張弘燁，彭世國

（廣東工業(yè)大學(xué) 自動(dòng)化學(xué)院，廣東 廣州 510006）

近年來隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的迅速發(fā)展，多智能體協(xié)調(diào)控制問題引起了社會(huì)各界越來越多的關(guān)注[1-3]，在分布式編隊(duì)控制[4]、神經(jīng)系統(tǒng)穩(wěn)定控制[5]、脈沖控制[6]等領(lǐng)域都得到了廣泛應(yīng)用. 多智能體系統(tǒng)一致性是協(xié)調(diào)控制的重要組成部分. 多智能體一致性指的是系統(tǒng)中所有智能體的信息最終趨于相同. 為實(shí)現(xiàn)多智能體的一致性，需要設(shè)計(jì)出能使各個(gè)智能體相互交換彼此信息從而實(shí)現(xiàn)所有智能體信息最終趨于相同的規(guī)則，即一致性協(xié)議.

目前，在多智能體系統(tǒng)一致性問題的研究中，許多學(xué)者已經(jīng)取得了豐碩的成果. Vicsek等[7]從統(tǒng)計(jì)學(xué)角度出發(fā)，建立了經(jīng)典離散時(shí)間模型. Olfati等[8]則對(duì)無向聯(lián)通并且權(quán)值對(duì)稱的多智能體系統(tǒng)進(jìn)行研究，認(rèn)為只要系統(tǒng)強(qiáng)聯(lián)通，則多智能體系統(tǒng)就能實(shí)現(xiàn)一致性. 而Ren等[9]在文獻(xiàn)[8]的基礎(chǔ)上得到了有向拓?fù)涞亩嘀悄荏w系統(tǒng)收斂條件.

然而在實(shí)際應(yīng)用中，系統(tǒng)不可避免地遇到各種外界影響，例如網(wǎng)絡(luò)堵塞或者其他因素等，造成通信延遲，從而導(dǎo)致智能體之間的信息傳遞存在一定時(shí)延. 針對(duì)這種現(xiàn)象，文獻(xiàn)[10-13]對(duì)含有時(shí)延的多智能體系統(tǒng)一致性進(jìn)行了廣泛研究. 由于環(huán)境的復(fù)雜性，多智能體系統(tǒng)中智能體之間輸入時(shí)延隨機(jī)存在更具有普遍性. 本文受文獻(xiàn)[14]的啟發(fā)，研究系統(tǒng)中存在隨機(jī)時(shí)延的情形. 文獻(xiàn)中對(duì)含有時(shí)延的多智能體系統(tǒng)的分析一般利用線性矩陣不等式給出系統(tǒng)一致性的條件，但線性矩陣不等式法計(jì)算量大且復(fù)雜，不便于分析含有隨機(jī)時(shí)延的多智能體系統(tǒng). 本文將采用文獻(xiàn)[15]提出的模型簡(jiǎn)化法對(duì)含有隨機(jī)時(shí)延的的多智能體系統(tǒng)的一致性進(jìn)行討論.

1 預(yù)備知識(shí)

1.1 圖論

令G(ν，ε，A)表示具有n個(gè)節(jié)點(diǎn)的有向圖，ν={ν1，ν2，···，νn}表示圖G 頂點(diǎn)集，ε?ν×ν表示圖G 邊集，A=[aij]表示圖G 的鄰接矩陣，若存在由節(jié)點(diǎn)νi到νj的有向邊 eij∈ε，則aij＞0，否則 aij=0. 令矩陣D=diag{di，i=1，2，···，n}，其中為節(jié)點(diǎn)i的出度，則Laplacian矩陣L可定義為L(zhǎng)=D-A.

假設(shè)1 Laplacian矩陣的0特征值是一個(gè)單一特征值.

對(duì)于網(wǎng)絡(luò)連接，這個(gè)情形代表了這個(gè)網(wǎng)絡(luò)存在一個(gè)生成樹從而連接任意兩個(gè)子系統(tǒng)，對(duì)于一致性協(xié)議的設(shè)計(jì)，只需考慮0特征值是單一特征值[16].

1.2 模型

本文考慮具有n個(gè)智能體的一階多智能體系統(tǒng)，智能體之間的拓?fù)鋱D用圖G 表示，每個(gè)智能體可看作圖G 的一個(gè)節(jié)點(diǎn)，且滿足以下動(dòng)態(tài)方程

其中xi表示智能體 i的狀態(tài)，ui則表示控制輸入，A,B表示常數(shù)可控矩陣，h＞0表示系統(tǒng)輸入時(shí)延，同時(shí)為了表征系統(tǒng)時(shí)延可能存在也可能不存在，引入變量δ(t)，當(dāng)δ(t)=1時(shí)表示系統(tǒng)不存在時(shí)延，而δ(t)=0表示系統(tǒng)存在時(shí)延，其中δ(t)滿足如下分布變換：

引理1 一個(gè)含輸入時(shí)延的系統(tǒng)：

令

則原系統(tǒng)(3)穩(wěn)定性與如下系統(tǒng)(5)相同,

證明

對(duì)系統(tǒng)(3)，提出以下控制器如果控制器(7)能使得系統(tǒng)(5)達(dá)到穩(wěn)定，則原系統(tǒng)(3)也能用相同控制器達(dá)到穩(wěn)定[17-18].

