué)的成本函數(shù)，但該函數(shù)并沒有考慮質(zhì)量因素（包括食品安全和產(chǎn)品質(zhì)量），即質(zhì)量因素是外生的。后來，Braeutigam和Pauly（1986）[3]作出了開創(chuàng)性的貢獻，將質(zhì)量納入成本函數(shù)，并檢驗出質(zhì)量變量是內(nèi)生的，指出在此情況下如果沒有考慮質(zhì)量將導(dǎo)致有偏估計。但該文獻沒有提供此時如何估計成本函數(shù)的方法。Gertler和Waldman（1992）[1]在此基礎(chǔ)上又進一步做出了上文所提到的貢獻。而Antle（2000）[4]將此方法引入到對食品安全生產(chǎn)方面的研究中，對食品安全作了類似的處理，準確測度出食品安全生產(chǎn)所產(chǎn)生的成本，從而為食品安全監(jiān)管政策的制定及評估提供科學(xué)的解釋。國內(nèi)學(xué)者王志剛等（2012）[5]首次采用了Antle（2000）[4]的方法，通過對全國334家實施HACCP的食品加工企業(yè)進行實證研究。

從國內(nèi)外的研究來看，質(zhì)量調(diào)整成本函數(shù)在該類研究中得到了廣泛應(yīng)用，在解決無法觀測到的產(chǎn)品質(zhì)量和食品安全變量時，具有很強大的功能。但質(zhì)量調(diào)整成本函數(shù)設(shè)定形式的科學(xué)性和復(fù)雜的數(shù)學(xué)特征還有待研究，這將有助于更靈活地使用該類函數(shù)。

1 模型構(gòu)建

在此借用Gertler和Waldman（1992）[1]、Antle（2000）[4]的分析框架，引入質(zhì)量調(diào)整成本函數(shù)C=C（Y,S,Q,W,K）和導(dǎo)出的均衡食品安全方程S=S（Q,W,K,P,Z），其中，C是總成本，Y是總產(chǎn)量，S是食品安全，Q是產(chǎn)品質(zhì)量，W是要素價格，K是資本，P是產(chǎn)品價格，Z是刻畫市場需求狀況的變量，包括經(jīng)濟和人口特征等。從目前國內(nèi)外的研究來看，各種文獻對質(zhì)量調(diào)整成本函數(shù)均采取了超越對數(shù)成本函數(shù)形式，該函數(shù)是經(jīng)驗研究中最頻繁使用的靈活函數(shù)形式，在眾多奇異的函數(shù)形式中成為最可靠與最受歡迎的函數(shù)。其特征為包含每個解釋變量的一次項、二次項和變量之間的交互項①將式（1）設(shè)定為超越對數(shù)成本函數(shù)形式時，對于變量S而言，還存在一些項lnSlnY、lnSlnK、lnSlnW、lnSlnQ；因lnSlnY與變量Y構(gòu)成的lnYlnS相等，故任選擇一項即可。其他變量的構(gòu)造也作類似處理。：

其中，h=1,???,H種生產(chǎn)要素，υ為隨機擾動項，α為涉及食品安全變量S的所有項，等于αyslnYlnS+1/2ηss（lnS）2。由式（1）可導(dǎo)出第h種要素的成本份額方程：

在實證分析中，由式（1）超越對數(shù)成本方程和式（2）要素成本份額方程組成系統(tǒng)結(jié)構(gòu)模型，將均衡食品安全方程帶入其中，轉(zhuǎn)化為系統(tǒng)簡化模型，采用似不相關(guān)估計（簡記SUR），以提高估計的效率，最終通過系統(tǒng)簡化模型的參數(shù)求解系統(tǒng)結(jié)構(gòu)模型的參數(shù)。

如果上述系統(tǒng)結(jié)構(gòu)模型簡記為Y=Xβ+ε，那么運用SUR的參數(shù)估計量可表達為[6]：

其中，Ω為擾動項ε的方差-協(xié)方差矩陣。在式（3）中存在的前提條件是Ω為非奇異矩陣。這意味著，如果Ω為奇異矩陣，那么就難以運用SUR來估計系統(tǒng)結(jié)構(gòu)模型，這是此類實證分析需要著重解決的一個重要問題。

