◆張潔彬

(唐山市第十二中學(xué))

求線段長(zhǎng)的最值問(wèn)題是近年來(lái)中考常見(jiàn)題型，解決此類問(wèn)題，學(xué)生可以在教師的引導(dǎo)下抽象或提煉出相應(yīng)的解題基本模型，從而達(dá)到提升學(xué)生的解題能力。筆者現(xiàn)對(duì)題目中蘊(yùn)含隱形圓的基本模型做以下三點(diǎn)分析。

利用隱形圓求線段最值問(wèn)題，要清楚解題的基本模型，利用“三角形兩邊之和大于第三邊；三角形兩邊之差小于第三邊?！钡男再|(zhì)求線段的最大和最小值。如圖1，當(dāng)點(diǎn)P為⊙O外一點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)P到圓上各點(diǎn)的最大距離是直線PO上點(diǎn)P與遠(yuǎn)交點(diǎn)B之間的線段PB的長(zhǎng)，最小距離是直線PO上點(diǎn)P與近交點(diǎn)A之間的線段PA的長(zhǎng)；當(dāng)點(diǎn)P為⊙O內(nèi)一點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)P到圓上各點(diǎn)的最大距離也是直線PO上點(diǎn)P與遠(yuǎn)交點(diǎn)B之間的線段PB的長(zhǎng)，最小距離也是直線PO上點(diǎn)P與近交點(diǎn)A之間的線段PA的長(zhǎng)。明確模型后，就可以將“兩點(diǎn)間線段的長(zhǎng)”轉(zhuǎn)化為“定點(diǎn)到圓上各點(diǎn)的距離”，從而通過(guò)找到動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡是圓(弧)，利用隱形圓與遠(yuǎn)近交點(diǎn)的關(guān)系即“圓內(nèi)(外)一點(diǎn)到圓上各點(diǎn)的連線中，點(diǎn)與過(guò)圓心的直線與圓近交點(diǎn)距離最短，遠(yuǎn)交點(diǎn)距離最長(zhǎng)”來(lái)求線段長(zhǎng)的最大和最小值。

一、“一中同長(zhǎng)”發(fā)現(xiàn)隱形圓求最值

例1.如圖2，在矩形紙片ABCD中，AB=2，AD=3，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F是AD邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將△AEF沿EF所在直線翻折，得到△A’EF，則A’C的長(zhǎng)的最小值是___.

變式：如圖5，在矩形紙片ABCD 中，AB=2，AD=3，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F是AD、DC或BC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將四邊形ADFE或五邊形ADCFE沿EF所在直線翻折，得到四邊形A′EFD’或五邊形A′EFC’D’，則A’C的長(zhǎng)的最大值是___.

二、利用旋轉(zhuǎn)軌跡發(fā)現(xiàn)隱形圓求最值

例2.如圖7，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，將△ABC繞頂點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△A′B′C，M是BC的中點(diǎn)，P是A′B′的中點(diǎn)，連接PM，若BC=2，∠BAC=30°，求線段PM的最小值與最大值。

三、定弦對(duì)定角”發(fā)現(xiàn)隱形圓(弧)求最值

1.角為直角

例3.如圖10，在等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，點(diǎn)D是AC邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接BD，以AD為直徑的圓交BD于點(diǎn)E，則線段CE長(zhǎng)度的最小值為多少？

2.角為非直角

例4.如圖12，△ABC為等邊三角形，AB=2.若P為△ABC內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且滿足∠PAB=∠ACP，則線段PB長(zhǎng)度的最小值為_(kāi)__.

分析：

通過(guò)以上問(wèn)題的探究，我們發(fā)現(xiàn)基礎(chǔ)知識(shí)是學(xué)生解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的最基本要素。在教學(xué)中，教師要善于引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)動(dòng)點(diǎn)題目中不變的量，不變的性質(zhì)和不變關(guān)系。對(duì)于求解一條線段長(zhǎng)的最值問(wèn)題學(xué)生常常會(huì)發(fā)現(xiàn)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是一個(gè)隱形的圓。教師要引導(dǎo)學(xué)生抓住圖形的這一幾何特征，依據(jù)“圓內(nèi)(外)一點(diǎn)到圓上各點(diǎn)的連線中，點(diǎn)與過(guò)圓心的直線與圓近交點(diǎn)距離最短，遠(yuǎn)交點(diǎn)距離最長(zhǎng)”這一基本解題模型，通過(guò)以靜制動(dòng)，多解歸一的方法來(lái)求得線段長(zhǎng)的最大或最小值。