馮 超,余朝剛,孫 雷,秦 鑫

(上海工程技術(shù)大學(xué)城市軌道交通學(xué)院,上海 201620)

1 概述

軌道不平順是軌道質(zhì)量狀態(tài)的體現(xiàn)，是影響列車運行安全與乘客舒適性的重要因素。列車運行產(chǎn)生的巨大作用力會直接作用在軌道上，當(dāng)軌道形變達(dá)到一定程度，列車的行車安全必然會受到威脅[1]。

軌道不平順的形成與發(fā)展受到軌道因素、荷載因素、路基因素、自然因素等諸多因素影響，且無法量化這些因素，造成軌道不平順發(fā)展的隨機性與復(fù)雜性[2]。利用軌檢車歷史檢測數(shù)據(jù)分析并預(yù)測軌道不平順趨勢，有利于合理安排線路實施“狀態(tài)修”。國內(nèi)外學(xué)者都對軌道不平順預(yù)測做了大量的研究，日本學(xué)者提出了非線性預(yù)測公式和S預(yù)測公式等。加拿大PWMIS系統(tǒng)建立了線性預(yù)測模型。由于我國主要采用軌道質(zhì)量指數(shù)(TQI)來評判軌道狀態(tài)，針對TQI預(yù)測，張念等[1]提出了一種基于數(shù)據(jù)選擇向量的非等時距灰色模型與神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)合的組合預(yù)測模型。許玉德等[3]利用線性預(yù)測模型對TQI發(fā)展趨勢進(jìn)行預(yù)測。陳憲麥等[4]提出軌道不平順檢測數(shù)據(jù)的綜合因子法。曲建軍等[5]提出了軌道不平順TITCGM(1，1)-PC灰色非線性預(yù)測模型，分別對TQI短期和中、長期發(fā)展進(jìn)行預(yù)測。韓晉等[6]提出了一種基于非等時距加權(quán)灰色模型與神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的組合預(yù)測模型。目前建立的軌道不平順預(yù)測模型大多使用較老軌檢數(shù)據(jù)，不符合現(xiàn)今高速鐵路軌道不平順發(fā)展趨勢，預(yù)測精度不高，缺少普適性。

本文提出一種改進(jìn)GM(1，1)與LSSVM的軌道不平順組合預(yù)測模型。首先改進(jìn)傳統(tǒng)的非等時距灰色模型的灰色作用量，使其適用于近似非齊次非等時距的TQI序列，并引入加權(quán)矩陣，提高灰色模型擬合預(yù)測精度。在殘差序列處理中，采用對非線性預(yù)測效果好、泛化能力強的LSSVM模型對殘差進(jìn)行修正，提高軌道不平順的預(yù)測精度。

2 TQI組合預(yù)測模型原理

灰色模型適合貧信息、小樣本的灰色系統(tǒng)，且數(shù)據(jù)需滿足一定的線性規(guī)律，具有一定局限性。最小二乘支持向量機是支持向量機的一種改進(jìn)形式，所需優(yōu)化參數(shù)更少，且提高了學(xué)習(xí)速度。依據(jù)軌檢車檢測數(shù)據(jù)，TQI時間序列數(shù)值呈現(xiàn)為遞增、隨機波動的趨勢，且數(shù)據(jù)近似符合非齊次指數(shù)規(guī)律。因此通過改進(jìn)的GM(1，1)模型預(yù)測TQI序列中趨勢項，并通過WOA-LSSVM模型預(yù)測其殘差序列，建立改進(jìn)的GM(1，1)與WOA-LSSVM的軌道不平順組合預(yù)測模型。

2.1 改進(jìn)非等時距GM(1，1)模型的建立

2.1.1 級比檢驗及1-AGO序列生成

灰色模型建模前，需進(jìn)行級比檢驗，滿足灰色建模的必要條件，設(shè)TQI非等時距歷史檢測序列為：X(0)(ti)={x(0)(t1)，x(0)(t2)，x(0)(t3)，…，x(0)(tn)}，計算歷史檢測序列的級比

(1)

當(dāng)級比k(ti)∈(e-2/(n+1)，e2/(n+1))時，數(shù)據(jù)可直接建模，否則需對原始數(shù)據(jù)x(0)(ti)選取適當(dāng)?shù)钠揭瞥?shù)C進(jìn)行平移變化，使新序列級比均落在區(qū)間內(nèi)。

