黨亞崢，徐騰飛，高 巖

（上海理工大學(xué) 管理學(xué)院，上海 200093）

隨著我國電力供給改革的進一步深化，電力供給方式出現(xiàn)多樣化發(fā)展，其中，最具潛力的就是電力競標(biāo)，而電力競標(biāo)的依據(jù)之一就是短期負(fù)荷預(yù)測。短期負(fù)荷預(yù)測的精度直接影響到電網(wǎng)管理系統(tǒng)的規(guī)劃、調(diào)度，甚至電網(wǎng)的安全性和運營能力，始終是電力系統(tǒng)研究的一個重點[1-2]。

由于電力負(fù)荷對天氣、線路規(guī)劃、政策以及電力系統(tǒng)運行等外部環(huán)境敏感，使得電力負(fù)荷預(yù)測的難度要比電力價格預(yù)測的高。但是，鑒于負(fù)荷與電價的高度相關(guān)性，許多用以預(yù)測電價的方法能在預(yù)測負(fù)荷方面使用[3-5]。較為流行的方法是將經(jīng)典 ARIMA（auto regressive integrated moving average）預(yù)測模型[6]、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法[7-8]與小波分析法[9]進行有機組合。采用經(jīng)典ARIMA預(yù)測模型對已經(jīng)進行小波降噪處理的電力負(fù)荷值進行預(yù)測，雖比單一使用ARIMA預(yù)測的精度高，但沒有考慮到電價信息對電力負(fù)荷的潛在影響，將部分屬于電價信息的因素作為噪聲進行了消除[10-11]。采用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（artificial neural network）預(yù)測方法對電力負(fù)荷進行小波變換后的序列值進行預(yù)測，但神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)由于過度依賴人為調(diào)節(jié)閾值，使得環(huán)境的適應(yīng)性較低[12-13]。其他研究都充分利用了小波分析在處理時間與頻率信息、聚焦峰值與細(xì)節(jié)方面的優(yōu)異性能，使得處理信息丟失少，這種對非平穩(wěn)信號的處理能力會隨著研究的深入而逐步增強[14-16]。

本文憑借小波分析適應(yīng)非平穩(wěn)信號程度高、對時域和頻域的多尺度刻畫精細(xì)等優(yōu)點，充分利用ARIMAX模型對被解釋變量滯后值的解釋能力強的特性，加入電價信息序列，構(gòu)建新的W-ARIMAX模型預(yù)測方案。

1 理論基礎(chǔ)

1.1 小波分析

小波分析基于傅里葉變換，具有對局部分析能力強、非平穩(wěn)序列擬合程度高、時頻多、分辨率高的優(yōu)點，且對環(huán)境的自適應(yīng)度高，應(yīng)用廣泛[17-18]。小波定義：在能量有限的空間中，滿足變換條件（式（1）），則稱為小波。

小波的逆變換

在對歷史電價、負(fù)荷序列分解測試中，比較Mexico草帽小波、Daubechies法、Mallat法與Haar小波法，采用對數(shù)據(jù)平滑趨向擬合較好的方法，本文優(yōu)選出Haar正交小波作為分解工具[19-20]。同時，由于每一層分解都會產(chǎn)生誤差，分解層數(shù)越多，誤差越大，預(yù)測精度也會越低。對電價的分解層數(shù)進行論證，分解一層為宜[21-22]，本文支持該論斷。

1.2 ARIMAX模型理論

在隨機序列中，對其單位根檢驗結(jié)果不能顯著拒絕原假設(shè)，說明存在單位根，是非平穩(wěn)序列。顯然，電價與負(fù)荷均是非平穩(wěn)的時間序列，電價與負(fù)荷序列在時間上有密切的正相關(guān)均衡關(guān)系，本文對歷史電價與負(fù)荷進行整協(xié)檢驗，并未出現(xiàn)虛假回歸問題，證實含有電價信息與負(fù)荷信息確實可以構(gòu)成ARIMAX模型對負(fù)荷預(yù)測。

而ARIMAX模型的構(gòu)成單元是ARIMA（ autoregressive integrated moving average model） 模型，且ARIMA經(jīng)過差分d，平穩(wěn)化處理后即為ARMA。ARMA模型為

式中：xt為序列值；是均值為0的隨機干擾序列；與是時間序列xt的未知數(shù)參數(shù)；p為自回歸階數(shù)；q為移動平均階數(shù)。

ARIMAX模型需要對參數(shù)p，d，q進行優(yōu)選定參，主要方法是AIC法與BIC法[23]。AIC法是指提取觀測值最大信息量后產(chǎn)生的下降至最小，以此定參數(shù)，但需要已知白噪聲的概率分布，這種基于先驗論的方法進行定階就會出現(xiàn)偏誤。理論已經(jīng)證明，樣本數(shù)量長度的無限變大，其計算值不會越來越接近真實值；BIC法是對前者的改進，強調(diào)模型高階數(shù)與低階數(shù)的影響權(quán)重，但因權(quán)重大小會引起區(qū)間震蕩，在波動性很強的領(lǐng)域，如電價與負(fù)荷，單一采用BIC法會產(chǎn)生嚴(yán)重的偏離值。因此，本文首先采用AIC法約定數(shù)個階數(shù)，再采用BIC法核定階數(shù)，選出最優(yōu)階數(shù)用來預(yù)測負(fù)荷。

