邵翊辰，李海鷹，王 瑩，廖正文

（1．北京交通大學 交通運輸學院，北京 100044；2．北京交通大學 軌道交通控制與安全國家重點實驗室，北京 100044)

0 引言

隨著產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)的不斷調(diào)整，快運需求呈現(xiàn)出“小批量、多批次、高頻次”的特點，在激烈的市場競爭中，公路物流、航運企業(yè)不斷完善自身服務網(wǎng)絡，敏捷化響應市場需求的特點，提高自身服務質(zhì)量，進而在市場中占據(jù)一席之地。相較之下近些年鐵路運量增長速度緩慢，市場占比逐年降低?？爝\班列是鐵路參與市場化競爭的重要手段，與公路運輸相比，鐵路快運班列具有長距離、低能耗、速度快等特點；與航空運輸相比，鐵路快運班列具有經(jīng)濟、運量大等特點。然而，由于鐵路兩端與短途運輸接駁時的等待時間和途中站點停留時間過長，鐵路運輸產(chǎn)品的服務質(zhì)量適應市場需求的靈活性不足，致使鐵路運輸技術經(jīng)濟優(yōu)勢難以發(fā)揮，市場份額逐年降低。因此，為擴大鐵路運輸市場份額，實現(xiàn)運量從其他運輸方式的轉(zhuǎn)移，基于快運需求運量和運輸產(chǎn)品之間的互饋關系，根據(jù)運輸需求在運量上的彈性，研究彈性需求條件下快運班列開行方案的優(yōu)化問題，考慮開行方案對需求的影響，通過優(yōu)化快運班列的起訖點、運行徑路、途中停站和開行頻率來提高市場競爭力，以吸引更多的貨源。

目前，在基于彈性需求的開行方案優(yōu)化研究上主要集中在客運領域：鄧連波等[1]通過分析與旅客列車開行方案相關的鐵路旅客運輸需求影響因素，構(gòu)造旅客運輸彈性需求函數(shù)，建立了基于彈性需求的旅客列車開行方案雙層規(guī)劃模型；蔡章輝等[2]建立以S型曲線為解析式的動態(tài)客流累計需求模型；王培恒等[3]、朱郁俊[4]根據(jù)城際客運專線停站方案對客流的影響建立了客流動態(tài)分配函數(shù)，并以此研究動態(tài)需求下的城際客運專線開行方案優(yōu)化問題。王瑩等[5]在研究行包快運專列開行方案優(yōu)化方法時考慮了需求不固定的特點，但其需求的不固定性并沒有體現(xiàn)開行方案對需求的影響；楊毅凡[6]探討了貨流波動致因下開行方案的調(diào)整問題，但沒有給出開行方案的優(yōu)化影響需求的量化關系。而隨著經(jīng)濟的發(fā)展，快運市場的競爭越發(fā)激烈，客戶對于運輸服務的質(zhì)量越來越敏感，隨著鐵路市場化轉(zhuǎn)型的推進，在快運班列開行方案優(yōu)化的過程中考慮開行方案的優(yōu)化對需求的彈性影響能提升快運班列的運輸服務質(zhì)量，擴大鐵路市場份額，提高鐵路快運班列運輸組織的效率和效益。因此，在現(xiàn)有研究的基礎上，結(jié)合廣義費用函數(shù)，建立基于彈性需求的快運班列開行方案優(yōu)化模型，研究彈性需求條件下快運班列開行方案的優(yōu)化問題。

1 問題分析

基于彈性需求的快運班列開行方案優(yōu)化，旨在提高開行方案的運輸組織效率和效益，具體體現(xiàn)為在優(yōu)化開行方案的同時要考慮快運班列的經(jīng)濟性、便捷性、快速性、安全性等經(jīng)濟技術特性對需求運量上的影響[7-8]，通過改善這些指標來降低快運班列的廣義費用，提高市場競爭力。

