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(1.中國電子科技集團(tuán)公司第三十八研究所， 安徽合肥 230088；2.孔徑陣列與空間探測安徽省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 安徽合肥 230088)

0 引 言

彈道導(dǎo)彈自問世以來，以其射程遠(yuǎn)、威力大、精度高、機(jī)動(dòng)性好和生存能力強(qiáng)等優(yōu)越性，成為戰(zhàn)爭中極具價(jià)值的武器系統(tǒng)，尤其海灣戰(zhàn)爭以后，受到世界各國高度重視[1]。應(yīng)運(yùn)而生的導(dǎo)彈防御成為各國軍事研究不可規(guī)避的任務(wù)。

關(guān)機(jī)后，彈道導(dǎo)彈所受空氣阻力很小，主要依靠慣性飛行，因此其飛行軌道在理論上是完全確定的。對(duì)一組雷達(dá)量測數(shù)據(jù)作平滑優(yōu)化，選取合適的初值，從而外推出彈道導(dǎo)彈的軌道，是預(yù)警、制導(dǎo)等雷達(dá)軟件系統(tǒng)的關(guān)鍵技術(shù)之一。

當(dāng)前使用較多的彈道外推算法，一類是基于彈道導(dǎo)彈的動(dòng)力學(xué)方程，使用數(shù)值法一步一步進(jìn)行外推[2]；另一類是采用解析法[3]，求出一組軌道參數(shù)，從而求解整個(gè)彈道。從理論上，在選取合適步長的情況下，數(shù)值法可以達(dá)到很高的外推精度，而軌道解析法的精度相對(duì)較低，但計(jì)算速度較數(shù)值法要快。無論是數(shù)值法還是解析法，它們的外推精度都極大地依賴于初始點(diǎn)的位置和速度信息的準(zhǔn)確性。初始點(diǎn)的選取方法應(yīng)用比較廣的有兩種：一種是直接濾波[4-5]，取濾波的最后一點(diǎn)為初始點(diǎn)；另一種是用最小二乘法分別在X,Y,Z三個(gè)維度上對(duì)量測數(shù)據(jù)進(jìn)行平滑，取平滑后的中點(diǎn)為初始點(diǎn)[6]。此外，還有一些方法是在這兩種方法的基礎(chǔ)上作一些調(diào)整和組合[7-9]。濾波方法使用了彈道導(dǎo)彈動(dòng)力學(xué)方程，最小二乘法是對(duì)彈道作數(shù)學(xué)近似。然而，彈道導(dǎo)彈作為一種特殊的雷達(dá)觀測目標(biāo)，其運(yùn)行軌道理論上是可完全確定的。但是，上述方法都沒有利用到彈道的這種獨(dú)特特性。

針對(duì)上述情況，本文在充分研究彈道導(dǎo)彈軌道特性的基礎(chǔ)上，設(shè)計(jì)并實(shí)現(xiàn)了一種基于三維空間幾何距離準(zhǔn)則的彈道外推方法，對(duì)初始點(diǎn)的位置和速度信息進(jìn)行優(yōu)化。該方法基于在地球慣性坐標(biāo)系中，標(biāo)準(zhǔn)彈道為位于過地球質(zhì)心的一個(gè)三維平面內(nèi)的橢圓這一事實(shí)，先確定橢圓平面，使所有量測點(diǎn)到該平面的幾何距離平方和最小，然后用各量測點(diǎn)在平面內(nèi)的投影點(diǎn)代替原始點(diǎn)跡進(jìn)行最小二乘法平滑，取所有平滑點(diǎn)中點(diǎn)為初始點(diǎn)，進(jìn)行彈道外推。應(yīng)用STK軟件進(jìn)行彈道仿真試驗(yàn)，分別使用最小二乘法和基于幾何距離準(zhǔn)則的方法對(duì)量測數(shù)據(jù)作平滑，選取合適的初始點(diǎn)進(jìn)行彈道外推，結(jié)果表明，該方法的外推精度有顯著提高。