2 短期負(fù)荷預(yù)測的W-ARIMAX模型

2.1 W-ARIMAX模型思想

小波分析是對周期電價、負(fù)荷序列進行多頻率的分解與重構(gòu)，將電價、負(fù)荷的低頻部分作為函數(shù)的近似，是概貌信息序列；將電價、負(fù)荷的高頻部分作為函數(shù)的分量，是細(xì)節(jié)信息序列。從信號角度分析，將后者分離屬于“降噪”過程。去噪后的電價、負(fù)荷概貌信息序列，采用ARIMAX模型可以大致預(yù)測出負(fù)荷的未來值，但是，由于初始信息被剝離一層，因此，需要細(xì)節(jié)信息序列來補充。這兩者采用ARIMAX模型均是基于小波分析（wavelet analysis）為前提，故本文命名為“WARIMAX”模型。

W-ARIMAX預(yù)測方案：首先，將電力負(fù)荷與電力價格的混合模塊信息帶進行小波分解，得到時域的概貌信息序列與頻域的細(xì)節(jié)信息序列；其次，對兩者的概貌與細(xì)節(jié)分別進行協(xié)同ARIMAX模型預(yù)測，得出短期負(fù)荷概貌與細(xì)節(jié)的預(yù)測值；然后，將兩組擁有電價信息的預(yù)測值進行小波重構(gòu)，得出最終的短期負(fù)荷預(yù)測值；最后，運用本文構(gòu)建的 W-ARIMAX模型對PJM（Pennsylvania New Jersey Maryland）公司的歷史電力負(fù)荷值進行預(yù)測。建模過程中驗證了對負(fù)荷和電價的最優(yōu)小波分解層數(shù)是1，對多變量參數(shù)進行優(yōu)化是必要的，負(fù)荷分解后進行單一預(yù)測會產(chǎn)生較大偏誤。研究表明，W-ARIMAX模型預(yù)測方案可以提高短期負(fù)荷預(yù)測精度。

2.2 W-ARIMAX模型步驟與流程圖

W-ARIMAX模型需要對非平穩(wěn)的電價、負(fù)荷時間序列實施小波分解，然后以電價作為自變量，以負(fù)荷作為因變量，依靠歷史數(shù)據(jù)進行短期負(fù)荷預(yù)測。其建模流程如圖1所示。建模步驟：

a.對歷史電價、負(fù)荷分別進行自相關(guān)（AIC）與偏自相關(guān)（PAC）檢驗，通過檢驗（證明兩者不是白噪聲序列）后進行下一步；

b.分別對歷史電價、負(fù)荷序列進行二進制的正交Haar連續(xù)小波分解，得到兩者的概貌信息序列與細(xì)節(jié)信息序列；

c.針對概貌信息序列，以歷史電價為自變量、負(fù)荷為因變量套用ARIMAX模型，首先識別兩者的相關(guān)性，然后優(yōu)選AIC法與BIC法定階數(shù)，建立回歸預(yù)測模型，對殘差序列進行單位根檢驗，并預(yù)測未來負(fù)荷的概貌信息序列；

d.對細(xì)節(jié)信息序列仍使用ARIMAX模型，預(yù)測未來負(fù)荷的細(xì)節(jié)信息序列；

e.將負(fù)荷的概貌信息序列與細(xì)節(jié)信息序列預(yù)測值作為小波重構(gòu)，基函數(shù)仍為Haar小波。

圖1 W-ARIMAX模型流程Fig.1 Flow-process diagram of the W-ARIMAX model

3 算例證明

小波分析結(jié)合電價信息，構(gòu)建的W-ARIMAX模型對負(fù)荷值進行預(yù)測，這一新的組合方法需要運用實例證明。本文采用美國聯(lián)合PJM公司2017年1月的歷史電價、負(fù)荷。由于電價與負(fù)荷的單位以及體量值不同，本文將負(fù)荷數(shù)值縮小109倍，處理后的數(shù)值將不再帶有單位。數(shù)據(jù)可從官網(wǎng)下載，http://www.pjm.com/markets-andoperations/energy/real-time/monthlylmp.aspx，兩者的時間序列如圖2所示。t為時間，X為電價，Y為負(fù)荷。

圖2 電價和負(fù)荷時間序列折線圖Fig.2 Time series lines graph of the electricity price and load