1.1 路網(wǎng)及開行列車備選集

以圖G= (S，E)來表示給定的網(wǎng)絡，其中S={si|i= 1，2，…，n}為車站集合，si為路網(wǎng)中的車站；E= {eij|i= 1，2，…，n；j= 1，2，…，n}表示網(wǎng)絡中站點間的區(qū)間集合，eij表示si到sj的有向弧，且i≠j，若站點si與站點sj不相鄰，則eij不存在。記aij表示從si開往sj的列車，i≠j。(o，d)為快運需求有序站點對；OD= {(o，d) |o=s1，s2，…，sn；d=s1，s2，…，sn}，且o≠d，描述快運需求站點對集合；Rod為(o，d)間由鐵路分擔的運輸需求。為了使總的運輸收益最大化，列車可能不在最短路徑上運行，而在次短路或其他可行路徑上運行，故用K短路算法搜索列車始發(fā)終到站點間的可行路徑，并有aij,k表示從si出發(fā)開往sj的行經(jīng)第k條徑路運行的班列；對于 ?od∈OD，?i，j∈OD，k= 1，2，…，K，當列車aij,k的運行徑路包含Rod的始發(fā)及終到站點且o，d的方向與列車運行方向一致時，構(gòu)成的集合A= {aij,k| ?i，j∈OD，k= 1，2，…，K}即為開行列車的備選集。

1.2 彈性需求分析

根據(jù)上述分析，選取經(jīng)濟性、快速性、便捷性、安全性4個因素構(gòu)建廣義費用函數(shù)，計算公式為

式中：Ui為第i種運輸方式的廣義費用。ε1，ε2，ε3，ε4為服務特性指數(shù)。i表示不同的運輸方式，i= 1表示鐵路；i= 2表示公路；i= 3表示航空。Ei為第i種運輸方式的經(jīng)濟性，Ei=ei·L，ei為不同運輸方式的單位運價率，元/(t·km)，L表示運價里程，km。Fi為第i種運輸方式的快速性，F(xiàn)i=表示運輸過程裝卸作業(yè)次數(shù)，τ表示每次裝卸作業(yè)消耗的平均時間，h，V(T)為貨物的時間價值，V(T) =MP×IR/H，MP為貨物平均價格，元/t，IR為貨物時間成本率，%，H為一天24 h，vi表示在途平均運行速度，km/h。Bi表示第i種運輸方式的便捷性，由第i種運輸方式與“門到門”運輸?shù)慕玉g時間表示，公路運輸接駁時間較短，取1 h；航空運輸需要短駁，并且按照時刻表發(fā)車，取8 h；快運班列與“門到門”運輸?shù)慕玉g時間會受到快運班列每日開行頻率和開行時刻的影響，對于開行頻率大于1的班列，假設其開行時刻在一天24 h內(nèi)均勻分布，貨物到達車站的時間隨機分布，則平均接駁時間為為第i種運輸方式的安全性，用貨物運輸時的貨損貨差率表示，Ji=n×θi，θi為一次裝卸的貨損貨差率。

基于Logit模型，以廣義費用為基礎的貨主對于不同運輸方式的選擇概率可表示為

式中：ρi為客戶選擇運輸方式i的概率；為不同運輸方式的平均廣義費用值；n為運輸方式的數(shù)量；Uk為第k種運輸方式的廣義費用。

綜上分析，每個(o，d)的彈性需求函數(shù)計算公式為

式中：U odij,k表示so到sd間列車aij,k的廣義費用；c1為運輸單位重量貨物的收入，元/(t·km)；表示(o，d)的貨流通過列車aij,k運送的走行距離，km；v為列車區(qū)間運行平均速度，km/h；nij,k為列車aij,k途中總停站次數(shù)；fij,k為列車aij,k的開行頻率；qodij,k表示從so到sd的快運貨流通過列車aij,k運輸?shù)倪\量，t；ρod表示(o，d)間快運班列的分擔率；Rod表示(o，d)間由快運班列運輸?shù)男枨罅?；表?o，d)間社會總運量。

2 基于彈性需求的鐵路快運班列開行方案優(yōu)化模型

2.1 目標函數(shù)

該模型目標函數(shù)為鐵路收益Z最大化，鐵路部門的收益為運輸收入與開行成本之差，計算公式為

其中，鐵路快運班列開行的收入Z1、鐵路快運班列的開行成本包括車輛使用費用Z2、線路使用費用和機車牽引費用Z3以及沿途作業(yè)費用Z4為

式中：c2為車輛使用費用，元/車日；m為列車的編成輛數(shù)；lij,k為列車aij,k的走行距離。

式中：c3為線路使用費用和機車牽引費用，元/(列 ·km)。

式中：c作業(yè)為裝卸作業(yè)費用，元/t；pij,k= {si，…，sm，…，sj}表示列車aij,k沿途站點的集合，即列車aij,k從始發(fā)站si到終到站sj依次經(jīng)過的具有接發(fā)、途中作業(yè)條件的站點；= {si，…，sm}表示列車aij,k行經(jīng)徑路上相對于si站、sm站及其以近的車站集合；= {sm，…，sj}表示列車aij,k行經(jīng)徑路上相對于si站，sm站及其以遠的車站集合；