由于軌檢車不是定期作業(yè)，軌檢TQI數(shù)據(jù)也會因雨天等不可抗因素產(chǎn)生測量失真，所以采用非等時距GM(1，1)模型。設(shè)TQI序列的時間間距為Δti=ti-ti-1≠const，i=2，3，…，n，令Δt1=1。對TQI序列進(jìn)行一次累加生成新序列為

X(1)(ti)={x(1)(t1)，x(1)(t2)，…，x(1)(tn)}

(2)

2.1.2 建立常參數(shù)微分方程

通過分析非等間距建模原理與TQI實測數(shù)據(jù)序列，發(fā)現(xiàn)實際檢測的歷史序列滿足近似非齊次特點，基于傳統(tǒng)非等間距模型提出近似非齊次非等間距GM(1，1)的改進(jìn)模型。通過改進(jìn)灰色作用量，使得改進(jìn)的GM(1，1)模型的白化微分方程為

(3)

在區(qū)間[ti-1，ti]上，對其等式兩邊積分得

(4)

其中，a為發(fā)展系數(shù)，是系統(tǒng)發(fā)展態(tài)勢；b+ct為優(yōu)化的灰色作用量，反映的數(shù)據(jù)變化的不確定關(guān)系，z(1)(ti)為x(1)(t)在[ti-1，ti]上的背景值。

2.1.3 背景值優(yōu)化

模型的擬合和預(yù)測精度取決于參數(shù)a、b、c的求解，而參數(shù)a、b、c的求解又依賴于背景值z(1)(ti)的構(gòu)造形式，傳統(tǒng)背景值求解形式采用梯形公式近似求解在區(qū)間[ti-1，ti]上一次累加序列x(1)(ti)與x軸構(gòu)成的面積

(5)

但當(dāng)x(1)(ti)在[ti-1，ti]上急劇變化時，近似滿足指數(shù)形式，本文采用x(1)(ti)=kemt形式擬合一次累加序列，式中k、m均為常系數(shù)，構(gòu)造出的背景值為

(6)

2.1.4 加權(quán)矩陣設(shè)置

對于距離預(yù)測時間點越近的數(shù)據(jù)，采用權(quán)矩陣賦予更高的權(quán)重[6]，以提高擬合精度，定義加權(quán)矩陣為

P=diag(wn-1)

(7)

式中，w為權(quán)遞增因子，一般取w=1～2。本文計算中取w=1.3。

2.1.5 構(gòu)建時間響應(yīng)序列

同傳統(tǒng)非等時距GM(1，1)模型求解方法一樣，利用式最小二乘法求解a、b、c的估計值為

(8)

其中：

則時間序列響應(yīng)函數(shù)為

(9)

還原到原始序列為

(10)

如果之前未通過級比檢驗，進(jìn)行了平移變換，需對預(yù)測序列值進(jìn)行反平移變換。

2.2 基于LSSVM的殘差修正模型

上述灰色模型對原始TQI時間序列進(jìn)行擬合預(yù)測時，擬合出的曲線為近似光滑曲線，沒有體現(xiàn)原始序列隨機波動的特性，部分?jǐn)?shù)據(jù)誤差仍較大。在去除灰色預(yù)測的趨勢性成分后，殘差序列呈現(xiàn)正負(fù)隨機波動特征，采用對非線性預(yù)測效果好、泛化能力強的最小二乘支持向量機，并結(jié)合一種新的群體智能優(yōu)化算法—WOA算法，對LSSVM參數(shù)尋優(yōu)，建立組合預(yù)測模型。

2.2.1 LSSVM模型

采用LSSVM模型對殘差進(jìn)行修正，設(shè)訓(xùn)練時間序列{(xi，yi)，i=1，2，…，n}，其中xi∈Rn為n維輸入樣本，yi∈R為1維輸出樣本。LSSVM對經(jīng)典SVM的優(yōu)化問題進(jìn)行了改進(jìn)，用映射函數(shù)φ(·)把輸入樣本從輸入空間映射到特征空間，把輸入空間非線性擬合問題轉(zhuǎn)化為在高維特征空間的線性擬合問題，LSSVM優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù)為

(11)

s.t.yi=wiφ(xi)+b+ξi

(12)

式中，wi為權(quán)值系數(shù)；ξi為松弛變量；c為懲罰因子；b為偏置。

為求解上述約束的最優(yōu)解，引入Lagrange函數(shù)，由KKT條件求解，最終得到LSSVM的決策函數(shù)為

(13)