首先，對歷史電價與負(fù)荷的時間序列進行白噪聲檢驗，結(jié)果表明，兩者都有強的自相關(guān)和偏自相關(guān)，這是能對未來負(fù)荷進行預(yù)測的基礎(chǔ)。然后，分別利用Mexico草帽小波、Daubechies法、Mallat法和Haar小波法進行分解與重構(gòu)，分別將每種方法模擬效果最佳的序列進行比較，優(yōu)選Haar小波?；贖aar小波對歷史電價與負(fù)荷的時間序列進行分解，分別得到兩者的概貌信息序列（aprox）與細(xì)節(jié)信息序列（detail），如圖3和圖4所示。

圖3 電價與負(fù)荷的概貌序列折線圖Fig.3 Low frequency sequence line graphs of the electricity price and load

對分解后的負(fù)荷概貌信息序列，加入電價概貌信息序列作為信息，構(gòu)建為概貌信息序列的WARIMAX模型，并且對參數(shù)進行擇優(yōu)后，對未來3天的負(fù)荷概貌信息序列進行預(yù)測，得到概貌模型與預(yù)測時序圖5。 概貌模型的差分為一階差分，步長為 24，移動平均階數(shù)q：1?0.403 94B（1），自回歸階數(shù)p：1? 1.886 12B（1）+ 1.279 62B（2）? 0.482 04B（3）+0.217 31B（4） ? 0.213 56B（5）+ 0.067 31B（6）+0.110 31B（7）+ 0.075 29B（8）

其中，B(N)是指第N個參數(shù)。

對分解后的負(fù)荷細(xì)節(jié)信息序列，加入電價細(xì)節(jié)信息序列作為信息，構(gòu)建為細(xì)節(jié)信息序列的WARIMAX模型，對參數(shù)進行擇優(yōu)后，對未來3天的負(fù)荷細(xì)節(jié)信息序列進行預(yù)測，得到細(xì)節(jié)模型與預(yù)測時序圖6。細(xì)節(jié)模型的差分為一階差分，步長為24，自回歸階數(shù)p為

1? 0.459 97B（1） + 0.259 61B（2） + 0.045 26B（3） +0.077 74B（4） + 0.042 07B（5） + 0.011 98B（6） +0.063 74B（7） + 0.109 27B（8） + 0.021 09B（9） +0.014 38B（10） + 0.079 54B（11） ? 0.858 69B（12） +0.462 72B（13） ? 0.218 72B（14） + 0.046 43B（15）

圖4 電價與負(fù)荷的細(xì)節(jié)序列折線圖Fig.4 High frequency sequence line graphs of the electricity price and load

圖5 概貌序列預(yù)測折線圖Fig.5 Low frequency sequence forecast line graphs

圖6 細(xì)節(jié)序列預(yù)測折線圖Fig.6 High frequency sequence forecast line graphs

為了進一步驗證引入Haar小波分解對負(fù)荷預(yù)測效果的影響，本文構(gòu)造了基于小波的ARIMA模型（WARIMA模型），對未來負(fù)荷概貌信息序列與負(fù)荷細(xì)節(jié)信息序列的預(yù)測值進行小波重構(gòu)，得到未來3天的負(fù)荷預(yù)測值，將含有電價信息和小波分析ARIMAX模型的預(yù)測結(jié)果（W-ARIMAX）、不含有電價信息與小波分析的經(jīng)典ARIMA模型的預(yù)測結(jié)果（ARIMA）、不含有電價信息（含有小波分析）的經(jīng)典ARIMA模型的預(yù)測結(jié)果（W-ARIMA）同真實負(fù)荷值（Real）進行比對，如表1所示，并輸出直觀的3種模型預(yù)測時序同真實值的對比，如圖7所示。

圖7 3種模型的預(yù)測時序同真實值的對比圖Fig.7 Comparison of the predicted time series by the three models with the real values

表1 3種預(yù)測方法輸出值與真實值Tab.1 Output values of the three forecasting methods and real values

4 結(jié) 論

a.選用Haar小波作為小波分解的基，模型在定階過程中，先采用AIC法定出p與q，并且比對BIC法定出的p與q，在有限的幾組參數(shù)中選取最佳值，既提高了精確度，又節(jié)省了調(diào)參時間，預(yù)測效率明顯提高。

b.在ARIMA 模型、W-ARIMA 模型、W-ARIMAX模型預(yù)測值對比過程中發(fā)現(xiàn)，構(gòu)建的含有電價信息的W-ARIMAX模型，豐富了數(shù)據(jù)信息，彌補了兩次誤差序列丟失的信息，用該模型預(yù)測達(dá)到5.74%相對精度（7.1%絕對精度），比W-ARIMA模型的相對精度提高了3.59%（絕對精度提高了2.25%），更比經(jīng)典ARIMA模型的相對精度提高了10.23%（絕對精度提高了8.88%）。

c.從3個模型的預(yù)測序列圖中發(fā)現(xiàn)，在負(fù)荷趨勢走向明顯的情況下，新構(gòu)建的W-ARIMAX模型的擬合效果好，但出現(xiàn)尖峰時就會出現(xiàn)預(yù)測值爬升與回蕩乏力的情況，下一步工作需要構(gòu)建合適的動量因子加以改善。