2.2 約束條件

式中：Qod為so到sd間由鐵路快運班列實際運送的快運需求量。

式中：表示si到sj間第k條路徑上sg站的斷面貨流量。

式中：?為列車裝載率；G為每輛車的載重，t。

式中：表示列車aij,k在so站是否停站，若=1，則列車aij,k在so站停站進行裝卸作業(yè)，反之表示aij,k在so站不停站；M為一個無窮大的數(shù)。

公式⑾至公式⒂為彈性需求約束，該項約束描述開行方案的優(yōu)化對需求的影響，并保證路網(wǎng)中分配的運量小于等于快運班列的總運輸需求；公式⒃、公式⒄為開行頻率約束，由列車aij,k運行徑路上的弧段貨流密度最大值來約束列車開行頻率，為由sg站出發(fā)的弧段的貨流密度；公式⒅至公式⒇為停站約束，該項約束保證只有當列車在(o，d)的起始和終到站點都停站時，(o，d)的貨流才能被列車載運；公式(21)到公式(23)為變量非負約束。

2.3 算法設計

在運輸領域中，非線性混合整數(shù)規(guī)劃問題的求解難度較大，借助粒子群(PSO)優(yōu)化算法求解模型，算法設計如下。構(gòu)造n個k×2矩陣{Ak1，Ak2}，每一個矩陣表示一個粒子，k表示備選集中的列車數(shù)量，其中Ak1為一維數(shù)組，數(shù)組元素為列車運行徑路所經(jīng)過的車站，Ak2同為一維數(shù)組，數(shù)組元素為路網(wǎng)中所有(o，d)對。Ak1，Ak2中的每個元素都包含0-1變量，用來表示列車在某個車站是否停站以及列車是否載運某個(o，d)。粒子的適應度函數(shù)即為開行方案模型的目標函數(shù)。

PSO算法在求解空間中初始化一群位置和速度隨機的粒子，粒子按當前的速度飛行，每一輪迭代都會以粒子當前位置為基礎計算粒子的適應度以評價粒子的優(yōu)劣。每一輪迭代后都會根據(jù)粒子群的全局最優(yōu)解和歷史局部最優(yōu)解來更新速度和位置向量：

式中：t為迭代次數(shù)；v(t)，x(t)分別為第t次迭代下的粒子速度和位置；v(t+ 1)，x(t+ 1)分別為第t+ 1次迭代下的粒子速度和位置；pBest(t)為某粒子t次迭代過程中的歷史最優(yōu)解；gBest(t)為粒子群第t次迭代當前的全局最優(yōu)解；?1和?2為粒子速度的學習因子；r1和r2為[0，1]隨機分布的自然數(shù)；ω為慣性系數(shù)。

算法流程主要分為以下6個步驟。

步驟1：初始化粒子群，隨機生成粒子的初始位置(配流結(jié)果、途中停站)和初始速度。

步驟2：計算開行頻率fij,k和途中停站次數(shù)nij,k，根據(jù)每個粒子中各列車的配流情況、開行頻率fij,k和途中停站次數(shù)nij,k針對每個(o，d)計算廣義費用Uij,k和分擔率ρij，并通過分擔率更新各 (o，d)間的需求。

步驟3：按照公式(6)計算每個粒子的適應度，確定每個粒子的歷史局部最優(yōu)pBest，再從每個粒子的pBest中比較尋得粒子群全局最優(yōu)解gBest。

步驟4：按照公式(24)、公式(25)對所有粒子的速度和位置進行更新，轉(zhuǎn)步驟2；如果達到最大迭代次數(shù)，轉(zhuǎn)步驟5。

步驟5：輸出當前全局最優(yōu)解gBest。

3 算例分析

以某區(qū)域鐵路路網(wǎng)為例，采用以上模型和算法進行驗證，鐵路路網(wǎng)結(jié)構(gòu)如圖1所示。算例中假設所有路網(wǎng)中的鐵路站點均可進行貨物裝卸和中轉(zhuǎn)作業(yè)，鐵路快運班列原始開行方案如表1所示。

