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(1.駐馬店職業(yè)技術(shù)學(xué)院， 河南駐馬店 463000；2.黃淮學(xué)院國際教育學(xué)院， 河南駐馬店 463000)

0 引 言

近期，多輸入多輸出(Multiple-Input Multiple-Output, MIMO)雷達(dá)系統(tǒng)得到迅速發(fā)展。由于MIMO雷達(dá)系統(tǒng)在檢測和定位方面的優(yōu)勢，MIMO雷達(dá)系統(tǒng)也得到廣泛關(guān)注。通常將MIMO雷達(dá)分為隔離(分布式)天線[1]和陣列天線[2]兩類。前者充分利用空間分集，而后者是充分利用波形分集。

目前，研究人員對分布式雷達(dá)[3-4]的目標(biāo)位置估計進(jìn)行了大量的研究。雷達(dá)定位算法通常可劃分為直接或間接兩類。后者首先利用互模糊函數(shù)測量延時時間，然后再將時間與信號傳播速度相乘，進(jìn)而獲取雙基測距(Bistatic Range, BR)值，其是發(fā)射器-目標(biāo)和目標(biāo)-接收器的距離之和。這些BR值可形成一系列的橢圓等式，再通過這些等式估計目標(biāo)位置。文獻(xiàn)[5]提出線性無偏差估計算法，并利用泰勒序列展開算法求解非線性等式。但是，此算法的不足之處在于定位精度依賴于初始值。文獻(xiàn)[6]提出封閉式最小二乘(Least Square, LS)算法。此外，文獻(xiàn)[7]將目標(biāo)定位問題轉(zhuǎn)化為約束二次等式規(guī)劃(QCQP)問題，進(jìn)而對橢圓等式進(jìn)行線性化，然后再利用權(quán)重LS算法(WLS)求解，最終獲取目標(biāo)的位置。而文獻(xiàn)[8]提出一個分布式目標(biāo)定位算法。此算法先依據(jù)不同的發(fā)射參數(shù)或接收參數(shù)將測量值劃分不同的聚類，然后再在每個聚類內(nèi)利用雙重WLS估計算法，進(jìn)而獲取獨立的目標(biāo)位置的估計值。然后，再將不同聚類的位置估計值進(jìn)行融合，形成最終的估計值。文獻(xiàn)[9]和文獻(xiàn)[10]分別提出基于封閉的一種WLS(OSWLS)的目標(biāo)定位算法。

為此，本文先將目標(biāo)定位問題轉(zhuǎn)化為QCQP問題。由于QCQP的約束條件是非凸的，因此，QCQP問題為非凸、NP-hard。為了解決此問題，將每個非凸約束轉(zhuǎn)化為線性約束。通過將QCQP問題轉(zhuǎn)化為線性約束二次規(guī)劃(LCQP)問題，再利用迭代CWLS算法求解，最終獲取目標(biāo)位置的解。

1 問題的描述

假定分布式的MIMO雷達(dá)系統(tǒng)由M個發(fā)射和N個接收天線組成。假定第i個發(fā)射器和第j個接收器的位置分別為xt,i=[xt,iyt,izt,i]T和xr,j=[xr,jyr,jzr,j]T，且i=1,…,M,j=1,…,N。發(fā)射器發(fā)射一系列正交波，由未知目標(biāo)反射。目標(biāo)位置表示為x0=[x0y0z0]T。然后，接收器分別收集來自發(fā)射器和目標(biāo)的直接和反射信號，進(jìn)而估計目標(biāo)位置。

假定目標(biāo)與第i個發(fā)射器的歐式距離rt,i：

(1)

相應(yīng)地，目標(biāo)與第j個接收器的歐式距離rr,j：

(2)

BR定義為目標(biāo)與發(fā)射器的歐式距離rt,i和目標(biāo)與接收器的歐式距離rr,j之和，如式(3)所示：

ri,j=rt,i+rr,j

(3)

對式(3)兩邊平方，并令αi=rt,i，再經(jīng)代數(shù)處理，可得

(4)

(5)

通過忽略式(5)的二次噪聲項，測距誤差可表示為

(6)

將式(6)轉(zhuǎn)換成矩陣形式，并考慮所有發(fā)射器和接收器，便可形成

(7)

(8)

為此，可將誤差矢量ε表述關(guān)于噪聲變量n的函數(shù)：

ε=Bn

(9)

(10)

注意到式(7)是關(guān)于θ的線性關(guān)系。因此，可通過WLS估計算法求解未知矢量θ。可通過最小成本函數(shù)εTwε獲取式(7)的WLS的解，如式(11)所示：

(11)

式中，W為對稱正矩陣，其定義如式(12)所示：

W=E[εεT]-1=(BQBT)-1

(12)

式中，Q=E[nnT]-1表示噪聲協(xié)方差矩陣。值得注意的是，未知位置矢量θ由未知目標(biāo)位置x0和參數(shù)α組成。由于未知目標(biāo)位置和參數(shù)αi，且i=1,…,M并非相互獨立。因此，通過式(11)求解式(7)的解并非是式(7)的最優(yōu)解。

為了提高定位精度，可將未知位置x0與參數(shù)中每個參數(shù)的關(guān)系應(yīng)用于定位問題。因此，通過考慮這些關(guān)系，定位問題可表述為[7]

(13)

式(13)所示的目標(biāo)定位的問題是一個非凸二次等式優(yōu)化問題。

接下來用迭代的CWLS算法求解式(13)問題搜索目標(biāo)的過程中，有許多隨機(jī)因素的影響，所以雷達(dá)發(fā)現(xiàn)目標(biāo)的距離也是一個隨機(jī)變量。