其中，αi為拉格朗日乘子；k(x，xi)為核函數(shù)。核函數(shù)滿足Mercer條件，常用的核函數(shù)有徑向基核函數(shù)、線性核函數(shù)和多項式核函數(shù)。本文選用徑向基核函數(shù)，其表達(dá)式為

(14)

LSSVM的主要優(yōu)化參數(shù)包括核函數(shù)參數(shù)和懲罰參數(shù)c，本文采用一種較為新穎的WOA群體智能優(yōu)化算法對LSSVM的兩個參數(shù)尋優(yōu)。

2.2.2 WOA優(yōu)化算法

鯨魚算法(whale optimization algorithm， WOA)是Mirjalili[14]受到座頭鯨氣泡網(wǎng)狩獵行為啟發(fā)而提出的一種新的群體智能優(yōu)化算法，每頭座頭鯨都是一個可行解，模仿了座頭鯨特殊的螺旋氣泡網(wǎng)喂養(yǎng)的狩獵方法，包括3種行為：隨機搜索、包圍捕食、氣泡網(wǎng)狩獵行為，其狩獵行動如圖1所示。

圖1 座頭鯨的Bubble-net捕食行為

(1)隨機搜索

采用隨機個體搜索獵物，具體數(shù)學(xué)模型如下

D=|CXrand-X|

(15)

X(t+1)=Xrand-AD

(16)

其中，t為當(dāng)前的迭代次數(shù)，表示隨機選擇的一個位置，隨迭代次數(shù)變化；A和C為系數(shù)，由如下公式計算

A=2ar-a

(17)

C=2r

(18)

其中，a的值從2到0線性下降；r為[0，1]的隨機值。

(2)包圍獵物

座頭鯨在捕獵時要包圍獵物，該狩獵行為由如下數(shù)學(xué)模型表示

D=|CX*(t)-X(t)|

(19)

X(t+1)=X*(t)-AD

(20)

其中，X*(t)為當(dāng)前最佳位置，并會隨迭代更新。

(3)氣泡網(wǎng)狩獵行為

根據(jù)座頭鯨的狩獵行為，以如下數(shù)學(xué)模型模擬座頭鯨螺旋游動的氣泡網(wǎng)狩獵行為

X(t+1)=D′eblcos(2πl(wèi))+X*(t)

(21)

其中，D′=|X*(t)-X(t)|表示第i條鯨魚與獵物(目前的最佳解)之間的距離；b是一個定義螺旋線形狀的常數(shù)；l是[-1,1]中的隨機數(shù)。

在座頭鯨狩獵時，是以對數(shù)螺旋形狀游動并同時收縮包圍獵物，假定有50%的概率在收縮的環(huán)繞機制或螺旋模型之間選擇，以此確定優(yōu)化過程中鯨魚更新的位置，其數(shù)學(xué)模型如下

(22)

其中，A隨a的值線性下降而變小，A∈[-2，2]，當(dāng)|A|<1時，鯨魚的下一位置出現(xiàn)在當(dāng)前位置與獵物之間并發(fā)起攻擊，當(dāng)|A|≥1時，鯨魚隨機選擇搜索代理，迫使遠(yuǎn)離獵物重新搜索更合適的獵物，這樣能加強算法勘探能力使WOA提高搜索全局能力。

本文使用WOA算法對LSSVM的核函數(shù)參數(shù)σ和懲罰參數(shù)c進(jìn)行尋優(yōu)，因此維數(shù)取D=2，本文種群規(guī)模取S=30，最大迭代次數(shù)Tmax=200。構(gòu)建學(xué)習(xí)樣本均方差為LSSVM的適應(yīng)度函數(shù)和WOA算法的目標(biāo)函數(shù)

(23)

步驟1 初始化鯨魚種群規(guī)模S和最大迭代次數(shù)Tmax，設(shè)置鯨魚空間位置維度D及鯨魚種群位置的上下界；

步驟2 在鯨魚種群活動的空間范圍內(nèi)隨機初始化鯨魚種群的個體位置，并評價當(dāng)前種群每個個體的適應(yīng)度，以適應(yīng)度最優(yōu)個體位置作為當(dāng)前最優(yōu)位置X*；

步驟3 當(dāng)t

步驟4 當(dāng)p<0.5時，若|A|<1時，用式(20)更新個體位置，若|A|≥1時，用式(16)更新個體位置，當(dāng)p≥0.5時，用式(21)更新個體位置；