1 基于幾何距離準(zhǔn)則的彈道外推方法

彈道導(dǎo)彈由于飛行時(shí)間短，可以忽略其軌道攝動(dòng)，將其彈道看作是繞地球質(zhì)心的二維橢圓軌道運(yùn)動(dòng)。在以地球質(zhì)心為原點(diǎn)的慣性坐標(biāo)系(Earth-Centered Inertial，ECI)下，彈道導(dǎo)彈的運(yùn)動(dòng)規(guī)律滿足開普勒定律[10]：1)彈道目標(biāo)的運(yùn)行軌道是一個(gè)橢圓，地球質(zhì)心與橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)重合；2)在相同時(shí)間內(nèi)，彈道目標(biāo)與地球質(zhì)心的連線掃過的面積相等；3)彈道目標(biāo)運(yùn)行周期的平方與其運(yùn)行軌道的橢圓長半軸的三次方成正比，比值為地心引力常數(shù)的倒數(shù)。

根據(jù)開普勒定律，可以推導(dǎo)出彈道目標(biāo)的運(yùn)行軌道為位于一個(gè)過地球質(zhì)心的平面內(nèi)的橢圓[7-8]。根據(jù)幾何知識(shí)，彈道目標(biāo)的橢圓軌道可由以下兩步來確定：1)計(jì)算軌道所在的平面，使得地球質(zhì)心位于平面內(nèi)；2)確定彈道軌道所在的三維橢球體，橢球體的兩個(gè)焦點(diǎn)都位于第1)步確定的平面內(nèi)。計(jì)算所得的平面和橢球體的交線即為彈道目標(biāo)的軌道。軌道確定后，彈道目標(biāo)在任一時(shí)刻的位置和速度都可以計(jì)算出來。反過來，知道彈道目標(biāo)在某一時(shí)刻的位置和速度，就可以外推出整條軌道。因此，用來計(jì)算的這一時(shí)刻的位置和速度信息的準(zhǔn)確性十分重要。

基于幾何距離準(zhǔn)則的彈道外推方法分為兩步：

1) 通過雷達(dá)的一組量測值估算出彈道目標(biāo)的軌道；

2) 取軌道中點(diǎn)為初始點(diǎn)，用數(shù)值法進(jìn)行彈道外推。

1.1 軌道計(jì)算

軌道計(jì)算的方法是先確定彈道平面，再在平面內(nèi)計(jì)算橢圓的方程。計(jì)算中，采用J2000地心慣性坐標(biāo)系。

1.1.1 計(jì)算彈道平面

考慮t1,t2,…,tn時(shí)刻的量測數(shù)據(jù)Xn={Xi}，Xi=[xiyizi]′，i=1,2,…,n。由于彈道目標(biāo)軌道所在的平面經(jīng)過坐標(biāo)系原點(diǎn)(地球質(zhì)心)，可設(shè)該平面的方程為a1x+a2y+a3z=0，其中a1,a2,a3為待求參數(shù)。

由于隨機(jī)誤差的存在，雷達(dá)量測點(diǎn)不會(huì)嚴(yán)格在一個(gè)平面內(nèi)，但偏離理論彈道平面不會(huì)太遠(yuǎn)，因此需要擬合一個(gè)平面，使所有量測點(diǎn)到擬合平面的距離平方和最小。擬合平面即為待求的彈道平面[11]。

量測點(diǎn)Xi到擬合平面的距離為

(1)

對(duì)上式作變換，令

(2)

(3)

則式(1)化為

(4)

擬合平面方程化為

(5)

t1,t2,…,tn時(shí)刻的量測點(diǎn)到擬合平面的距離平方和為

(6)

(7)

(8)

將式(7)代入，化簡得

(9)

定義系數(shù)矩陣A：

(10)

式(9)中方程組的前3個(gè)方程可表示為

(11)

1.1.2 野值判定準(zhǔn)則

|di|<δs

(12)

對(duì)每個(gè)量測點(diǎn)進(jìn)行判別，如果上式成立，則判定該量測點(diǎn)為正確值，反之，則判定為野值。δ的取值根據(jù)實(shí)際情況來選取，經(jīng)驗(yàn)表明3或者4是不錯(cuò)的選擇。