2 迭代CWLS(ICWLS)算法

雷達(dá)的ICWLS算法先將式(13)所示的目標(biāo)定位問題轉(zhuǎn)化為約束二次等式規(guī)劃問題(QCQP)，然后再通過對非凸約束進(jìn)行轉(zhuǎn)換，將QCQP問題轉(zhuǎn)化為LCQP問題，最后再利用ICWLS算法求解，獲取目標(biāo)位置，如圖1所示。

圖1 目標(biāo)定位問題的求解過程

2.1 QCQP問題

將式(13)的目標(biāo)定位問題從非凸轉(zhuǎn)化為凸式問題，如式(14)所示：

(14)

盡管式(14)的目標(biāo)函數(shù)是凸的，但是二次等式約束仍是非凸的。因此，式(14)所示的目標(biāo)問題屬于非凸QCQP問題，其通常也是NP-hard問題。

2.2 LCQP問題

(15)

2.3 基于ICWLS求解LCQP問題的解

為了推導(dǎo)式(15)所示的LCQP問題的最優(yōu)解，將線性約束轉(zhuǎn)化矩陣形式，進(jìn)而形成等式約束：

Gθ=g

(16)

式中，G=[c1…cM]T,g=[g1…gM]T。

依據(jù)矩陣的廣義逆理論(Generalized Inverse Theory)，式(16)的解可表示為

(17)

式中，ξ為arbitrary矢量，P-=I-G+G為投影矩陣,而G+的定義如式(18)所示：

G+=GT(GGT)-1

(18)

將式(17)代入式(15)所示的目標(biāo)函數(shù)，便可產(chǎn)生：

(19)

最小化關(guān)于變量θ的式(15)所示的目標(biāo)函數(shù)，等于通過變量ξ最小化式(19)。因此，式(19)右邊進(jìn)行關(guān)于ξ的偏導(dǎo)數(shù)，并令其等于零，便可獲取ξ的最優(yōu)值：

(20)

(21)

(22)

將每次迭代的最終解看成上次迭代的解與式(15)問題的解的結(jié)合，因此，對于第k次迭代，可得[11]

(23)

式中，λ為遺忘因子，且0<λ<1。λ值越大，收斂速度越快。因此，ICWLS算法通過迭代地解決定位問題，并更新解。

迭代CWLS的目標(biāo)定位算法總結(jié)如下：

1) 參數(shù)初始化：

2) 設(shè)置迭代次數(shù)k=k+1，再運用近似LCQP算法：

3) 再求解第2)步的解：

4) 獲取第k次迭代的目標(biāo)位置估計值：

5) 檢測是否滿足收斂。即檢測是否滿足式(24)，其中δ為收斂閾值。如果滿足，則終止迭代，否則進(jìn)入第6)步。

(24)

3 仿真結(jié)果分析

為了更好地分析ICWLS定位算法的性能，建立Monte Carlo仿真實驗?？紤]文獻(xiàn)[12]所述的MIMO雷達(dá)系統(tǒng)，且M=9,N=8。這9個發(fā)射器和8個接收器的參數(shù)如表1所示。

表1 9個發(fā)射器和8個接收器的參數(shù)

此外，BR中的測量噪聲服從零均值的高斯分布，且已知方差[10],其僅依賴于每對發(fā)-收的信噪比。因此，BR的測量值只受加性高斯噪聲影響，其標(biāo)準(zhǔn)方差σi,j=σ0rt,irr,j/R0，i=1,…,M,j=1,…,N，其中σ0為常數(shù)，R0為監(jiān)測區(qū)域半徑。

同時，將選擇文獻(xiàn)[10]的OSWLS、文獻(xiàn)[7]的WLS算法、文獻(xiàn)[8]的TSWLS和文獻(xiàn)[8]所推導(dǎo)的CRLB算法作為參考，并已對本文所提出的ICWLS算法進(jìn)行比較。并選擇均方根誤差(Root Mean Square Error, RMSE)作為性能指標(biāo)，其定義如式(25)所示：

(25)

3.1 實驗一

本次實驗分析目標(biāo)x0位于[100 400 200]T時的ICWLS定位性能，且R0=600 m，實驗數(shù)據(jù)如圖2所示。

圖2 實驗一RMSE

圖2分析了各算法的RMSE隨σ0的變化曲線，且σ0從1～1 000變化。從圖2可知，相比于其他算法，提出的ICWLS算法具有更高的定位精度。此外，通過圖2發(fā)現(xiàn)，在σ0從1～1 000變化期間，ICWLS的RMSE與CRLB精度一致。

3.2 實驗二

本次實驗中，目標(biāo)位于平行y軸，且x0=400 m,z0=200 m,R0=600 m,σ0=40。實驗數(shù)據(jù)如圖3所示。

從圖3可知，ICWLS算法的定位誤差RMSE在y軸的變化期間仍低于其他算法，并且逼近于CRLB。與TSWLS算法相比，ICWLS算法的RMSE平均下降了約25%。

圖3 實驗二RMSE

4 結(jié)束語

本文分析了基于雙基測距的單一目標(biāo)的定位問題，并提出迭代的CWLS算法。首先將目標(biāo)定位問題轉(zhuǎn)化為QCQP，然后再將QCQP問題轉(zhuǎn)化為LCQP問題，進(jìn)而獲取封閉解。最終通過ICWLS算法求解LCQP問題，進(jìn)而估計目標(biāo)位置。實驗數(shù)據(jù)表明，提出的ICWLS算法能夠有效地控制定位誤差。

優(yōu)化算法，降低算法復(fù)雜度，同時考慮多個目標(biāo)而非單一目標(biāo)的定位問題，這將是后期研究工作的重點。