引理2[16]如果Laplacian矩陣L只含有一個(gè)0特征值，其余特征值均大于0，則存在一個(gè)相似變換T，同時(shí)T的第一列T(1)=?, ? =[1，···，1]T使得

當(dāng)Jk∈ Rnk×nk, k =2，3，···，p ，是Jordan塊中的nk重實(shí)數(shù)特征值λk＞ 0的形式，即

I2是R2×2的單位矩陣且

2 主要結(jié)果

根據(jù)引理1，對(duì)多智能體系統(tǒng)(1)，使用變換(4)作簡(jiǎn)化. 令

則系統(tǒng)(1)可轉(zhuǎn)化為

針對(duì)簡(jiǎn)化后的系統(tǒng)(10)，采用如下控制協(xié)議

其中，K表示控制增益.

定理1 當(dāng)控制增益K滿足

系統(tǒng)(1)可達(dá)到一致性.

證明 令

則系統(tǒng)(10)可寫成

定義 r∈RN為矩陣L的0特征值對(duì)應(yīng)的左特征值向量，即rTL=0，同 時(shí) 使 之 單 位 化 ，即 rT?=?,? =[1，···，1]T. 從 引 理2可 知 存 在 矩 陣T使 得T-1LT=J.

定義

此時(shí) M=IN-?rT. 由于 rT?=?即 M?=0，因此系統(tǒng)(13)的穩(wěn)定性相當(dāng)于e=0，因?yàn)榇藭r(shí)相當(dāng)于y1=y2= ···=yN，則一致性問題轉(zhuǎn)化成了系統(tǒng)穩(wěn)定性問題.

定義

則

根據(jù)轉(zhuǎn)化式(14)和(17)，

因此只需要證明 σi收斂到0，則可以證明一致性可達(dá)成基于laplacian矩陣的結(jié)構(gòu)，可以發(fā)現(xiàn)

同時(shí)，n1=1, Nq=N，且k =2，3，···，q.

當(dāng)Jk為實(shí)數(shù)特征值，即 2≤k≤p ，

當(dāng)Jk為復(fù)數(shù)特征值，即k＞p，可考慮一對(duì)動(dòng)態(tài)狀態(tài)方程，為方便，讓

則當(dāng) j=1，2，···，nk/2-1，σi1(j)和σi2(j)的動(dòng)態(tài)方程為

當(dāng) j=nk/2,

對(duì)于系統(tǒng)(8)構(gòu)造如下Lyapunov函數(shù)

當(dāng)i=Nk，V的導(dǎo)數(shù)為

對(duì)等式兩邊求解期望，

存在某個(gè)K值使得(9)恒成立. 由于 P＞0，即需要

所以

對(duì)兩邊求期望

存在某個(gè)K值使得式(33)恒成立. 由于 P＞0，即

所以

因此結(jié)合式(28)、式(30)、式(34)和式(36)，只要滿足

多智能體系統(tǒng)(1)可達(dá)到一致性.

3 仿真驗(yàn)證

如圖1所示，假設(shè)多智能體系統(tǒng)拓?fù)鋱D包含以下4個(gè)節(jié)點(diǎn)，分別記作節(jié)點(diǎn)1、2、3、4，令A(yù)=1，B=3任意選擇初始狀態(tài) x1(0)=-20， x2(0)=-5， x3(0)=15，x4(0)=30， δ=0.8，時(shí)延h=0, 03，各智能體連接權(quán)重為1.

圖1 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)拓?fù)鋱DFig.1 Topology of MAS

根據(jù)該拓?fù)鋱D可寫出Laplacian矩陣L，

可求得最小非0特征值 λ=0.5858,

代入式(12)可得K ＞0.5724.

圖2 K=1各智能體之間誤差曲線Fig.2 The status errors of subsystems with K=1

圖3 K=0.562各智能體之間誤差曲線Fig.3 The status errors of subsystems with K=0.562

當(dāng)K=0.582略大于臨界值，如圖4所示. 可以看出當(dāng)K值大于臨界值時(shí)，各智能體誤差曲線呈收斂趨勢(shì)，經(jīng)過一定時(shí)間能夠收斂于0，各智能體能夠達(dá)到一致性.

4 結(jié)束語

本文研究了一階含隨機(jī)時(shí)延的多智能體一致性問題，并通過模型簡(jiǎn)化法，引入一個(gè)新變量，將原本含有時(shí)延的系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為一個(gè)不含時(shí)延的系統(tǒng)，并提出一個(gè)一致性算法，使用Lyapunov函數(shù)，找出多智能體系統(tǒng)在這個(gè)算法下達(dá)到一致的充分必要條件. 最后給出模型仿真，驗(yàn)證出這個(gè)結(jié)論的正確性以及通過模型簡(jiǎn)化法對(duì)含有隨機(jī)時(shí)延的多智能體系統(tǒng)分析的可行性.

圖4 K=0.582各智能體之間誤差曲線Fig.4 The status errors of subsystems with K=0.582