圖1 鐵路路網(wǎng)結(jié)構(gòu)圖Fig.1 Network structure

路網(wǎng)中開行的快運班列采用PB或P65型棚車編組，其載重為40 t時運行速度可達120 km/h，并采用20節(jié)編組?？爝\班列的運價設為0.306元/(t ·km)，車輛使用費用為81元/(車·日)，線路使用費用和機車牽引費用為60.561元/(列·km)，裝卸作業(yè)費用為24元/t。根據(jù)文獻[8]，取廣義費用函數(shù)中服務特性參數(shù)ε1= 0.177，ε2= 0.294，ε3= 0.235，ε4= 0.294；一次裝卸的貨損貨差率 取0.02%，貨物平均價格MP為30 000元/t，平均裝卸時間τ取0.5 h。根據(jù)英國德魯里航運咨詢機構(gòu)的相關研究，貨物時間成本率IR為每24小時1%。公路運輸平均速度取高速公路限速100 km/h，航空運輸平均速度取900 km/h。

以C#實現(xiàn)上文算法，并取K= 2構(gòu)建列車備選集，計算結(jié)果如表2所示，優(yōu)化后開行方案如表3所示。

由表2和表3可知，彈性需求條件下對快運班列開行方案進行優(yōu)化，總運量由73 487 t增加至76 028 t，鐵路部門收益由2 870萬元增加到2 959萬元，由開行方案分析可知，在途中停站優(yōu)化方面，如運輸(S3，S7)、(S2，S10)的班列，優(yōu)化后均減少了途中停站的次數(shù)，提高了快運班列的快速性，OD間的運量分別增長了5%和4.3%。由計算可得兩列班列途中停站每縮短1 h，其廣義費用分別減少6%和3.2%，這一比例會隨著運輸距離的增大而減少，隨著班列開行頻率的提高而增加，可見對于開行頻率較高的中短途班列，優(yōu)化其途中停站可有效降低廣義費用；在起訖點和開行頻率優(yōu)化方面，如班列S2—S5—S8和S8—S11—S10，優(yōu)化后分別并入了班列S2—S5—S8—S11和S9—S8—S11—S10，合并后的班列提高了開行頻率，提升了班列的便捷性。經(jīng)計算，班列合并后其廣義費用分別減少了8.2%，6.9%，21.9%和4.5%，OD間運量分別增長了4.6%，3.4%，21.8%和2.7%，分析可得班列合并對于中短途班列的優(yōu)化效果優(yōu)于長途班列，對于開行頻率低的班列優(yōu)化效果更為明顯。但班列的合并會導致班列在部分區(qū)段能力浪費，從而增加成本，故而實際運用中要盡量縮短班列的空跑距離，在本例中，由于廣義費用降低，航空和公路運輸?shù)倪\量轉(zhuǎn)移導致鐵路運量增加，優(yōu)化后的班列收益分別增加了3.95萬元和4.36萬元；在路徑優(yōu)化上，以運輸(S4，S8)的班列為例，其優(yōu)化后的徑路縮短了307 km，提高了班列的經(jīng)濟性和快速性，但班列的開行頻率減少了1，導致廣義費用僅降低了4.5%，OD間運量增長為3.1%，如果開行頻率不變廣義費用可降低12%，可見在優(yōu)化班列路徑的時候要盡可能不降低班列的開行頻率。綜上，在彈性需求條件下，通過優(yōu)化快運班列的起訖點、運行路徑、途中停站和開行頻率，可以有效降低廣義費用，實現(xiàn)來自航空和公路運輸?shù)倪\量轉(zhuǎn)移，擴大鐵路市場份額。

4 結(jié)束語

鐵路快運班列具有運距長、能耗低、速度快的特點，其特性的發(fā)揮依賴于合理的開行方案，通過建立基于彈性需求的快運班列開行方案優(yōu)化模型，在模型中加入彈性需求約束，使研究更為接近快運市場的實際運行情況，可以有效降低廣義費用，使鐵路快運班列更具競爭力，實現(xiàn)來自航空和公路運輸?shù)倪\量轉(zhuǎn)移，擴大鐵路市場份額，提高鐵路部門運輸收益。但是，充分提高鐵路快運產(chǎn)品的競爭力，還需要合理的快運班列時刻表，使快運產(chǎn)品更具吸引力，因而還需進一步優(yōu)化班列開行時刻，為快運班列開行方案優(yōu)化研究提供支持。

表1 鐵路快運班列原始開行方案Tab.1 Initial train operation plan of express freight train

表2 計算結(jié)果Tab.2 Calculation results

表3 優(yōu)化后開行方案Tab.3 Optimized train operation plan