步驟5 根據(jù)適應(yīng)度函數(shù)計算每個個體適應(yīng)度，找出最佳位置X*，每次迭代后比較最佳位置并更新，如果滿足終止條件，則跳到步驟6，否則返回步驟3繼續(xù)執(zhí)行；

步驟6 輸出最優(yōu)個體位置，即尋出最優(yōu)解X*，其坐標(biāo)對應(yīng)優(yōu)化的參數(shù)[σ，c]。

2.3 模型精度檢驗

(24)

表1 模型精度參照

3 TQI組合預(yù)測模型預(yù)測方法

TQI組合預(yù)測模型首先根據(jù)上述改進(jìn)的GM(1，1)模型對原始TQI檢測序列進(jìn)行級比檢驗，確定是否需要平移變換，然后利用非等時距GM(1，1)模型對TQI序列進(jìn)行初步預(yù)測，對模型進(jìn)行灰色作用量優(yōu)化、背景值優(yōu)化和加權(quán)矩陣處理。將初步得出的TQI預(yù)測值與實測值相減，得到非等時距殘差序列。

利用LSSVM對時間序列進(jìn)行預(yù)測需要等時距的訓(xùn)練樣本，而軌檢車作業(yè)時間間隔往往是不等時距的，因此相應(yīng)的殘差時間序列也是不等時距，這就需要使訓(xùn)練樣本等時距化。本文采用三次Hermite多項式插值，插值步長為u=1，對初步預(yù)測TQI序列與實測TQI序列進(jìn)行插值，并求出插值后的等時距殘差序列。

對殘差時間序列預(yù)測，需利用相空間重構(gòu)理論把殘差序列進(jìn)行預(yù)處理，將殘差時間序列擴展到高維空間，設(shè)殘差序列ε(1)，ε(2)，…，ε(n)，n為等時距處理后的樣本個數(shù)，通過相空間重構(gòu)理論得到新的數(shù)據(jù)空間：E=ε(t)，ε(t+τ)，…，ε[t+(m-1)τ]，其中t=1，2，…，N，m為嵌入維數(shù)，τ為時間延遲，N=n-mτ。

通過LSSVM建立輸入數(shù)據(jù)E與輸出數(shù)據(jù)ε(t+mτ)之間的映射關(guān)系，即ε(t+mτ)=f(ε(t)，ε(t+τ)，…，ε[t+(m-1)τ])。在殘差序列預(yù)測過程中，充分使用最新信息，采用滾動預(yù)測的方法，利用LSSVM進(jìn)行進(jìn)一步的殘差修正，對上述實測TQI序列和初步預(yù)測TQI序列進(jìn)行三次Hermite多項式插值，令插值步長u=1，并求出等時距的殘差值序列。對等時距的殘差時間序列進(jìn)行相空間重構(gòu)，以軌檢車檢測平均時間間隔為時間延遲，令τ=15，通過試驗數(shù)據(jù)特性確定以6個數(shù)據(jù)為嵌入維數(shù)，在其之后等時距的第7個數(shù)據(jù)作為輸出，利用ε(t+mτ)的預(yù)測值替代未知的輸入數(shù)據(jù)，去掉第一個輸入數(shù)據(jù)ε(t)，組成新的輸入樣本，依次循環(huán)遞補直到完成預(yù)測目標(biāo)。

綜上所述，預(yù)測模型流程如圖2所示。

圖2 組合預(yù)測模型流程

4 TQI預(yù)測實例分析

利用上述模型對某鐵路提速干線2016年兩個區(qū)間段K164.8～K165.0與K278.8～K279.0的TQI1、TQI2序列進(jìn)行實例分析，數(shù)據(jù)如表2所示。本模型所選數(shù)據(jù)均為該線路從軌道養(yǎng)護(hù)維修后開始服役的歷史數(shù)據(jù)，服役初期TQI值快速變大，服役一段時間后，TQI值呈現(xiàn)非齊次且隨機波動的特性。

選取該線2016-01-29～2016-10-17的17個非等時距TQI數(shù)據(jù)作為歷史數(shù)據(jù)進(jìn)行建模預(yù)測，選取2016-10-29～2016-12-28的5個實測值與預(yù)測值進(jìn)行分析比較，即預(yù)測軌道大修后，軌道服役一年中最后2個月(5次軌檢)的TQI值，分別用文獻(xiàn)[6]的模型與本文的改進(jìn)GM(1，1)與LSSVM組合預(yù)測模型進(jìn)行預(yù)測。