1.1.3 理論彈道計(jì)算

(13)

綜上所述，彈道目標(biāo)理論軌道的算法可表示如下：

2) 計(jì)算量測點(diǎn)到平面的距離的標(biāo)準(zhǔn)差s；

3) 選取合適的δ值，計(jì)算每個(gè)量測點(diǎn)Xi到擬合平面的距離di，若判別式(12)成立，則判該點(diǎn)為正確值，反之，則判定為野值；

4) 由所有判定為正確值的量測點(diǎn)組成新的量測點(diǎn)集Xm(m≤n)，令X=Xm，如果m

6) 對(duì)X′，在X，Y，Z三個(gè)方向上，分別對(duì)時(shí)間t作二項(xiàng)式最小二乘法擬合。

1.2 彈道外推

研究表明，通常情況下，數(shù)值法彈道外推的精度要高于解析法。得到地心慣性坐標(biāo)系下的理論彈道后，轉(zhuǎn)換到地心地固坐標(biāo)系，取彈道數(shù)據(jù)的中點(diǎn)作為彈道外推的初始點(diǎn)，建立彈道導(dǎo)彈動(dòng)力學(xué)方程，采用數(shù)值法進(jìn)行彈道外推。

2 仿真結(jié)果

本文采用STK軟件[13-14]，仿真了3條標(biāo)準(zhǔn)彈道，分別為近、中、遠(yuǎn)程導(dǎo)彈，發(fā)射時(shí)刻均為2018年1月1日0時(shí)0分0秒，彈道生成函數(shù)為Ballistic，發(fā)射地點(diǎn)為同一地點(diǎn)，其他參數(shù)如表1所示。

表1 STK模擬導(dǎo)彈參數(shù)

雷達(dá)站址緯度為33.843°，經(jīng)度為136.452°，高度為500 m，數(shù)據(jù)率為1 Hz。雷達(dá)測量誤差滿足高斯分布，測量精度為：距離標(biāo)準(zhǔn)差為100 m，方位角標(biāo)準(zhǔn)差為0.12°，俯仰角標(biāo)準(zhǔn)差為0.12°。試驗(yàn)中，對(duì)每組理論彈道進(jìn)行了100次加噪模擬計(jì)算，取100次計(jì)算的平均值為最終結(jié)果。計(jì)算中，分別采用最小二乘法(LS)和基于幾何距離準(zhǔn)則(CGD)的彈道外推方法進(jìn)行外推，取中點(diǎn)為初始點(diǎn)。

在量測數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)分別為50, 100和150的情況下，外推彈道和理論彈道在斜距、方位、俯仰三個(gè)緯度上的100次模擬的平均標(biāo)準(zhǔn)差和落點(diǎn)誤差分別如表2～表4所示。

