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        兩法解決平衡的穩(wěn)定性問題

        2019-03-26 05:37:52
        物理教師 2019年2期
        關(guān)鍵詞:輕桿平衡位置外力

        (紹興市第一中學(xué),浙江 紹興 312000)

        物體的平衡狀態(tài)可分為穩(wěn)定平衡、不穩(wěn)定平衡和隨遇平衡.在高中物理競賽教學(xué)中,經(jīng)常要求求解物體的平衡位置,并對其平衡的穩(wěn)定性進(jìn)行分析討論.對于這類問題,一般可以用以下兩種方法進(jìn)行求解.

        1 力矩法

        處于平衡狀態(tài)的物體,若受到外界擾動而偏離平衡位置,將產(chǎn)生合外力力矩.如果合外力力矩是一個回復(fù)力矩,即此合外力力矩有把物體拉回原平衡位置的傾向,那么物體的平衡為穩(wěn)定平衡;如果合外力力矩有把物體推離平衡位置的傾向,那么物體的平衡為不穩(wěn)定平衡;如果既沒有回復(fù)原位又沒有遠(yuǎn)離原位的傾向,那么物體的平衡為隨遇平衡.

        力矩法,即先通過力矩平衡找到平衡位置;再考慮偏離平衡位置后,偏移量的方向與所受合外力力矩的方向的關(guān)系,從而來判斷物體的平衡穩(wěn)定性.

        例題.如圖1所示,半徑為R的圓環(huán)繞其鉛垂直徑以不變的角速度ω勻速轉(zhuǎn)動.兩質(zhì)量為m的珠子用長為L=R的輕桿相連,套在圓環(huán)上可以無摩擦地滑動.試求輕桿在圓環(huán)上的平衡位置,用環(huán)心O與桿中點(diǎn)C的連線與豎直軸的夾角θ表示,并分析平衡的穩(wěn)定性.[1]

        圖1 圖2

        解析:(1) 先求輕桿在圓環(huán)上的平衡位置.

        取隨環(huán)勻速轉(zhuǎn)動的參考系,輕桿與珠子組成的系統(tǒng)處于平衡狀態(tài),系統(tǒng)受到重力2mg、環(huán)對兩小球指向環(huán)心的彈力N1、N2,以及慣性離心力f1、f2,受力分析如圖2所示,其中作用在上、下端珠子的慣性力f1、f2分別為

        f1=mω2Rsin(θ+30°),

        f2=mω2Rsin(θ-30°).

        對豎直軸,系統(tǒng)所受合外力力矩為M=MG+Mf1+Mf2,其中

        代入化簡可得

        平衡時有M=0,解此方程,得系統(tǒng)平衡位置.

        (2) 討論平衡位置的穩(wěn)定性.

        微擾令系統(tǒng)偏離平衡位置,討論偏移量dθ的正負(fù)與對應(yīng)合外力力矩M的正負(fù)關(guān)系.若偏離平衡位置時,合外力力矩M一直為0,則為隨遇平衡;若偏離平衡位置的偏移量dθ的正負(fù)與合外力力矩M的正負(fù)一致,則為不穩(wěn)定平衡;相反的,則為穩(wěn)定平衡.

        表1

        2 勢能函數(shù)法

        下面用勢能函數(shù)法重解上述例題.

        取隨環(huán)勻速轉(zhuǎn)動的參考系,輕桿與珠子組成的系統(tǒng)處于平衡狀態(tài),通過受力分析可知,該例中系統(tǒng)的勢能包含重力2mg對應(yīng)的重力勢能Epg、慣性離心力f1和f2對應(yīng)的離心勢能Ef1及Ef2.

        同理,下端的珠子的離心勢能為

        其中,r1=Rsin(θ+30°),r2=Rsin(θ-30°).

        從而有系統(tǒng)的勢能E(θ)=Epg+Ef1+Ef2,即

        從圖中可知,勢能函數(shù)的極值點(diǎn)對應(yīng)平衡位置,如圖3的A點(diǎn)和B點(diǎn),圖4的C點(diǎn)、D點(diǎn)和E點(diǎn);勢能函數(shù)的極大值位置對應(yīng)不穩(wěn)定平衡位置,如圖3的B點(diǎn),圖4的C點(diǎn)和E點(diǎn);勢能函數(shù)的極小值對應(yīng)穩(wěn)定平衡位置,如圖3的A點(diǎn)和圖4的D點(diǎn).

        圖3 勢能函數(shù)圖

        圖4 勢能函數(shù)圖

        因此可以令勢能函數(shù)對廣義坐標(biāo)的一階導(dǎo)數(shù)等于零,來求得平衡位置;然后利用勢能函數(shù)對廣義坐標(biāo)的二階導(dǎo)數(shù)在平衡位置取值的正負(fù)來判斷平衡是屬于穩(wěn)定平衡還是不穩(wěn)定平衡.

        結(jié)論與方法1一致.

        為討論平衡位置的穩(wěn)定性,計算勢能函數(shù)對廣義坐標(biāo)的二階導(dǎo)數(shù),有

        取極小值,屬于穩(wěn)定平衡.

        3 方法應(yīng)用

        圖5

        如圖5所示,桿長l=a+b,質(zhì)心在C點(diǎn),桿的A、B兩端分別支于互相垂直的兩個光滑斜面上而處于平衡.試求出桿的平衡位置,并分析平衡的穩(wěn)定性.

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