表2 TQI實測數(shù)據(jù)

4.1 K164.8～K165.0區(qū)間段分析

以區(qū)間段K164.8～K165.0的檢測數(shù)據(jù)為例，采用改進(jìn)的非等時距GM(1，1)模型對TQI檢測序列后5個值進(jìn)行初步預(yù)測比較，見圖3。

由圖3可見，擬合曲線雖符合TQI數(shù)值發(fā)展趨勢，但未能體現(xiàn)數(shù)據(jù)隨機波動特性，部分時間誤差仍較大。利用LSSVM進(jìn)行進(jìn)一步的殘差修正，得到殘差修正后最終的TQI預(yù)測值，見圖4。

圖3 K164.8～K165.0區(qū)間實測值與初步預(yù)測值比較

圖4 K164.8～K165.0區(qū)間實測值與最終預(yù)測值比較

圖4相比圖3的擬合與預(yù)測部分都有顯著提升，殘差有明顯減小，對本文模型與文獻(xiàn)[6]的非等時距加權(quán)GM(1，1)與神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的組合預(yù)測模型進(jìn)行對比分析，預(yù)測結(jié)果比較見表3。

表3 K164.8～K165.0區(qū)間內(nèi)兩種算法的TQI預(yù)測值比較

4.2 K278.8～K279.0區(qū)間段分析

以區(qū)間段K278.8～K279.0的檢測數(shù)據(jù)為例，采用改進(jìn)GM(1，1)模型對TQI檢測序列后5個值進(jìn)行初步預(yù)測比較，見圖5。

圖5 K278.8～K279.0區(qū)間實測值與初步預(yù)測值比較

由圖5可見，擬合曲線雖符合TQI數(shù)值發(fā)展趨勢，但未能體現(xiàn)數(shù)據(jù)隨機波動特性，部分時間誤差仍較大。利用LSSVM進(jìn)行進(jìn)一步的殘差修正，得到殘差修正后最終的TQI預(yù)測值，見圖6。

圖6 K278.8～K279.0區(qū)間實測值與最終預(yù)測值比較

圖6相比圖5的擬合與預(yù)測部分都有顯著提升，殘差有明顯減小，對本文模型與文獻(xiàn)[6]的非等時距加權(quán)GM(1，1)與神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的組合預(yù)測模型進(jìn)行對比分析，預(yù)測結(jié)果比較見表4。

4.3 模型精度檢驗

對兩段區(qū)間的預(yù)測結(jié)果進(jìn)行精度檢驗，結(jié)果見表5，算法精度等級達(dá)到1級。

表4 K278.8～K279.0區(qū)間內(nèi)兩種算法的TQI預(yù)測值比較

表5 檢驗結(jié)果對比

5 結(jié)論

(1)根據(jù)高速鐵路最新軌檢TQI數(shù)據(jù)分析，構(gòu)建符合現(xiàn)行高速鐵路軌道不平順發(fā)展預(yù)測模型，利用灰色模型預(yù)測TQI時間序列中的趨勢項，通過 WOA-LSSVM對殘差進(jìn)行修正，充分考慮了軌道不平順發(fā)展趨勢中的趨勢性和隨機性，較大提高了預(yù)測精度。

(2)在傳統(tǒng)非等時距灰色模型的基礎(chǔ)上，對灰色作用量表達(dá)形式進(jìn)行改進(jìn)，充分結(jié)合了現(xiàn)行高速鐵路TQI數(shù)據(jù)近似非齊次的特點，結(jié)合加權(quán)矩陣使改進(jìn)的GM(1，1)更符合TQI發(fā)展趨勢，提高了預(yù)測精度。

(3)WOA算法擁有較好的全局搜索能力、優(yōu)化參數(shù)少、收斂迅速等優(yōu)點，通過WOA對LSSVM參數(shù)尋優(yōu)，通過WOA-LSSVM模型對TQI灰色預(yù)測殘差進(jìn)行修正，彌補了單一灰色模型的不足，充分體現(xiàn)TQI發(fā)展趨勢中的隨機性，提高了預(yù)測精度。

(4)采用滾動預(yù)測的方法，利用預(yù)測的新值替代歷史數(shù)據(jù)作為模型輸入，并通過對處理后的等時距殘差序列進(jìn)行相空間重構(gòu)，克服了單步預(yù)測與隨著預(yù)測步數(shù)增加誤差累積增大的問題，使模型預(yù)測精度進(jìn)一步提高。