表2 50個(gè)測量點(diǎn)情況下的試驗(yàn)結(jié)果

表3 100個(gè)測量點(diǎn)情況下的試驗(yàn)結(jié)果

表4 150個(gè)測量點(diǎn)情況下的試驗(yàn)結(jié)果

從表2～表4中的數(shù)據(jù)可以看出，對(duì)于3種彈道，在量測數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)分別為50，100和150的情況下，基于幾何距離準(zhǔn)則的彈道外推方法的外推精度相比傳統(tǒng)的最小二乘擬合方法均有所提高，其中，用50組量測數(shù)據(jù)進(jìn)行外推時(shí)，3種彈道在斜距、方位、俯仰三個(gè)緯度上的標(biāo)準(zhǔn)差平均減小2.38%，56.98%和3.03%，落點(diǎn)誤差平均減小29.03%；用100組量測數(shù)據(jù)進(jìn)行外推時(shí)，3個(gè)維度的標(biāo)準(zhǔn)差平均減小5.07%，48.82%和0.31%，落點(diǎn)誤差平均減小20.08%；用150組量測數(shù)據(jù)進(jìn)行外推時(shí)，3個(gè)維度的標(biāo)準(zhǔn)差平均減小7.19%，8.00%和1.75%，落點(diǎn)誤差平均減小15.45%。對(duì)比發(fā)現(xiàn)，基于幾何距離準(zhǔn)則的彈道外推方法可以極大提高落點(diǎn)和方位角的預(yù)測精度，斜距和俯仰角預(yù)測精度提高不明顯。這一結(jié)果與上文中的算法原理符合。因?yàn)樵?次仿真試驗(yàn)中，導(dǎo)彈均朝著同一個(gè)方向發(fā)射，彈道平面基本重合，而雷達(dá)正好位于彈道平面內(nèi)，量測誤差表現(xiàn)為對(duì)彈道平面的偏離?；趲缀尉嚯x準(zhǔn)則的彈道外推方法首先擬合彈道平面，將偏離彈道平面的量測映射到平面內(nèi)，因此可以極大提高方位角的外推精度，而斜距和俯仰角的誤差表現(xiàn)為平面內(nèi)的偏移，該方法對(duì)二者外推精度的提高有限?？梢灶A(yù)計(jì)，雷達(dá)量測初始值偏離彈道平面越大，該方法對(duì)彈道外推精度的提高越明顯。

另一方面，仿真試驗(yàn)中，無論是初始量測數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)為50，100或150，射程為1 000 km和4 000 km的導(dǎo)彈(彈道1和2)外推精度提高的百分比均大于射程為7 000 km的導(dǎo)彈。導(dǎo)致這一結(jié)果的原因是，隨著導(dǎo)彈射程的增長，導(dǎo)彈飛行時(shí)間隨之增長，彈道也會(huì)隨之逐漸偏離同一個(gè)平面；同時(shí)，現(xiàn)有的彈道外推的數(shù)值法都是基于理想的導(dǎo)彈動(dòng)力學(xué)方程，當(dāng)外推時(shí)間增長時(shí)誤差也不可避免地增大。因此，對(duì)于遠(yuǎn)程導(dǎo)彈，基于幾何距離準(zhǔn)則的彈道外推方法精度提高不大，但是，對(duì)于近、中程導(dǎo)彈，該方法外推精度的提高還是十分明顯的。

總的來說，對(duì)于近、中程導(dǎo)彈，基于幾何距離準(zhǔn)則的彈道外推方法可以極大提高彈道外推的精度，對(duì)于遠(yuǎn)程導(dǎo)彈，外推精度也有所提高，但提高幅度較小。特別是在偏離彈道平面的方向，該方法精度提高尤為顯著。

3 結(jié)束語

本文在充分研究彈道導(dǎo)彈軌道特性的基礎(chǔ)上，設(shè)計(jì)并實(shí)現(xiàn)了一種基于三維空間幾何距離準(zhǔn)則的彈道外推方法。該方法首先在地球慣性坐標(biāo)系中，確定彈道導(dǎo)彈軌道橢圓所在的平面，使所有量測點(diǎn)到該平面的幾何距離平方和最小，然后用各量測點(diǎn)在平面內(nèi)的投影點(diǎn)代替原始點(diǎn)跡進(jìn)行最小二乘法平滑，取其中點(diǎn)為初始點(diǎn)進(jìn)行彈道外推。應(yīng)用STK軟件進(jìn)行彈道模擬仿真，分別使用傳統(tǒng)的最小二乘法和基于幾何距離準(zhǔn)則的方法進(jìn)行彈道外推，100次仿真試驗(yàn)結(jié)果表明，無論是從雷達(dá)量測斜距、方位和俯仰標(biāo)準(zhǔn)差還是預(yù)測落點(diǎn)誤差進(jìn)行比較，該方法的外推精度都有所提高，特別是對(duì)于近、中程導(dǎo)彈，外推精度提高很大。特別是在偏離彈道平面的方向，該方法精度提高尤為顯著。

該方法的核心在于充分利用彈道導(dǎo)彈的特性，從整體上確定彈道平面。如果將該方法與濾波結(jié)合起來，也許可以進(jìn)一步提高彈道外推的精度。此外，該方法也可以應(yīng)用到空間目標(biāo)的軌道外推上。