2 模型特征分析

2.1 超越對數(shù)成本方程為二階泰勒展開式

為說明式（1）設(shè)置的科學(xué)性，提出以下命題：

命題1：超越對數(shù)成本方程為質(zhì)量調(diào)整成本函數(shù)的二階泰勒近似。

證明：假定一元函數(shù)y=f（x）在領(lǐng)域內(nèi)連續(xù)、可微，并且n階導(dǎo)數(shù)存在。則y=f（x）在點x0處的泰勒展開式為：

多元函數(shù)的泰勒展開形式與一元函數(shù)類似，只是由于前者向量乘積表達式的復(fù)雜性，造成了二者表達形式上的差異。

將上文式（1）記為：

對式（5）中解釋變量X賦初始值，即分別為lnY0,lnK0,lnW0,lnQ0,lnS0。根據(jù)上述式（4）泰勒展開式的形式，式（5）二階以下的泰勒展開式各項分別為：零次項lnC0=C（lnY0,lnK0,lnW0,lnQ0,lnS0），一 次 項 g（lnX0）T（lnX-lnX0），二 次 項（lnX-lnX0）TH（lnX0）（lnX-lnX0）。其中，一次項中的 g（lnX0）為梯度形式，可表達為：

二次項中的H（lnX0）為海塞矩陣形式，可表達為：

一次項和二次項中的lnX-lnX0可表達為[lnY-lnY0,lnK-lnK0,lnW-lnW0,lnQ-lnQ0,lnS-lnS0]T

于是式（5）的二階泰勒近似可表達為：

令g0≡g（lnX0）、H0≡H（lnX0），則式（8）可整理為：

結(jié)合式（5）中的lnX和式（7）H0的形式可以知道，式（9）中 （lnX）TH0?lnX0和 （lnX0）TH0?lnX展開為一系列標量的乘積，而多個標量的乘積可交換相應(yīng)的位置，故（lnX）TH0?lnX0=（lnX0）TH0?lnX；如果式（5）二階偏導(dǎo)連續(xù)可微，根據(jù)楊氏定理（Young "s Theorem），那么，式（7）海塞矩陣H為對稱方陣，即H0=HT0。進一步可以得到：（lnX）TH0?lnX0=（H0?lnX0）T?lnX。這樣，式（9）可變?yōu)椋?/p>

將式（5）省略了的三階以上泰勒展開式各項統(tǒng)一納入擾動項u中，那么式（10）可精確地表達為：

將式（5）lnC0、式（6）g0和式（7）H0帶入式（12）進行展開，通過一系列較為繁瑣的計算整理，便可得到上文式（1）超越對數(shù)成本方程。限于篇幅原因，在此省略這一過程。

綜合上述分析可知，超越對數(shù)成本方程為在各解釋變量初始值lnY0、lnK0、lnW0、lnQ0和lnS0的二階泰勒近似。從式（12）還可以看出，上文式（1）超越對數(shù)成本方程各系數(shù)為解釋變量初始值、關(guān)于解釋變量初始值的梯度和關(guān)于解釋變量初始值的海塞矩陣的線性組合。

證畢。

2.2 超越對數(shù)成本方程相關(guān)參數(shù)約束條件

命題2：超越對數(shù)成本方程參數(shù)滿足以下條件

證明：為簡化分析，暫時省略上文式（1）超越對數(shù)成本方程的食品安全變量S，即省略α，相應(yīng)地，式（2）要素成本份額方程也就不存在lnS一項，這并不影響整個推導(dǎo)過程①如果不省略食品安全變量S，那么在將均衡食品安全方程帶入式（1）超越對數(shù)成本方程時，只會增加繁瑣的計算過程。在合并整理以后，整個推導(dǎo)過程與省略食品安全變量S的情況完全類似。。將式（2）按h種要素展開：

將式（5）按 h種要素記為C（lnY,lnS,lnQ,lnW1,lnW2,…,lnWH,lnK）=lnC，假定h種要素的價格均增加λ倍，由上文式（5）可得：

在式（14）中，結(jié)合式（13）所隱含的約束條件，可得出：

如果式（1）是關(guān)于各種要素價格的一次齊次函數(shù)，那么由式（5）可得：

式（15）和式（16）為完全不同的兩個式子，由此可知，命題2的約束條件是由和對稱條件γww?hj=γww?jh推導(dǎo)出來的，而并不涉及超越對數(shù)成本方程是否為一次齊次函數(shù)②Gertler and Waldman（1992）、Antle（2000）認為參數(shù)約束是由對稱矩陣假定和超越對數(shù)成本方程為各種要素價格的一次齊次函數(shù)兩個條件推導(dǎo)得出，這是不正確的。。

證畢。

2.3 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)模型擾動項方差-協(xié)方差矩陣為奇異矩陣

命題3：超越對數(shù)成本方程和要素成本份額方程組成的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)模型擾動項方差-協(xié)方差矩陣為奇異矩陣。

證明：假定上文式（2）H個要素成本份額方程組成系統(tǒng)模型，而系統(tǒng)模型的擾動項為ε，即ε=[ε1ε2…εH]T，則那么：

從式（18）可以看出，Ω為非奇異矩陣是保證上文式（3）SUR參數(shù)估計量存在的必要條件。假定上文式（2）的擾動項依然具有零均值的特性，即Eε=0；那么由式（17）可得：

其中，?為克羅內(nèi)克爾乘積（Kronecker product），Σ?IH表示矩陣Σ每一個元素與IH相乘。根據(jù)行列式性質(zhì)，將式（19）Σ的行列式的第1行至第H-1行加到第H行，結(jié)果為：

推論1：在H個要素成本份額方程組成的系統(tǒng)模型中，加入超越對數(shù)成本方程，依然沒有改變系統(tǒng)結(jié)構(gòu)模型擾動項方差-協(xié)方差矩陣的奇異性。

推論1的證明與命題3的證明類似，限于篇幅，省去證明過程。命題3意味著超越對數(shù)成本方程和要素成本份額方程組成的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)模型不能用SUR進行估計，因為在此系統(tǒng)結(jié)構(gòu)模型框架下，式（3）并不成立，這是在實證分析中極易犯的一個嚴重錯誤。為解決這一問題，提出以下推論：

推論2：在H個要素成本份額方程和超越對數(shù)成本方程組成的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)模型中，“任意”去掉一個成本份額方程將改變系統(tǒng)結(jié)構(gòu)模型擾動項方差-協(xié)方差矩陣的奇異性。

推論2的證明與命題3的證明類似，限于篇幅，省去證明過程。

2.4 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)模型擾動項方差-協(xié)方差矩陣奇異性處理過程

延續(xù)推論2，為解決系統(tǒng)結(jié)構(gòu)模型擾動項方差-協(xié)方差矩陣奇異性問題，提出以下命題：

命題4：“任意”去掉一個成本份額方程指在系統(tǒng)結(jié)構(gòu)模型中，超越對數(shù)成本方程的被解釋變量和要素價格解釋變量同除以被剔除的成本份額方程所對應(yīng)的要素價格；剩下的H-1個要素成本份額方程的要素價格解釋變量也同除以被剔除的成本份額方程所對應(yīng)的要素價格。

證明：與命題2的證明類似，為簡化分析，也省略上文式（1）中的食品安全變量S。

如同推論2的證明，不失一般性，假定“任意”去掉一個要素成本份額方程，比如SH。那么，由命題2的約束條件可得：

將式（21）的約束條件分別帶入上文中式（1）和式（2）H-1個要素成本份額方程，并經(jīng)過較為繁瑣的整理后，得到：

式（22）和式（23）為系統(tǒng)結(jié)構(gòu)模型去掉要素成本份額方程SH的表現(xiàn)形式。事實上，在式（23）中，通過估計H-1個要素成本份額方程，然后根據(jù)式（21）的約束條件，即可求出第H個要素成本份額方程的參數(shù)，從而得到第H個要素成本份額方程。

證畢。

3 結(jié)束語

本文關(guān)于超越對數(shù)成本方程和要素成本份額方程組成系統(tǒng)結(jié)構(gòu)模型的特征分析，不僅給出了構(gòu)建該模型的嚴格證明，而且對于進一步拓展該類模型具有重要啟示。比如，在式（1）中可根據(jù)需要進一步分析方程三次以上的項，以考察更多關(guān)于食品安全生產(chǎn)的經(jīng)濟現(xiàn)象。并且，不可觀測的變量食品安全S均放入α，這正是面板方程的標志性特征，可將超越對數(shù)成本方程拓展為面板形式。至于α與其他解釋變量是否相關(guān)，需采用相關(guān)的樣本數(shù)據(jù)進行檢驗，決定式（1）的模型形式選擇問題，即為混合效應(yīng)、固定效應(yīng)還是隨機效應(yīng)。意味著，式（1）可通過α的變化可以設(shè)定為多種形式，從而能夠有效地解釋當前各種文獻對超越對數(shù)成本方程不同的設(shè)定形式，今后將在隨后完成這些拓展研究。